Страница 167, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Постройте на координатной плоскости $xOy$ график уравнения:

38.13 a) $xy + 2 - 2y - x = 0;$

б) $4 + xy + 2(x + y) = 0.$

а)

Для построения графика уравнения $xy + 2 - 2y - x = 0$ преобразуем его, разложив на множители. Для этого сгруппируем слагаемые:

$(xy - 2y) - (x - 2) = 0$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$y(x - 2) - 1(x - 2) = 0$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x - 2)$:

$(x - 2)(y - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы получаем совокупность двух уравнений:

$x - 2 = 0$ или $y - 1 = 0$

Отсюда:

$x = 2$ или $y = 1$

Графиком уравнения $x = 2$ является прямая, параллельная оси $Oy$ и проходящая через точку $(2, 0)$.

Графиком уравнения $y = 1$ является прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, 1)$.

Таким образом, график исходного уравнения представляет собой объединение двух прямых: $x = 2$ и $y = 1$.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся прямых $x=2$ и $y=1$.

б)

Рассмотрим уравнение $4 + xy + 2(x + y) = 0$. Раскроем скобки и преобразуем его:

$4 + xy + 2x + 2y = 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(xy + 2x) + (2y + 4) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x(y + 2) + 2(y + 2) = 0$

Вынесем общий множитель $(y + 2)$ за скобки:

$(x + 2)(y + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

$x + 2 = 0$ или $y + 2 = 0$

Отсюда получаем:

$x = -2$ или $y = -2$

Графиком уравнения $x = -2$ является прямая, параллельная оси $Oy$ и проходящая через точку $(-2, 0)$.

Графиком уравнения $y = -2$ является прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, -2)$.

Следовательно, график исходного уравнения состоит из двух прямых: $x = -2$ и $y = -2$.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся прямых $x=-2$ и $y=-2$.

38.14 а) $y^2 - 4y + xy - 4x = 0;$

Б) $2x^2 - 4x - xy + 2y = 0;$

В) $x^2 + 3x - xy - 3y = 0;$

Г) $-y^2 + 2y - 3xy + 6x = 0.$

а) $y^2 - 4y + xy - 4x = 0$. Разложим левую часть уравнения на множители методом группировки: $(y^2 - 4y) + (xy - 4x) = 0$. Вынесем общие множители из каждой группы: $y(y - 4) + x(y - 4) = 0$. Теперь вынесем общий множитель $(y - 4)$ за скобки: $(y - 4)(y + x) = 0$. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, $y - 4 = 0$ или $y + x = 0$. Из этих уравнений находим $y = 4$ или $y = -x$.
Ответ: $y = 4$; $y = -x$.

б) $2x^2 - 4x - xy + 2y = 0$. Сгруппируем слагаемые: $(2x^2 - 4x) - (xy - 2y) = 0$. Вынесем общие множители из каждой группы: $2x(x - 2) - y(x - 2) = 0$. Вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки: $(x - 2)(2x - y) = 0$. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Следовательно, $x - 2 = 0$ или $2x - y = 0$. Из этих уравнений находим $x = 2$ или $y = 2x$.
Ответ: $x = 2$; $y = 2x$.

в) $x^2 + 3x - xy - 3y = 0$. Сгруппируем слагаемые: $(x^2 + 3x) - (xy + 3y) = 0$. Вынесем общие множители из каждой группы: $x(x + 3) - y(x + 3) = 0$. Вынесем общий множитель $(x + 3)$ за скобки: $(x + 3)(x - y) = 0$. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Следовательно, $x + 3 = 0$ или $x - y = 0$. Из этих уравнений находим $x = -3$ или $y = x$.
Ответ: $x = -3$; $y = x$.

г) $-y^2 + 2y - 3xy + 6x = 0$. Сгруппируем слагаемые: $(-y^2 + 2y) + (-3xy + 6x) = 0$. Вынесем общие множители из каждой группы: $y(-y + 2) + 3x(-y + 2) = 0$. Вынесем общий множитель $(-y + 2)$ за скобки: $(-y + 2)(y + 3x) = 0$. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Следовательно, $-y + 2 = 0$ или $y + 3x = 0$. Из этих уравнений находим $y = 2$ или $y = -3x$.
Ответ: $y = 2$; $y = -3x$.

