Страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Приведите пример разложения многочлена на множители по формуле разности квадратов.

1. Разложение многочлена на множители по формуле разности квадратов — это представление многочлена вида $a^2 - b^2$ в виде произведения двух двучленов $(a - b)$ и $(a + b)$. Сама формула выглядит так:

$$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$

Чтобы применить эту формулу, необходимо, чтобы многочлен состоял из двух членов, разделенных знаком минус, и каждый из этих членов можно было представить в виде квадрата некоторого выражения.

Приведём пример. Разложим на множители многочлен $36x^2 - 49y^2$.

Шаг 1: Определяем, квадратами каких выражений являются члены многочлена.
Первый член $36x^2$ можно представить как квадрат выражения $6x$, поскольку $(6x)^2 = 36x^2$.
Второй член $49y^2$ можно представить как квадрат выражения $7y$, поскольку $(7y)^2 = 49y^2$.

Таким образом, в нашей общей формуле $a^2 - b^2$ мы имеем $a = 6x$ и $b = 7y$.

Шаг 2: Подставляем найденные выражения в формулу разности квадратов.
Подставим $a = 6x$ и $b = 7y$ в формулу $(a - b)(a + b)$:

$$36x^2 - 49y^2 = (6x)^2 - (7y)^2 = (6x - 7y)(6x + 7y)$$

В результате исходный многочлен разложен на два множителя: $(6x - 7y)$ и $(6x + 7y)$.

Ответ: $36x^2 - 49y^2 = (6x - 7y)(6x + 7y)$.

2. Приведите пример разложения многочлена на множители по формуле разности кубов.

Разложение многочлена на множители по формуле разности кубов — это процесс представления многочлена, являющегося разностью двух кубов, в виде произведения двух множителей.

Общая формула разности кубов выглядит следующим образом:
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
где $(a - b)$ — это разность оснований, а $(a^2 + ab + b^2)$ — неполный квадрат их суммы.

Приведем пример разложения многочлена $27x^3 - 8$ на множители с помощью этой формулы.

Шаг 1: Идентификация оснований $a$ и $b$.
Необходимо представить каждый член многочлена в виде выражения в кубе.
Первый член: $27x^3 = (3x)^3$. Отсюда мы видим, что $a = 3x$.
Второй член: $8 = 2^3$. Отсюда мы видим, что $b = 2$.

Шаг 2: Подстановка в формулу.
Теперь подставим найденные значения $a = 3x$ и $b = 2$ в формулу разности кубов $(a - b)(a^2 + ab + b^2)$:
$(3x - 2)((3x)^2 + (3x)(2) + 2^2)$

Шаг 3: Упрощение выражения.
Осталось упростить выражение во второй скобке, выполнив все операции:
$(3x)^2 = 9x^2$
$(3x)(2) = 6x$
$2^2 = 4$
Собираем все вместе и получаем итоговое разложение:
$(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)$

Таким образом, мы успешно разложили многочлен $27x^3 - 8$ на множители, используя формулу разности кубов.

Ответ: $27x^3 - 8 = (3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)$.

3. Приведите пример разложения многочлена на множители по формуле суммы кубов.

Разложение многочлена на множители по формуле суммы кубов выполняется с помощью следующего тождества (формулы сокращенного умножения):

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Эта формула означает, что сумма кубов двух выражений ($a$ и $b$) равна произведению их суммы ($a+b$) на неполный квадрат их разности ($a^2 - ab + b^2$).

Чтобы применить эту формулу, необходимо представить исходный многочлен как сумму двух слагаемых, каждое из которых является кубом некоторого числа или выражения.

Пример.

Рассмотрим разложение многочлена $x^3 + 8$ на множители.

1. Представление в виде суммы кубов.

Сначала представим каждый член многочлена в виде куба:

• Первый член $x^3$ уже является кубом переменной $x$.
• Второй член $8$ можно представить как куб числа $2$, так как $2^3 = 8$.

Таким образом, многочлен можно записать как $x^3 + 2^3$.

2. Применение формулы.

Теперь мы можем применить формулу суммы кубов, где $a = x$ и $b = 2$. Подставим эти значения в формулу $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:

$x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - x \cdot 2 + 2^2)$

3. Упрощение.

Выполним вычисления во второй скобке, чтобы получить окончательный результат:

$(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$

Таким образом, мы разложили многочлен $x^3 + 8$ на два множителя: $(x+2)$ и $(x^2 - 2x + 4)$.

Ответ: Примером разложения многочлена по формуле суммы кубов является $x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$.

4. Приведите пример трёхчлена, который является полным квадратом суммы двух выражений, и разложите его на множители.

Трёхчлен, который является полным квадратом суммы двух выражений, можно получить, используя формулу сокращённого умножения для квадрата суммы:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Выражение $a^2 + 2ab + b^2$ является искомым трёхчленом. Чтобы привести пример, нужно выбрать конкретные выражения для $a$ и $b$.

