Страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

41.6 а) $\frac{5(x - y)}{15(y - x)}$;

В) $\frac{2(m - n)}{a(n - m)}$;

б) $\frac{150a^2b^3(z - t)}{300ab^5(t - z)}$;

г) $\frac{13x^3y^4z^5(c - d)}{26xy^5z^7(d - c)}$;

а) Чтобы сократить дробь $\frac{5(x-y)}{15(y-x)}$, заметим, что выражения в скобках в числителе и знаменателе противоположны друг другу. То есть, $(y-x) = -(x-y)$. Также можно сократить числовые коэффициенты 5 и 15.

Вынесем минус за скобки в знаменателе:

$\frac{5(x-y)}{15(y-x)} = \frac{5(x-y)}{15 \cdot (-(x-y))}$

Теперь сократим дробь на общий множитель $5(x-y)$:

$\frac{5(x-y)}{-15(x-y)} = \frac{5}{-15} = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$

б) Рассмотрим дробь $\frac{150a^2b^3(z-t)}{300ab^5(t-z)}$.

Здесь также выражения в скобках противоположны: $(t-z) = -(z-t)$.

Преобразуем знаменатель:

$\frac{150a^2b^3(z-t)}{300ab^5(-(z-t))} = -\frac{150a^2b^3(z-t)}{300ab^5(z-t)}$

Сократим числовые коэффициенты: $\frac{150}{300} = \frac{1}{2}$.

Сократим степени переменных по правилу $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\frac{a^2}{a} = a^{2-1} = a$

$\frac{b^3}{b^5} = b^{3-5} = b^{-2} = \frac{1}{b^2}$

Сократим общий множитель $(z-t)$.

Соберем все вместе:

$-\frac{1 \cdot a \cdot 1}{2 \cdot b^2} = -\frac{a}{2b^2}$

Ответ: $-\frac{a}{2b^2}$

в) В дроби $\frac{2(m-n)}{a(n-m)}$ выражения в скобках являются противоположными: $(n-m) = -(m-n)$.

Вынесем минус за скобки в знаменателе:

$\frac{2(m-n)}{a(-(m-n))} = \frac{2(m-n)}{-a(m-n)}$

Сократим общий множитель $(m-n)$:

$\frac{2}{-a} = -\frac{2}{a}$

Ответ: $-\frac{2}{a}$

г) Упростим выражение $\frac{13x^3y^4z^5(c-d)}{26xy^5z^7(d-c)}$.

Выражения в скобках противоположны: $(d-c) = -(c-d)$.

Преобразуем знаменатель и вынесем знак минус перед дробью:

$\frac{13x^3y^4z^5(c-d)}{26xy^5z^7(-(c-d))} = -\frac{13x^3y^4z^5(c-d)}{26xy^5z^7(c-d)}$

Теперь сократим дробь. Сначала числовые коэффициенты:

$\frac{13}{26} = \frac{1}{2}$

Затем переменные:

$\frac{x^3}{x} = x^{3-1} = x^2$

$\frac{y^4}{y^5} = y^{4-5} = y^{-1} = \frac{1}{y}$

$\frac{z^5}{z^7} = z^{5-7} = z^{-2} = \frac{1}{z^2}$

Сократим общий множитель $(c-d)$.

Объединяем полученные результаты:

$-\frac{1 \cdot x^2 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot y \cdot z^2 \cdot 1} = -\frac{x^2}{2yz^2}$

Ответ: $-\frac{x^2}{2yz^2}$

41.7 а) $ \frac{2a(x + y)}{8a(x + y)(x - y)} $;

б) $ \frac{(a - 1)(a^2 + a + 1)}{a^2 + a + 1} $;

В) $ \frac{3(a - b)(a + b)}{6(a + b)(a - b)} $;

Г) $ \frac{3(n^2 + n + 1)}{(n - 1)(n^2 + n + 1)} $.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{2a(x+y)}{8a(x+y)(x-y)}$, необходимо найти общие множители в числителе и знаменателе и разделить их друг на друга.

1. Сравним числовые коэффициенты: $2$ в числителе и $8$ в знаменателе. Сокращаем их на $2$. В числителе остается $1$, в знаменателе $4$.

2. Сравним переменные: множитель $a$ есть и в числителе, и в знаменателе. Сокращаем его.

3. Сравним выражения в скобках: множитель $(x+y)$ также является общим. Сокращаем его.