Вычислите наиболее рациональным способом:

38.15 а) $2,7 \cdot 6,2 - 9,3 \cdot 1,2 + 6,2 \cdot 9,3 - 1,2 \cdot 2,7;$

б) $125 \cdot 48 - 31 \cdot 82 - 31 \cdot 43 + 125 \cdot 83;$

в) $14,9 \cdot 1,25 + 0,75 \cdot 1,1 + 14,9 \cdot 0,75 + 1,1 \cdot 1,25;$

г) $3\frac{1}{3} \cdot 4\frac{1}{5} + 4,2 \cdot \frac{2}{3} + 3\frac{1}{3} \cdot 2\frac{4}{5} + 2,8 \cdot \frac{2}{3}.$

а) $2,7 \cdot 6,2 - 9,3 \cdot 1,2 + 6,2 \cdot 9,3 - 1,2 \cdot 2,7$

Для рационального вычисления сгруппируем слагаемые, имеющие общие множители, и применим распределительное свойство умножения. Сгруппируем первое и четвертое слагаемые, а также второе и третье.

$(2,7 \cdot 6,2 - 1,2 \cdot 2,7) + (6,2 \cdot 9,3 - 9,3 \cdot 1,2)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$2,7 \cdot (6,2 - 1,2) + 9,3 \cdot (6,2 - 1,2)$

Теперь мы видим общий множитель $(6,2 - 1,2)$, который также можно вынести за скобки:

$(2,7 + 9,3) \cdot (6,2 - 1,2)$

Выполним вычисления в скобках:

$12 \cdot 5 = 60$

Ответ: 60

б) $125 \cdot 48 - 31 \cdot 82 - 31 \cdot 43 + 125 \cdot 83$

Сгруппируем слагаемые с общими множителями $125$ и $31$:

$(125 \cdot 48 + 125 \cdot 83) + (-31 \cdot 82 - 31 \cdot 43)$

Вынесем общие множители за скобки:

$125 \cdot (48 + 83) - 31 \cdot (82 + 43)$

Выполним сложение в скобках:

$125 \cdot 131 - 31 \cdot 125$

Вынесем за скобки общий множитель $125$:

$125 \cdot (131 - 31)$

Выполним вычитание в скобках и итоговое умножение:

$125 \cdot 100 = 12500$

Ответ: 12500

в) $14,9 \cdot 1,25 + 0,75 \cdot 1,1 + 14,9 \cdot 0,75 + 1,1 \cdot 1,25$

Сгруппируем слагаемые, имеющие общие множители:

$(14,9 \cdot 1,25 + 14,9 \cdot 0,75) + (0,75 \cdot 1,1 + 1,1 \cdot 1,25)$

Вынесем общие множители за скобки:

$14,9 \cdot (1,25 + 0,75) + 1,1 \cdot (0,75 + 1,25)$

Выполним сложение в скобках:

$14,9 \cdot 2 + 1,1 \cdot 2$

Вынесем за скобки общий множитель $2$:

$(14,9 + 1,1) \cdot 2$

Выполним сложение в скобках и итоговое умножение:

$16 \cdot 2 = 32$

Ответ: 32

г) $3\frac{1}{3} \cdot 4\frac{1}{5} + 4,2 \cdot \frac{2}{3} + 3\frac{1}{3} \cdot 2\frac{4}{5} + 2,8 \cdot \frac{2}{3}$

Для удобства вычислений преобразуем все смешанные числа и десятичные дроби в неправильные дроби:

$3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$; $4\frac{1}{5} = \frac{21}{5}$; $4,2 = \frac{42}{10} = \frac{21}{5}$; $2\frac{4}{5} = \frac{14}{5}$; $2,8 = \frac{28}{10} = \frac{14}{5}$

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$\frac{10}{3} \cdot \frac{21}{5} + \frac{21}{5} \cdot \frac{2}{3} + \frac{10}{3} \cdot \frac{14}{5} + \frac{14}{5} \cdot \frac{2}{3}$

Сгруппируем слагаемые с общими множителями:

$(\frac{10}{3} \cdot \frac{21}{5} + \frac{10}{3} \cdot \frac{14}{5}) + (\frac{21}{5} \cdot \frac{2}{3} + \frac{14}{5} \cdot \frac{2}{3})$

Вынесем общие множители за скобки:

$\frac{10}{3} \cdot (\frac{21}{5} + \frac{14}{5}) + \frac{2}{3} \cdot (\frac{21}{5} + \frac{14}{5})$