Пример трёхчлена

Возьмём в качестве слагаемых $a=x$ и $b=4$. Подставим их в правую часть формулы:

$a^2 + 2ab + b^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16$

Таким образом, трёхчлен $x^2 + 8x + 16$ является полным квадратом суммы выражений $x$ и $4$.

Разложение на множители

Разложить этот трёхчлен на множители — значит представить его в виде произведения. Согласно формуле, он равен квадрату суммы исходных выражений, то есть произведению двух одинаковых множителей:

$x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2 = (x + 4)(x + 4)$

Ответ: пример трёхчлена: $x^2 + 8x + 16$; его разложение на множители: $(x+4)(x+4)$.

5. Приведите пример трёхчлена, который является полным квадратом разности двух выражений, и разложите его на множители.

Трёхчлен, который является полным квадратом разности двух выражений, можно получить с помощью формулы сокращённого умножения для квадрата разности: $$ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $$ Выражение $a^2 - 2ab + b^2$ — это и есть искомый трёхчлен, а $(a - b)^2$ — это его разложение на множители.

Для того чтобы привести пример, выберем два произвольных одночлена в качестве $a$ и $b$. Пусть первым выражением будет $a = 5x$, а вторым — $b = 3$.

Теперь, используя эти выражения, составим трёхчлен по формуле $a^2 - 2ab + b^2$: $$ (5x)^2 - 2 \cdot (5x) \cdot 3 + 3^2 = 25x^2 - 30x + 9 $$ Таким образом, $25x^2 - 30x + 9$ — это пример трёхчлена, который является полным квадратом разности выражений $5x$ и $3$.

Далее, разложим полученный трёхчлен на множители. Для этого нужно выполнить обратное действие, то есть представить трёхчлен в виде квадрата разности. Проверим, соответствует ли наш трёхчлен $25x^2 - 30x + 9$ структуре $a^2 - 2ab + b^2$:
Первый член $25x^2$ — это квадрат выражения $5x$ (то есть $a=5x$).
Третий член $9$ — это квадрат числа $3$ (то есть $b=3$).
Средний член $-30x$ — это удвоенное произведение первого и второго выражений со знаком минус: $-2 \cdot (5x) \cdot 3 = -30x$.
Поскольку все условия формулы $a^2 - 2ab + b^2$ соблюдены, разложение на множители будет следующим: $$ 25x^2 - 30x + 9 = (5x - 3)^2 $$ Это разложение можно также записать в виде произведения двух одинаковых скобок: $(5x - 3)(5x - 3)$.

Ответ: Пример трёхчлена: $25x^2 - 30x + 9$. Его разложение на множители: $(5x - 3)^2$.

39.27 Решите уравнение:

a) $x^2 - 24x + 144 = 0;$

б) $25x^2 + 60x + 36 = 0;$

B) $x^2 + 32x + 256 = 0;$

Г) $9x^2 - 42x + 49 = 0.$

а)

Дано уравнение: $x^2 - 24x + 144 = 0$.

Это квадратное уравнение. Левую часть уравнения можно свернуть, используя формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a^2 = x^2$, значит $a = x$. $b^2 = 144$, значит $b = 12$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 12 = 24x$. Знак перед ним - минус, значит, формула подходит.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(x - 12)^2 = 0$

Уравнение верно, только если выражение в скобках равно нулю:

$x - 12 = 0$

Отсюда находим корень:

$x = 12$

Ответ: $12$.

б)

Дано уравнение: $25x^2 + 60x + 36 = 0$.

Это квадратное уравнение. Левую часть уравнения можно свернуть, используя формулу квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае $a^2 = 25x^2$, значит $a = 5x$. $b^2 = 36$, значит $b = 6$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot 5x \cdot 6 = 60x$. Знак перед ним - плюс, значит, формула подходит.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(5x + 6)^2 = 0$

Уравнение верно, только если выражение в скобках равно нулю:

$5x + 6 = 0$

Решаем полученное линейное уравнение:

$5x = -6$

$x = -\frac{6}{5}$

$x = -1.2$

Ответ: $-1.2$.

в)

Дано уравнение: $x^2 + 32x + 256 = 0$.

Это квадратное уравнение. Левую часть уравнения можно свернуть, используя формулу квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае $a^2 = x^2$, значит $a = x$. $b^2 = 256$, значит $b = 16$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 16 = 32x$. Знак перед ним - плюс, значит, формула подходит.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(x + 16)^2 = 0$

Уравнение верно, только если выражение в скобках равно нулю:

$x + 16 = 0$

Отсюда находим корень:

$x = -16$

Ответ: $-16$.

г)

Дано уравнение: $9x^2 - 42x + 49 = 0$.