После сокращения всех общих множителей получаем:

$\frac{\cancel{2}\cancel{a}(\cancel{x+y})}{\cancel{8}_4\cancel{a}(\cancel{x+y})(x-y)} = \frac{1}{4(x-y)}$

Ответ: $\frac{1}{4(x-y)}$

б) Рассмотрим дробь $\frac{(a-1)(a^2+a+1)}{a^2+a+1}$.

Здесь мы видим, что выражение $(a^2+a+1)$ является общим множителем для числителя и знаменателя. Сократим дробь на этот множитель.

$\frac{(a-1)(\cancel{a^2+a+1})}{\cancel{a^2+a+1}} = a-1$

Также можно заметить, что выражение в числителе $(a-1)(a^2+a+1)$ является формулой разности кубов $a^3 - 1^3$.

Ответ: $a-1$

в) Чтобы сократить дробь $\frac{3(a-b)(a+b)}{6(a+b)(a-b)}$, найдем и сократим общие множители.

1. Сократим числовые коэффициенты $3$ и $6$ на $3$. В числителе останется $1$, в знаменателе $2$.

2. Сократим общий множитель $(a-b)$.

3. Сократим общий множитель $(a+b)$.

В результате в числителе остается только $1$, а в знаменателе $2$.

$\frac{\cancel{3}(\cancel{a-b})(\cancel{a+b})}{\cancel{6}_2(\cancel{a+b})(\cancel{a-b})} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

г) Рассмотрим дробь $\frac{3(n^2+n+1)}{(n-1)(n^2+n+1)}$.

Общим множителем для числителя и знаменателя является выражение $(n^2+n+1)$. Сократим дробь на этот множитель.

$\frac{3(\cancel{n^2+n+1})}{(n-1)(\cancel{n^2+n+1})} = \frac{3}{n-1}$

Выражение в знаменателе $(n-1)(n^2+n+1)$ представляет собой формулу разности кубов $n^3 - 1^3$.

Ответ: $\frac{3}{n-1}$

41.8 a) $\frac{(a-b)^2}{(b-a)^2};$

б) $\frac{12a^3b^5(p-q)^2}{36a^2b(q-p)^2};$

в) $\frac{16(x-y)^2}{48(y-x)^2};$

г) $\frac{49xy(c-d)^2}{7x^2(d-c)^2}.$

а)

Рассмотрим выражение $\frac{(a-b)^2}{(b-a)^2}$.

В знаменателе вынесем $-1$ за скобки: $b-a = -(a-b)$.

Тогда знаменатель примет вид: $(b-a)^2 = (-(a-b))^2$.

Так как квадрат любого числа (или выражения) неотрицателен, $(-(a-b))^2 = (a-b)^2$.

Таким образом, исходная дробь преобразуется:

$\frac{(a-b)^2}{(a-b)^2} = 1$ (при условии, что $a \neq b$).

Ответ: $1$

б)

Рассмотрим выражение $\frac{12a^3b^5(p-q)^2}{36a^2b(q-p)^2}$.

Упростим это выражение, сокращая отдельно коэффициенты, степени переменных и выражения в скобках.

1. Сократим числовые коэффициенты: $\frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.

2. Сократим степени переменной $a$ по свойству степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $\frac{a^3}{a^2} = a^{3-2} = a$.

3. Сократим степени переменной $b$: $\frac{b^5}{b} = b^{5-1} = b^4$.

4. Упростим часть с выражениями в скобках. Аналогично пункту а), $(q-p)^2 = (-(p-q))^2 = (p-q)^2$. Поэтому $\frac{(p-q)^2}{(q-p)^2} = 1$.

Теперь объединим все полученные части:

$\frac{1}{3} \cdot a \cdot b^4 \cdot 1 = \frac{ab^4}{3}$.

Ответ: $\frac{ab^4}{3}$

в)

Рассмотрим выражение $\frac{16(x-y)^2}{48(y-x)^2}$.

1. Сократим числовые коэффициенты: $\frac{16}{48} = \frac{1}{3}$.

2. Упростим выражения в скобках. Как и в предыдущих примерах, $(y-x)^2 = (-(x-y))^2 = (x-y)^2$.

Следовательно, дробь $\frac{(x-y)^2}{(y-x)^2} = 1$.

Объединяем результаты:

$\frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

г)

Рассмотрим выражение $\frac{49xy(c-d)^2}{7x^2(d-c)^2}$.

Упростим выражение по частям.

1. Сократим числовые коэффициенты: $\frac{49}{7} = 7$.