Выполним сложение в скобках: $\frac{21}{5} + \frac{14}{5} = \frac{35}{5} = 7$

$\frac{10}{3} \cdot 7 + \frac{2}{3} \cdot 7$

Вынесем за скобки общий множитель $7$:

$(\frac{10}{3} + \frac{2}{3}) \cdot 7$

Выполним сложение в скобках: $\frac{10}{3} + \frac{2}{3} = \frac{12}{3} = 4$

Выполним итоговое вычисление:

$4 \cdot 7 = 28$

Ответ: 28

38.16 a) $109 \cdot 9.17 - 5.37 \cdot 72 - 37 \cdot 9.17 + 1.2 \cdot 72;$

б) $19.9 \cdot 18 - 19.9 \cdot 16 + 30.1 \cdot 18 - 30.1 \cdot 16;$

в) $15.5 \cdot 20.8 + 15.5 \cdot 9.2 - 3.5 \cdot 20.8 - 3.5 \cdot 9.2;$

г) $77.3 \cdot 13 + 8 \cdot 37.3 - 77.3 \cdot 8 - 13 \cdot 37.3.$

а) $109 \cdot 9,17 - 5,37 \cdot 72 - 37 \cdot 9,17 + 1,2 \cdot 72$
Для решения данного примера необходимо сгруппировать слагаемые, имеющие общие множители. Сгруппируем слагаемые с множителем $9,17$ и с множителем $72$:
$(109 \cdot 9,17 - 37 \cdot 9,17) + (1,2 \cdot 72 - 5,37 \cdot 72)$
Теперь вынесем общие множители за скобки, используя распределительное свойство умножения ($a \cdot c + b \cdot c = (a+b) \cdot c$):
$9,17 \cdot (109 - 37) + 72 \cdot (1,2 - 5,37)$
Выполним вычисления в скобках:
$109 - 37 = 72$
$1,2 - 5,37 = -4,17$
Подставим полученные значения обратно в выражение:
$9,17 \cdot 72 + 72 \cdot (-4,17) = 9,17 \cdot 72 - 4,17 \cdot 72$
Снова применим распределительное свойство, вынеся за скобки общий множитель $72$:
$72 \cdot (9,17 - 4,17)$
Выполним вычитание в скобках:
$9,17 - 4,17 = 5$
Найдем конечный результат:
$72 \cdot 5 = 360$
Ответ: 360

б) $19,9 \cdot 18 - 19,9 \cdot 16 + 30,1 \cdot 18 - 30,1 \cdot 16$
Сгруппируем слагаемые с общими множителями. Сначала сгруппируем члены с множителем $19,9$, а затем с множителем $30,1$:
$(19,9 \cdot 18 - 19,9 \cdot 16) + (30,1 \cdot 18 - 30,1 \cdot 16)$
Вынесем общие множители за скобки в каждой из групп:
$19,9 \cdot (18 - 16) + 30,1 \cdot (18 - 16)$
Как мы видим, в обеих частях выражения появился общий множитель $(18-16)$. Вычислим его значение:
$18 - 16 = 2$
Подставим это значение:
$19,9 \cdot 2 + 30,1 \cdot 2$
Теперь вынесем общий множитель $2$ за скобки:
$(19,9 + 30,1) \cdot 2$
Выполним сложение в скобках:
$19,9 + 30,1 = 50$
Найдем конечный результат:
$50 \cdot 2 = 100$
Ответ: 100

в) $15,5 \cdot 20,8 + 15,5 \cdot 9,2 - 3,5 \cdot 20,8 - 3,5 \cdot 9,2$
Сгруппируем слагаемые с общими множителями. Сначала сгруппируем члены с множителем $15,5$, а затем с множителем $3,5$:
$(15,5 \cdot 20,8 + 15,5 \cdot 9,2) - (3,5 \cdot 20,8 + 3,5 \cdot 9,2)$
Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:
$15,5 \cdot (20,8 + 9,2) - 3,5 \cdot (20,8 + 9,2)$
Вычислим значение общего множителя в скобках:
$20,8 + 9,2 = 30$
Подставим полученное значение в выражение:
$15,5 \cdot 30 - 3,5 \cdot 30$
Вынесем общий множитель $30$ за скобки:
$(15,5 - 3,5) \cdot 30$
Выполним вычитание в скобках:
$15,5 - 3,5 = 12$
Найдем конечный результат:
$12 \cdot 30 = 360$
Ответ: 360