Это квадратное уравнение. Левую часть уравнения можно свернуть, используя формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a^2 = 9x^2$, значит $a = 3x$. $b^2 = 49$, значит $b = 7$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot 3x \cdot 7 = 42x$. Знак перед ним - минус, значит, формула подходит.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(3x - 7)^2 = 0$

Уравнение верно, только если выражение в скобках равно нулю:

$3x - 7 = 0$

Решаем полученное линейное уравнение:

$3x = 7$

$x = \frac{7}{3}$

Ответ: $\frac{7}{3}$.

39.28 Постройте график уравнения:

а) $x^2 - 9 = 0;$

б) $x^4 - 16 = 0;$

в) $y^2 - 16 = 0;$

г) $16y^4 - 81 = 0.$

Чтобы построить график уравнения, сначала решим его относительно переменной $x$.
$x^2 - 9 = 0$
Это разность квадратов, которую можно разложить на множители:
$(x - 3)(x + 3) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x - 3 = 0$ или $x + 3 = 0$
$x = 3$ или $x = -3$
Графиком уравнения $x=c$ (где $c$ - константа) является вертикальная прямая, параллельная оси $Oy$ и проходящая через точку $(c, 0)$ на оси $Ox$. Таким образом, решения представляют собой две вертикальные прямые.
Ответ: График уравнения состоит из двух вертикальных прямых: $x = 3$ и $x = -3$.

Решим данное уравнение. Это также разность квадратов:
$(x^2)^2 - 4^2 = 0$
$(x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0$
Рассмотрим каждый множитель отдельно.
1) $x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.
2) $x^2 - 4 = 0$. Это снова разность квадратов:
$(x - 2)(x + 2) = 0$
$x = 2$ или $x = -2$
Графиком являются две вертикальные прямые, проходящие через точки $(2, 0)$ и $(-2, 0)$ на оси абсцисс.
Ответ: График уравнения состоит из двух вертикальных прямых: $x = 2$ и $x = -2$.

Решим уравнение относительно переменной $y$.
$y^2 - 16 = 0$
Это разность квадратов:
$(y - 4)(y + 4) = 0$
$y - 4 = 0$ или $y + 4 = 0$
$y = 4$ или $y = -4$
Графиком уравнения $y=c$ (где $c$ - константа) является горизонтальная прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, c)$ на оси $Oy$. Таким образом, решения представляют собой две горизонтальные прямые.
Ответ: График уравнения состоит из двух горизонтальных прямых: $y = 4$ и $y = -4$.

Решим данное уравнение относительно $y$. Это разность квадратов:
$(4y^2)^2 - 9^2 = 0$
$(4y^2 - 9)(4y^2 + 9) = 0$
Рассмотрим каждый множитель.
1) $4y^2 + 9 = 0 \implies 4y^2 = -9$. Это уравнение не имеет действительных корней.
2) $4y^2 - 9 = 0$. Это разность квадратов:
$(2y - 3)(2y + 3) = 0$
$2y - 3 = 0$ или $2y + 3 = 0$
$y = \frac{3}{2}$ или $y = -\frac{3}{2}$
$y = 1.5$ или $y = -1.5$
Графиком являются две горизонтальные прямые, проходящие через точки $(0, 1.5)$ и $(0, -1.5)$ на оси ординат.
Ответ: График уравнения состоит из двух горизонтальных прямых: $y = 1.5$ и $y = -1.5$.

Разложите многочлен на множители:

39.29 a) $(x + 1)^2 - 25;$

б) $(y - 2)^2 - 4;$

в) $(z + 10)^2 - 36;$

г) $(t - 7)^2 - 100.$

а) Для разложения данного многочлена на множители используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В выражении $(x + 1)^2 - 25$ мы можем представить $25$ как $5^2$. Тогда выражение примет вид $(x + 1)^2 - 5^2$.

Здесь $a = x + 1$, а $b = 5$.

Применяем формулу:

$(x + 1)^2 - 5^2 = ((x + 1) - 5)((x + 1) + 5)$

Теперь упростим выражения в каждой из скобок:

$(x + 1 - 5)(x + 1 + 5) = (x - 4)(x + 6)$

Ответ: $(x - 4)(x + 6)$.

б) Для выражения $(y - 2)^2 - 4$ также применим формулу разности квадратов. Представим $4$ как $2^2$.

Получаем выражение $(y - 2)^2 - 2^2$.

Здесь $a = y - 2$, а $b = 2$.

Подставляем в формулу:

$(y - 2)^2 - 2^2 = ((y - 2) - 2)((y - 2) + 2)$

Упрощаем выражения в скобках:

$(y - 2 - 2)(y - 2 + 2) = (y - 4)(y)$

Ответ: $y(y - 4)$.

в) В выражении $(z + 10)^2 - 36$ представим $36$ как $6^2$, чтобы использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Выражение принимает вид $(z + 10)^2 - 6^2$.