2. Сократим степени переменной $x$: $\frac{x}{x^2} = x^{1-2} = x^{-1} = \frac{1}{x}$.

3. Переменная $y$ есть только в числителе, поэтому она остается там.

4. Упростим выражения в скобках. По аналогии с предыдущими пунктами, $(d-c)^2 = (-(c-d))^2 = (c-d)^2$.

Следовательно, $\frac{(c-d)^2}{(d-c)^2} = 1$.

Соберем все упрощенные части вместе:

$7 \cdot \frac{1}{x} \cdot y \cdot 1 = \frac{7y}{x}$.

Ответ: $\frac{7y}{x}$

41.9 a) $\frac{(x+5)^3}{(x+5)^2}$

б) $\frac{c(z-15)^3}{8c(z-15)^4}$

в) $\frac{(y-8)^{10}}{(y-8)^8}$

г) $\frac{3a(b-2)}{6(b-2)^2}$

а) Чтобы упростить данное выражение, необходимо применить свойство деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. В данном случае основание $a = (x+5)$, показатель степени числителя $m = 3$, а знаменателя $n = 2$.

Выполним вычитание показателей степеней:

$\frac{(x+5)^3}{(x+5)^2} = (x+5)^{3-2} = (x+5)^1 = x+5$.

Данное упрощение возможно при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $(x+5)^2 \neq 0$, откуда $x \neq -5$.

Ответ: $x+5$.

б) Для упрощения дроби $\frac{c(z-15)^3}{8c(z-15)^4}$ необходимо сократить общие множители в числителе и знаменателе.

1. Сократим переменную $c$. При условии, что $c \neq 0$, получаем: $\frac{c}{8c} = \frac{1}{8}$.

2. Сократим выражение $(z-15)$, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. При условии, что $z-15 \neq 0$ (т.е. $z \neq 15$):

$\frac{(z-15)^3}{(z-15)^4} = (z-15)^{3-4} = (z-15)^{-1} = \frac{1}{z-15}$.

3. Объединим результаты:

$\frac{c(z-15)^3}{8c(z-15)^4} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{z-15} = \frac{1}{8(z-15)}$.

Ответ: $\frac{1}{8(z-15)}$.

в) Упростим выражение $\frac{(y-8)^{10}}{(y-8)^8}$, используя то же свойство деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Здесь основание $a = (y-8)$, $m=10$, $n=8$.

$\frac{(y-8)^{10}}{(y-8)^8} = (y-8)^{10-8} = (y-8)^2$.

Упрощение справедливо при условии, что $y-8 \neq 0$, то есть $y \neq 8$.

Ответ: $(y-8)^2$.

г) Рассмотрим дробь $\frac{3a(b-2)}{6(b-2)^2}$ и сократим общие множители.

1. Сократим числовые коэффициенты: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

2. Сократим выражение $(b-2)$. Так как в числителе $(b-2)$ в первой степени, а в знаменателе во второй, получаем:

$\frac{b-2}{(b-2)^2} = \frac{1}{b-2}$.

Это возможно, если $b-2 \neq 0$, то есть $b \neq 2$.

3. Соберем все части вместе:

$\frac{3a(b-2)}{6(b-2)^2} = \frac{3}{6} \cdot a \cdot \frac{b-2}{(b-2)^2} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{1}{b-2} = \frac{a}{2(b-2)}$.

Ответ: $\frac{a}{2(b-2)}$.

41.10 а) $ \frac{6a + 6b}{7a + 7b} $;

б) $ \frac{xz - 3yz}{x^2 - 3xy} $;

В) $ \frac{s^2 + s}{5s + 5} $;

Г) $ \frac{3c^3 + 3cd^2}{6dc^2 + 6d^3} $.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{6a + 6b}{7a + 7b}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель, вынеся общие множители за скобки.

В числителе общий множитель равен 6: $6a + 6b = 6(a + b)$.

В знаменателе общий множитель равен 7: $7a + 7b = 7(a + b)$.

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{6(a + b)}{7(a + b)}$

Теперь сократим дробь на общий множитель $(a + b)$:

$\frac{6\cancel{(a + b)}}{7\cancel{(a + b)}} = \frac{6}{7}$

Ответ: $\frac{6}{7}$

б) Рассмотрим дробь $\frac{xz - 3yz}{x^2 - 3xy}$. Разложим числитель и знаменатель на множители, вынося общие множители за скобки.

В числителе общий множитель равен $z$: $xz - 3yz = z(x - 3y)$.

В знаменателе общий множитель равен $x$: $x^2 - 3xy = x(x - 3y)$.

Дробь примет вид:

$\frac{z(x - 3y)}{x(x - 3y)}$

Сократим на общий множитель $(x - 3y)$:

$\frac{z\cancel{(x - 3y)}}{x\cancel{(x - 3y)}} = \frac{z}{x}$

Ответ: $\frac{z}{x}$

в) В дроби $\frac{s^2 + s}{5s + 5}$ вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.

В числителе общий множитель равен $s$: $s^2 + s = s(s + 1)$.

В знаменателе общий множитель равен 5: $5s + 5 = 5(s + 1)$.

Подставим в дробь:

$\frac{s(s + 1)}{5(s + 1)}$

Сократим на общий множитель $(s + 1)$:

$\frac{s\cancel{(s + 1)}}{5\cancel{(s + 1)}} = \frac{s}{5}$

Ответ: $\frac{s}{5}$

г) Рассмотрим дробь $\frac{3c^3 + 3cd^2}{6dc^2 + 6d^3}$. Разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $3c$: $3c^3 + 3cd^2 = 3c(c^2 + d^2)$.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $6d$: $6dc^2 + 6d^3 = 6d(c^2 + d^2)$.

Дробь примет вид:

$\frac{3c(c^2 + d^2)}{6d(c^2 + d^2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(c^2 + d^2)$:

$\frac{3c\cancel{(c^2 + d^2)}}{6d\cancel{(c^2 + d^2)}} = \frac{3c}{6d}$

Далее сократим числовые коэффициенты $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$:

$\frac{c}{2d}$

Ответ: $\frac{c}{2d}$

41.11 а) $\frac{8x - 8y}{9y - 9x}$;

б) $\frac{ma + a}{-mc - c}$;

в) $\frac{3m - 6n}{12n - 6m}$;

г) $\frac{2p - 4q}{16q - 8p}$.

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{8x - 8y}{9y - 9x}$, вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе. В числителе общий множитель - это 8: $8x - 8y = 8(x - y)$. В знаменателе общий множитель - это 9: $9y - 9x = 9(y - x)$. Получим дробь: $\frac{8(x - y)}{9(y - x)}$. Заметим, что выражения в скобках отличаются только знаком: $y - x = -(x - y)$. Подставим это в знаменатель: $\frac{8(x - y)}{9(-(x - y))}$. Теперь можно сократить общий множитель $(x - y)$: $\frac{8}{-9} = -\frac{8}{9}$.

Ответ: $-\frac{8}{9}$

б)

Рассмотрим дробь $\frac{ma + a}{-mc - c}$. Вынесем общий множитель 'a' в числителе: $ma + a = a(m + 1)$. Вынесем общий множитель '-c' в знаменателе: $-mc - c = -c(m + 1)$. Получим дробь: $\frac{a(m + 1)}{-c(m + 1)}$. Сократим общий множитель $(m + 1)$: $\frac{a}{-c} = -\frac{a}{c}$.

Ответ: $-\frac{a}{c}$

в)

Рассмотрим дробь $\frac{3m - 6n}{12n - 6m}$. Вынесем общий множитель 3 в числителе: $3m - 6n = 3(m - 2n)$. Вынесем общий множитель 6 в знаменателе: $12n - 6m = 6(2n - m)$. Получим дробь: $\frac{3(m - 2n)}{6(2n - m)}$. Заметим, что $2n - m = -(m - 2n)$. Подставим это в знаменатель: $\frac{3(m - 2n)}{6(-(m - 2n))}$. Сократим общий множитель $(m - 2n)$: $\frac{3}{-6} = -\frac{3}{6}$. Сократим дробь на 3: $-\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$

г)

Рассмотрим дробь $\frac{2p - 4q}{16q - 8p}$. Вынесем общий множитель 2 в числителе: $2p - 4q = 2(p - 2q)$. Вынесем общий множитель 8 в знаменателе: $16q - 8p = 8(2q - p)$. Получим дробь: $\frac{2(p - 2q)}{8(2q - p)}$. Заметим, что $2q - p = -(p - 2q)$. Подставим это в знаменатель: $\frac{2(p - 2q)}{8(-(p - 2q))}$. Сократим общий множитель $(p - 2q)$: $\frac{2}{-8} = -\frac{2}{8}$. Сократим дробь на 2: $-\frac{1}{4}$.