Здесь $a = z + 10$, а $b = 6$.

Применяем формулу:

$(z + 10)^2 - 6^2 = ((z + 10) - 6)((z + 10) + 6)$

Упрощаем выражения в скобках:

$(z + 10 - 6)(z + 10 + 6) = (z + 4)(z + 16)$

Ответ: $(z + 4)(z + 16)$.

г) Для выражения $(t - 7)^2 - 100$ используем тот же подход. Представим $100$ как $10^2$.

Получаем выражение $(t - 7)^2 - 10^2$.

Здесь $a = t - 7$, а $b = 10$.

Применяем формулу разности квадратов:

$(t - 7)^2 - 10^2 = ((t - 7) - 10)((t - 7) + 10)$

Упрощаем выражения в скобках:

$(t - 7 - 10)(t - 7 + 10) = (t - 17)(t + 3)$

Ответ: $(t - 17)(t + 3)$.

39.30 а) $49 - (m - 3)^2$;

б) $400 - (a + 9)^2$;

в) $625 - (n + 12)^2$;

г) $121 - (b - 13)^2$.

а) Чтобы разложить на множители выражение $49 - (m - 3)^2$, применим формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Сначала представим число $49$ в виде квадрата: $49 = 7^2$. Тогда исходное выражение можно записать как $7^2 - (m - 3)^2$.

В данном случае $x = 7$, а $y = m - 3$. Подставим эти значения в формулу разности квадратов:

$7^2 - (m - 3)^2 = (7 - (m - 3))(7 + (m - 3))$

Теперь раскроем скобки внутри каждого множителя и упростим полученные выражения:

$(7 - m + 3)(7 + m - 3) = (10 - m)(4 + m)$

Ответ: $(10 - m)(m + 4)$.

б) Для разложения выражения $400 - (a + 9)^2$ используем ту же формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Представим $400$ как $20^2$. Выражение примет вид: $20^2 - (a + 9)^2$.

Здесь $x = 20$ и $y = a + 9$. Подставляем в формулу:

$20^2 - (a + 9)^2 = (20 - (a + 9))(20 + (a + 9))$

Упростим, раскрыв внутренние скобки:

$(20 - a - 9)(20 + a + 9) = (11 - a)(29 + a)$

Ответ: $(11 - a)(a + 29)$.

в) Разложим на множители выражение $625 - (n + 12)^2$ по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Представим $625$ как $25^2$. Получим выражение: $25^2 - (n + 12)^2$.

В этом случае $x = 25$ и $y = n + 12$. Подставим в формулу:

$25^2 - (n + 12)^2 = (25 - (n + 12))(25 + (n + 12))$

Раскроем скобки и выполним действия:

$(25 - n - 12)(25 + n + 12) = (13 - n)(37 + n)$

Ответ: $(13 - n)(n + 37)$.

г) Для разложения выражения $121 - (b - 13)^2$ воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Представим $121$ как $11^2$. Выражение запишется в виде: $11^2 - (b - 13)^2$.

Здесь $x = 11$ и $y = b - 13$. Подставляем в формулу:

$11^2 - (b - 13)^2 = (11 - (b - 13))(11 + (b - 13))$

Упростим, раскрыв внутренние скобки:

$(11 - b + 13)(11 + b - 13) = (24 - b)(b - 2)$

Ответ: $(24 - b)(b - 2)$.

39.31 а) $(y + 2)^2 - 4y^2;$

б) $100a^2 - (5a + 9)^2;$

в) $(t - 7)^2 - 9t^2;$

г) $121b^2 - (7b - 3)^2.$

а) Для разложения на множители данного выражения воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
В данном случае $a = y + 2$ и $b^2 = 4y^2$, следовательно, $b = \sqrt{4y^2} = 2y$.
Подставим эти значения в формулу:
$(y + 2)^2 - (2y)^2 = ((y + 2) - 2y)((y + 2) + 2y)$
Теперь упростим выражения в каждой из скобок:
$(y + 2 - 2y)(y + 2 + 2y) = (2 - y)(3y + 2)$
Ответ: $(2 - y)(3y + 2)$.

б) Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
В этом выражении $a^2 = 100a^2$, значит $a = \sqrt{100a^2} = 10a$. Второй член $b = 5a + 9$.
Подставляем в формулу:
$(10a)^2 - (5a + 9)^2 = (10a - (5a + 9))(10a + (5a + 9))$
Раскроем внутренние скобки и упростим:
$(10a - 5a - 9)(10a + 5a + 9) = (5a - 9)(15a + 9)$
Во второй скобке можно вынести общий множитель 3:
$(5a - 9) \cdot 3(5a + 3) = 3(5a - 9)(5a + 3)$
Ответ: $3(5a - 9)(5a + 3)$.

в) Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Здесь $a = t - 7$ и $b^2 = 9t^2$, откуда $b = \sqrt{9t^2} = 3t$.
Применим формулу:
$(t - 7)^2 - (3t)^2 = ((t - 7) - 3t)((t - 7) + 3t)$
Упростим выражения в скобках:
$(t - 7 - 3t)(t - 7 + 3t) = (-2t - 7)(4t - 7)$
Можно вынести минус из первой скобки:
$-(2t + 7)(4t - 7)$
Ответ: $-(2t + 7)(4t - 7)$.

г) Снова применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
В данном случае $a^2 = 121b^2$, поэтому $a = \sqrt{121b^2} = 11b$. Второй член $b = 7b - 3$.
Подставим в формулу:
$(11b)^2 - (7b - 3)^2 = (11b - (7b - 3))(11b + (7b - 3))$
Раскроем внутренние скобки и приведем подобные слагаемые:
$(11b - 7b + 3)(11b + 7b - 3) = (4b + 3)(18b - 3)$
Во второй скобке вынесем общий множитель 3:
$(4b + 3) \cdot 3(6b - 1) = 3(4b + 3)(6b - 1)$
Ответ: $3(4b + 3)(6b - 1)$.

39.32 a) $(a + 4)^2 - (b + 2)^2;$

б) $(x - 5)^2 - (y + 8)^2;$

В) $(m + 10)^2 - (n - 12)^2;$

Г) $(c - 1)^2 - (d - 23)^2.$

а) Чтобы разложить на множители выражение $(a + 4)^2 - (b + 2)^2$, необходимо использовать формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
В данном выражении $A = (a + 4)$ и $B = (b + 2)$.
Подставим эти значения в формулу:
$(a + 4)^2 - (b + 2)^2 = ((a + 4) - (b + 2)) \cdot ((a + 4) + (b + 2))$
Теперь раскроем внутренние скобки и упростим полученные выражения:
Первый множитель: $(a + 4 - b - 2) = (a - b + 2)$
Второй множитель: $(a + 4 + b + 2) = (a + b + 6)$
В результате получаем произведение: $(a - b + 2)(a + b + 6)$.
Ответ: $(a - b + 2)(a + b + 6)$.

б) Для выражения $(x - 5)^2 - (y + 8)^2$ также применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Здесь $A = (x - 5)$ и $B = (y + 8)$.
Подставим в формулу:
$(x - 5)^2 - (y + 8)^2 = ((x - 5) - (y + 8)) \cdot ((x - 5) + (y + 8))$
Раскроем скобки и упростим:
Первый множитель: $(x - 5 - y - 8) = (x - y - 13)$
Второй множитель: $(x - 5 + y + 8) = (x + y + 3)$
Получаем итоговое разложение: $(x - y - 13)(x + y + 3)$.
Ответ: $(x - y - 13)(x + y + 3)$.

в) Выражение $(m + 10)^2 - (n - 12)^2$ раскладывается по формуле разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
В этом случае $A = (m + 10)$ и $B = (n - 12)$.
Подставим значения в формулу:
$(m + 10)^2 - (n - 12)^2 = ((m + 10) - (n - 12)) \cdot ((m + 10) + (n - 12))$
Упростим выражения в скобках:
Первый множитель: $(m + 10 - n + 12) = (m - n + 22)$
Второй множитель: $(m + 10 + n - 12) = (m + n - 2)$
Таким образом, разложение имеет вид: $(m - n + 22)(m + n - 2)$.
Ответ: $(m - n + 22)(m + n - 2)$.

г) Для выражения $(c - 1)^2 - (d - 23)^2$ воспользуемся той же формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Здесь $A = (c - 1)$ и $B = (d - 23)$.
Подставляем в формулу:
$(c - 1)^2 - (d - 23)^2 = ((c - 1) - (d - 23)) \cdot ((c - 1) + (d - 23))$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
Первый множитель: $(c - 1 - d + 23) = (c - d + 22)$
Второй множитель: $(c - 1 + d - 23) = (c + d - 24)$
Итоговый результат: $(c - d + 22)(c + d - 24)$.
Ответ: $(c - d + 22)(c + d - 24)$.

39.33 а) $(3x + 1)^2 - (4x + 3)^2;$

б) $(6y - 7)^2 - (9y + 4)^2;$

в) $(15z + 4)^2 - (3z - 2)^2;$

г) $(13t - 9)^2 - (8t - 7)^2.$

а) $(3x + 1)^2 - (4x + 3)^2$

Для решения этого выражения воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В данном случае, $a = (3x + 1)$ и $b = (4x + 3)$.

Подставим эти значения в формулу:

$((3x + 1) - (4x + 3))((3x + 1) + (4x + 3))$

Теперь упростим выражения в каждой из скобок.