Ответ: $-\frac{1}{4}$

41.12 a) $\frac{-ax - bx}{ay + by};$

Б) $\frac{4x^2y - 4x^3}{12x^2y^2 - 12xy^3};$

В) $\frac{m^5 - 3m^2}{2m^7 - 6m^4};$

Г) $\frac{3n^6 + 2n^4}{15n^8 + 10n^6}.$

a) Для того чтобы сократить дробь, вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе. В числителе общий множитель равен $-x$, а в знаменателе — $y$. $ \frac{-ax - bx}{ay + by} = \frac{-x(a + b)}{y(a + b)} $. Теперь сократим дробь на общий множитель $(a + b)$. $ \frac{-x\sout{(a + b)}}{y\sout{(a + b)}} = -\frac{x}{y} $.
Ответ: $ -\frac{x}{y} $

б) Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе. В числителе общий множитель $4x^2$, в знаменателе $12xy^2$. $ \frac{4x^2y - 4x^3}{12x^2y^2 - 12xy^3} = \frac{4x^2(y - x)}{12xy^2(x - y)} $. Заметим, что $y - x = -(x - y)$. Используем это свойство, чтобы изменить знак в числителе. $ \frac{-4x^2(x - y)}{12xy^2(x - y)} $. Сократим дробь на общий множитель $(x - y)$, а также на $4x$. $ \frac{-\sout{4}x^{\sout{2}}(x - y)}{\sout{12}_3\sout{x}y^2(x - y)} = -\frac{x}{3y^2} $.
Ответ: $ -\frac{x}{3y^2} $

в) Вынесем общие множители за скобки. В числителе это $m^2$, а в знаменателе $2m^4$. $ \frac{m^5 - 3m^2}{2m^7 - 6m^4} = \frac{m^2(m^3 - 3)}{2m^4(m^3 - 3)} $. Сократим дробь на общий множитель $(m^3 - 3)$ и на $m^2$. $ \frac{\sout{m^2}\sout{(m^3 - 3)}}{2m^{\sout{4}}_2\sout{(m^3 - 3)}} = \frac{1}{2m^2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2m^2} $

г) Вынесем общие множители за скобки. В числителе это $n^4$, а в знаменателе $5n^6$. $ \frac{3n^6 + 2n^4}{15n^8 + 10n^6} = \frac{n^4(3n^2 + 2)}{5n^6(3n^2 + 2)} $. Сократим дробь на общий множитель $(3n^2 + 2)$ и на $n^4$. $ \frac{\sout{n^4}\sout{(3n^2 + 2)}}{5n^{\sout{6}}_2\sout{(3n^2 + 2)}} = \frac{1}{5n^2} $.
Ответ: $ \frac{1}{5n^2} $

41.13 а) $ \frac{x^2 - xy}{x^2y - xy^2}; $

Б) $ \frac{pq^4 - cq^4}{cq^3 - pq^3}; $

В) $ \frac{ma^2 - m^2a}{m^2 - ma}; $

Г) $ \frac{2nd^4 - 4pd^4}{3nd^3 - 6pd^3}. $

а) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - xy}{x^2y - xy^2}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $x$: $x^2 - xy = x(x - y)$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $xy$: $x^2y - xy^2 = xy(x - y)$.
Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{x(x - y)}{xy(x - y)}$
Сократим дробь на общие множители $x$ и $(x - y)$, при условии что $x \neq 0$ и $x \neq y$.
$\frac{\cancel{x}\cancel{(x - y)}}{\cancel{x}y\cancel{(x - y)}} = \frac{1}{y}$.
Ответ: $\frac{1}{y}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{pq^4 - cq^4}{cq^3 - pq^3}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $q^4$: $pq^4 - cq^4 = q^4(p - c)$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $q^3$: $cq^3 - pq^3 = q^3(c - p)$.
Подставим разложенные выражения в дробь: $\frac{q^4(p - c)}{q^3(c - p)}$.
Заметим, что выражения в скобках являются противоположными: $(c - p) = -(p - c)$. Заменим это в знаменателе:
$\frac{q^4(p - c)}{q^3(-(p - c))} = \frac{q^4(p - c)}{-q^3(p - c)}$.
Сократим дробь на общие множители $q^3$ и $(p - c)$, при условии что $q \neq 0$ и $p \neq c$.
$\frac{q^{\cancel{4}}\cancel{(p - c)}}{-\cancel{q^3}\cancel{(p - c)}} = \frac{q}{-1} = -q$.
Ответ: $-q$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{ma^2 - m^2a}{m^2 - ma}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $ma$: $ma^2 - m^2a = ma(a - m)$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $m$: $m^2 - ma = m(m - a)$.
Подставим разложенные выражения в дробь: $\frac{ma(a - m)}{m(m - a)}$.
Выражения в скобках являются противоположными: $(m - a) = -(a - m)$. Заменим это в знаменателе:
$\frac{ma(a - m)}{m(-(a - m))} = \frac{ma(a - m)}{-m(a - m)}$.
Сократим дробь на общие множители $m$ и $(a - m)$, при условии что $m \neq 0$ и $a \neq m$.
$\frac{\cancel{m}a\cancel{(a - m)}}{-\cancel{m}\cancel{(a - m)}} = \frac{a}{-1} = -a$.
Ответ: $-a$.