Первая скобка:

$3x + 1 - 4x - 3 = (3x - 4x) + (1 - 3) = -x - 2$

Вторая скобка:

$3x + 1 + 4x + 3 = (3x + 4x) + (1 + 3) = 7x + 4$

Перемножим полученные выражения:

$(-x - 2)(7x + 4)$

Можно вынести знак минус из первой скобки для более удобного вида:

$-(x + 2)(7x + 4)$

Ответ: $-(x + 2)(7x + 4)$

б) $(6y - 7)^2 - (9y + 4)^2$

Применим формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Здесь $a = (6y - 7)$ и $b = (9y + 4)$.

Подставляем в формулу:

$((6y - 7) - (9y + 4))((6y - 7) + (9y + 4))$

Упрощаем каждую скобку.

Первая скобка:

$6y - 7 - 9y - 4 = (6y - 9y) + (-7 - 4) = -3y - 11$

Вторая скобка:

$6y - 7 + 9y + 4 = (6y + 9y) + (-7 + 4) = 15y - 3$

Получаем произведение:

$(-3y - 11)(15y - 3)$

Вынесем общие множители из каждой скобки: $-1$ из первой и $3$ из второй.

$-1(3y + 11) \cdot 3(5y - 1) = -3(3y + 11)(5y - 1)$

Ответ: $-3(3y + 11)(5y - 1)$

в) $(15z + 4)^2 - (3z - 2)^2$

Используем ту же формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В этом примере $a = (15z + 4)$ и $b = (3z - 2)$.

Подставляем в формулу:

$((15z + 4) - (3z - 2))((15z + 4) + (3z - 2))$

Упрощаем выражения в скобках.

Первая скобка:

$15z + 4 - 3z + 2 = (15z - 3z) + (4 + 2) = 12z + 6$

Вторая скобка:

$15z + 4 + 3z - 2 = (15z + 3z) + (4 - 2) = 18z + 2$

Получаем произведение:

$(12z + 6)(18z + 2)$

Вынесем общие множители для упрощения: $6$ из первой скобки и $2$ из второй.

$6(2z + 1) \cdot 2(9z + 1) = 12(2z + 1)(9z + 1)$

Ответ: $12(2z + 1)(9z + 1)$

г) $(13t - 9)^2 - (8t - 7)^2$

Снова применяем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Здесь $a = (13t - 9)$ и $b = (8t - 7)$.

Подставляем в формулу:

$((13t - 9) - (8t - 7))((13t - 9) + (8t - 7))$

Упрощаем каждую скобку.

Первая скобка:

$13t - 9 - 8t + 7 = (13t - 8t) + (-9 + 7) = 5t - 2$

Вторая скобка:

$13t - 9 + 8t - 7 = (13t + 8t) + (-9 - 7) = 21t - 16$

Получаем итоговое выражение:

$(5t - 2)(21t - 16)$

Ответ: $(5t - 2)(21t - 16)$

Решите уравнение:

39.34 а) $ \frac{1}{16}a^2 - \frac{1}{25} = 0; $

б) $ \frac{4}{49}b^2 - \frac{16}{121} = 0; $

в) $ \frac{9}{16}c^2 - \frac{81}{100} = 0; $

г) $ \frac{36}{1225}d^2 - \frac{64}{441} = 0. $

а)

Исходное уравнение: $ \frac{1}{16}a^2 - \frac{1}{25} = 0 $.

Данное уравнение представляет собой разность квадратов, так как оба члена уравнения можно представить в виде квадратов:

$ \frac{1}{16}a^2 = (\frac{1}{4}a)^2 $

$ \frac{1}{25} = (\frac{1}{5})^2 $

Перепишем уравнение в виде:

$ (\frac{1}{4}a)^2 - (\frac{1}{5})^2 = 0 $

Воспользуемся формулой разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $ для разложения левой части уравнения на множители:

$ (\frac{1}{4}a - \frac{1}{5})(\frac{1}{4}a + \frac{1}{5}) = 0 $

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных случая:

1) $ \frac{1}{4}a - \frac{1}{5} = 0 \implies \frac{1}{4}a = \frac{1}{5} \implies a = \frac{4}{5} $

2) $ \frac{1}{4}a + \frac{1}{5} = 0 \implies \frac{1}{4}a = -\frac{1}{5} \implies a = -\frac{4}{5} $

Ответ: $ a_1 = \frac{4}{5}, a_2 = -\frac{4}{5} $.

б)

Исходное уравнение: $ \frac{4}{49}b^2 - \frac{16}{121} = 0 $.

Представим уравнение как разность квадратов:

$ (\frac{2}{7}b)^2 - (\frac{4}{11})^2 = 0 $

Разложим левую часть на множители:

$ (\frac{2}{7}b - \frac{4}{11})(\frac{2}{7}b + \frac{4}{11}) = 0 $

Приравниваем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни:

1) $ \frac{2}{7}b - \frac{4}{11} = 0 \implies \frac{2}{7}b = \frac{4}{11} \implies b = \frac{4}{11} \cdot \frac{7}{2} = \frac{2 \cdot 7}{11} = \frac{14}{11} $

2) $ \frac{2}{7}b + \frac{4}{11} = 0 \implies \frac{2}{7}b = -\frac{4}{11} \implies b = -\frac{4}{11} \cdot \frac{7}{2} = -\frac{14}{11} $

Ответ: $ b_1 = \frac{14}{11}, b_2 = -\frac{14}{11} $.

в)

Исходное уравнение: $ \frac{9}{16}c^2 - \frac{81}{100} = 0 $.

Представим уравнение как разность квадратов:

$ (\frac{3}{4}c)^2 - (\frac{9}{10})^2 = 0 $

Разложим на множители:

$ (\frac{3}{4}c - \frac{9}{10})(\frac{3}{4}c + \frac{9}{10}) = 0 $

Найдем корни уравнения, приравняв каждый множитель к нулю:

1) $ \frac{3}{4}c - \frac{9}{10} = 0 \implies \frac{3}{4}c = \frac{9}{10} \implies c = \frac{9}{10} \cdot \frac{4}{3} = \frac{3 \cdot 2}{5} = \frac{6}{5} $

2) $ \frac{3}{4}c + \frac{9}{10} = 0 \implies \frac{3}{4}c = -\frac{9}{10} \implies c = -\frac{9}{10} \cdot \frac{4}{3} = -\frac{6}{5} $

Ответ: $ c_1 = \frac{6}{5}, c_2 = -\frac{6}{5} $.

г)

Исходное уравнение: $ \frac{36}{1225}d^2 - \frac{64}{441} = 0 $.

Для решения найдем квадратные корни из числителей и знаменателей: $ \sqrt{36}=6, \sqrt{1225}=35, \sqrt{64}=8, \sqrt{441}=21 $.

Теперь представим уравнение как разность квадратов:

$ (\frac{6}{35}d)^2 - (\frac{8}{21})^2 = 0 $

Разложим на множители, используя соответствующую формулу:

$ (\frac{6}{35}d - \frac{8}{21})(\frac{6}{35}d + \frac{8}{21}) = 0 $

Найдем корни, решая два простых линейных уравнения:

1) $ \frac{6}{35}d - \frac{8}{21} = 0 \implies \frac{6}{35}d = \frac{8}{21} \implies d = \frac{8}{21} \cdot \frac{35}{6} $

Сократим дробь: $ d = \frac{8 \cdot 35}{21 \cdot 6} = \frac{(4 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 7)}{(3 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 2)} = \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 3} = \frac{20}{9} $

2) $ \frac{6}{35}d + \frac{8}{21} = 0 \implies \frac{6}{35}d = -\frac{8}{21} \implies d = -\frac{8}{21} \cdot \frac{35}{6} = -\frac{20}{9} $

Ответ: $ d_1 = \frac{20}{9}, d_2 = -\frac{20}{9} $.

39.35 a) $(2x - 5)^2 - 36 = 0;$

б) $(5z - 3)^2 - 9z^2 = 0;$

в) $(4 - 11y)^2 - 1 = 0;$

г) $(4t - 3)^2 - 25t^2 = 0.$

а) $(2x - 5)^2 - 36 = 0$

Данное уравнение является разностью квадратов. Используем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим $36$ как $6^2$:

$(2x - 5)^2 - 6^2 = 0$

Применим формулу, где $a = 2x - 5$, а $b = 6$:

$((2x - 5) - 6)((2x - 5) + 6) = 0$

Упростим выражения в скобках:

$(2x - 11)(2x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

$2x - 11 = 0$ или $2x + 1 = 0$

Решаем первое уравнение:

$2x = 11$

$x_1 = \frac{11}{2} = 5.5$

Решаем второе уравнение:

$2x = -1$

$x_2 = -\frac{1}{2} = -0.5$

Ответ: $-0.5; 5.5$.

б) $(5z - 3)^2 - 9z^2 = 0$

Это также уравнение вида разности квадратов. Представим $9z^2$ как $(3z)^2$:

$(5z - 3)^2 - (3z)^2 = 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 5z - 3$, а $b = 3z$:

$((5z - 3) - 3z)((5z - 3) + 3z) = 0$

Упростим выражения в скобках:

$(2z - 3)(8z - 3) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$2z - 3 = 0$ или $8z - 3 = 0$

Решаем первое уравнение:

$2z = 3$

$z_1 = \frac{3}{2} = 1.5$

Решаем второе уравнение:

$8z = 3$

$z_2 = \frac{3}{8}$

Ответ: $\frac{3}{8}; 1.5$.