г) Чтобы сократить дробь $\frac{2nd^4 - 4pd^4}{3nd^3 - 6pd^3}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $2d^4$: $2nd^4 - 4pd^4 = 2d^4(n - 2p)$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $3d^3$: $3nd^3 - 6pd^3 = 3d^3(n - 2p)$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{2d^4(n - 2p)}{3d^3(n - 2p)}$
Сократим дробь на общие множители $d^3$ и $(n - 2p)$, при условии что $d \neq 0$ и $n \neq 2p$.
$\frac{2d^{\cancel{4}}\cancel{(n - 2p)}}{3\cancel{d^3}\cancel{(n - 2p)}} = \frac{2d}{3}$.
Ответ: $\frac{2d}{3}$.

41.14 а) $\frac{4a^2 - 9b^2}{2a - 3b}$;

б) $\frac{8 + 3c}{9c^2 - 64}$;

в) $\frac{36 - y^2}{6 - y}$;

г) $\frac{100 - 49d^2}{7d + 10}$.

а) Чтобы упростить дробь $\frac{4a^2 - 9b^2}{2a - 3b}$, необходимо разложить числитель на множители. Числитель $4a^2 - 9b^2$ представляет собой разность квадратов, так как $4a^2 = (2a)^2$ и $9b^2 = (3b)^2$. Воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. Применив формулу, получаем: $4a^2 - 9b^2 = (2a - 3b)(2a + 3b)$. Теперь подставим разложенный числитель обратно в дробь: $\frac{(2a - 3b)(2a + 3b)}{2a - 3b}$. Сократим общий множитель $(2a - 3b)$ в числителе и знаменателе. В результате упрощения получаем: $2a + 3b$.
Ответ: $2a + 3b$

б) Рассмотрим дробь $\frac{8 + 3c}{9c^2 - 64}$. Знаменатель $9c^2 - 64$ является разностью квадратов, поскольку $9c^2 = (3c)^2$ и $64 = 8^2$. Применяем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$: $9c^2 - 64 = (3c - 8)(3c + 8)$. Подставим разложенный знаменатель в исходную дробь: $\frac{8 + 3c}{(3c - 8)(3c + 8)}$. Заметим, что выражение в числителе $8 + 3c$ равно множителю $3c + 8$ в знаменателе. Сократим дробь на общий множитель $(3c + 8)$. В результате получаем: $\frac{1}{3c - 8}$.
Ответ: $\frac{1}{3c - 8}$

в) Упростим выражение $\frac{36 - y^2}{6 - y}$. Числитель $36 - y^2$ — это разность квадратов, где $36 = 6^2$. Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$: $36 - y^2 = (6 - y)(6 + y)$. Подставим это в нашу дробь: $\frac{(6 - y)(6 + y)}{6 - y}$. Сократим общий множитель $(6 - y)$ в числителе и знаменателе. В результате остается выражение: $6 + y$.
Ответ: $6 + y$

г) Рассмотрим дробь $\frac{100 - 49d^2}{7d + 10}$. Числитель $100 - 49d^2$ является разностью квадратов, так как $100 = 10^2$ и $49d^2 = (7d)^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$: $100 - 49d^2 = (10 - 7d)(10 + 7d)$. Теперь подставим разложенный числитель в дробь: $\frac{(10 - 7d)(10 + 7d)}{7d + 10}$. Выражение в знаменателе $7d + 10$ равно множителю $10 + 7d$ в числителе. Сокращаем дробь на общий множитель $(10 + 7d)$. Получаем: $10 - 7d$.
Ответ: $10 - 7d$