в) $(4 - 11y)^2 - 1 = 0$

Используем формулу разности квадратов. Представим $1$ как $1^2$:

$(4 - 11y)^2 - 1^2 = 0$

Применим формулу, где $a = 4 - 11y$, а $b = 1$:

$((4 - 11y) - 1)((4 - 11y) + 1) = 0$

Упростим выражения в скобках:

$(3 - 11y)(5 - 11y) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$3 - 11y = 0$ или $5 - 11y = 0$

Решаем первое уравнение:

$11y = 3$

$y_1 = \frac{3}{11}$

Решаем второе уравнение:

$11y = 5$

$y_2 = \frac{5}{11}$

Ответ: $\frac{3}{11}; \frac{5}{11}$.

г) $(4t - 3)^2 - 25t^2 = 0$

Снова применяем формулу разности квадратов. Представим $25t^2$ как $(5t)^2$:

$(4t - 3)^2 - (5t)^2 = 0$

Применим формулу, где $a = 4t - 3$, а $b = 5t$:

$((4t - 3) - 5t)((4t - 3) + 5t) = 0$

Упростим выражения в скобках:

$(-t - 3)(9t - 3) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$-t - 3 = 0$ или $9t - 3 = 0$

Решаем первое уравнение:

$-t = 3$

$t_1 = -3$

Решаем второе уравнение:

$9t = 3$

$t_2 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Ответ: $-3; \frac{1}{3}$.

39.36 а) $(a + 1)^2 - (2a + 3)^2 = 0;$

б) $(5c + 8)^2 - (c - 10)^2 = 0;$

в) $(3b - 2)^2 - (b + 1)^2 = 0;$

г) $(7d - 13)^2 - (9d - 25)^2 = 0.$

а) $(a + 1)^2 - (2a + 3)^2 = 0$

Данное уравнение представляет собой разность квадратов. Воспользуемся формулой сокращенного умножения: $X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)$.

В нашем случае $X = a + 1$ и $Y = 2a + 3$. Подставим эти выражения в формулу:

$((a + 1) - (2a + 3))((a + 1) + (2a + 3)) = 0$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(a + 1 - 2a - 3)(a + 1 + 2a + 3) = 0$

$(-a - 2)(3a + 4) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $-a - 2 = 0 \Rightarrow -a = 2 \Rightarrow a_1 = -2$

2) $3a + 4 = 0 \Rightarrow 3a = -4 \Rightarrow a_2 = -\frac{4}{3}$

Ответ: $a_1 = -2, a_2 = -1\frac{1}{3}$.

б) $(5c + 8)^2 - (c - 10)^2 = 0$

Это уравнение также является разностью квадратов, где $X = 5c + 8$ и $Y = c - 10$. Применим формулу $X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)$.

$((5c + 8) - (c - 10))((5c + 8) + (c - 10)) = 0$

Упростим выражения в скобках:

$(5c + 8 - c + 10)(5c + 8 + c - 10) = 0$

$(4c + 18)(6c - 2) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни уравнения:

1) $4c + 18 = 0 \Rightarrow 4c = -18 \Rightarrow c_1 = -\frac{18}{4} = -\frac{9}{2} = -4.5$

2) $6c - 2 = 0 \Rightarrow 6c = 2 \Rightarrow c_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Ответ: $c_1 = -4.5, c_2 = \frac{1}{3}$.

в) $(3b - 2)^2 - (b + 1)^2 = 0$

Снова используем формулу разности квадратов $X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)$, где $X = 3b - 2$ и $Y = b + 1$.

$((3b - 2) - (b + 1))((3b - 2) + (b + 1)) = 0$

Раскрываем внутренние скобки и упрощаем:

$(3b - 2 - b - 1)(3b - 2 + b + 1) = 0$

$(2b - 3)(4b - 1) = 0$

Находим корни, приравнивая каждый множитель к нулю:

1) $2b - 3 = 0 \Rightarrow 2b = 3 \Rightarrow b_1 = \frac{3}{2} = 1.5$

2) $4b - 1 = 0 \Rightarrow 4b = 1 \Rightarrow b_2 = \frac{1}{4} = 0.25$

Ответ: $b_1 = 1.5, b_2 = 0.25$.

г) $(7d - 13)^2 - (9d - 25)^2 = 0$

Применяем формулу разности квадратов $X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)$, где $X = 7d - 13$ и $Y = 9d - 25$.

$((7d - 13) - (9d - 25))((7d - 13) + (9d - 25)) = 0$

Упростим выражения в скобках:

$(7d - 13 - 9d + 25)(7d - 13 + 9d - 25) = 0$

$(-2d + 12)(16d - 38) = 0$

Теперь найдем корни уравнения:

1) $-2d + 12 = 0 \Rightarrow -2d = -12 \Rightarrow d_1 = 6$

2) $16d - 38 = 0 \Rightarrow 16d = 38 \Rightarrow d_2 = \frac{38}{16} = \frac{19}{8} = 2.375$

Ответ: $d_1 = 6, d_2 = \frac{19}{8}$.