г) $77,3 \cdot 13 + 8 \cdot 37,3 - 77,3 \cdot 8 - 13 \cdot 37,3$
Сгруппируем слагаемые, имеющие общие множители. Сгруппируем члены с множителем $77,3$ и члены с множителем $37,3$:
$(77,3 \cdot 13 - 77,3 \cdot 8) + (8 \cdot 37,3 - 13 \cdot 37,3)$
Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:
$77,3 \cdot (13 - 8) + 37,3 \cdot (8 - 13)$
Выполним вычисления в скобках:
$13 - 8 = 5$
$8 - 13 = -5$
Подставим полученные значения в выражение:
$77,3 \cdot 5 + 37,3 \cdot (-5) = 77,3 \cdot 5 - 37,3 \cdot 5$
Вынесем общий множитель $5$ за скобки:
$(77,3 - 37,3) \cdot 5$
Выполним вычитание в скобках:
$77,3 - 37,3 = 40$
Найдем конечный результат:
$40 \cdot 5 = 200$
Ответ: 200

Разложите многочлен на множители, представив один из его членов в виде суммы подобных слагаемых:

38.17 а) $x^2 + 6x + 8$;

б) $x^2 - 8x + 15$;

в) $x^2 + 3x + 2$;

г) $x^2 - 5x + 6.

а) Чтобы разложить многочлен $x^2 + 6x + 8$ на множители, необходимо представить средний член $6x$ в виде суммы двух слагаемых. Для этого найдём два числа, сумма которых равна коэффициенту при $x$, то есть $6$, а произведение равно свободному члену, то есть $8$.
Такими числами являются $2$ и $4$, поскольку $2 + 4 = 6$ и $2 \cdot 4 = 8$.
Теперь представим $6x$ в виде суммы $2x + 4x$ и выполним разложение методом группировки:
$x^2 + 6x + 8 = x^2 + 2x + 4x + 8$
Сгруппируем слагаемые: $(x^2 + 2x) + (4x + 8)$.
Вынесем общий множитель из каждой скобки: $x(x + 2) + 4(x + 2)$.
Вынесем общий множитель $(x + 2)$: $(x + 2)(x + 4)$.
Ответ: $(x + 2)(x + 4)$.

б) Для разложения многочлена $x^2 - 8x + 15$ на множители ищем два числа, сумма которых равна $-8$, а произведение равно $15$.
Поскольку сумма отрицательна, а произведение положительно, оба числа должны быть отрицательными. Такими числами являются $-3$ и $-5$, так как $(-3) + (-5) = -8$ и $(-3) \cdot (-5) = 15$.
Представим $-8x$ в виде суммы $-3x - 5x$ и применим метод группировки:
$x^2 - 8x + 15 = x^2 - 3x - 5x + 15$
Сгруппируем слагаемые: $(x^2 - 3x) + (-5x + 15)$.
Вынесем общий множитель из каждой скобки: $x(x - 3) - 5(x - 3)$.
Вынесем общий множитель $(x - 3)$: $(x - 3)(x - 5)$.
Ответ: $(x - 3)(x - 5)$.

в) Чтобы разложить многочлен $x^2 + 3x + 2$ на множители, ищем два числа, сумма которых равна $3$, а произведение равно $2$.
Такими числами являются $1$ и $2$, так как $1 + 2 = 3$ и $1 \cdot 2 = 2$.
Представим $3x$ как $x + 2x$ и выполним разложение:
$x^2 + 3x + 2 = x^2 + x + 2x + 2$
Сгруппируем слагаемые: $(x^2 + x) + (2x + 2)$.
Вынесем общий множитель из каждой скобки: $x(x + 1) + 2(x + 1)$.
Вынесем общий множитель $(x + 1)$: $(x + 1)(x + 2)$.
Ответ: $(x + 1)(x + 2)$.

г) Для разложения многочлена $x^2 - 5x + 6$ на множители ищем два числа, сумма которых равна $-5$, а произведение равно $6$.
Поскольку сумма отрицательна, а произведение положительно, оба числа отрицательны. Такими числами являются $-2$ и $-3$, так как $(-2) + (-3) = -5$ и $(-2) \cdot (-3) = 6$.
Представим $-5x$ как $-2x - 3x$ и разложим на множители:
$x^2 - 5x + 6 = x^2 - 2x - 3x + 6$
Сгруппируем слагаемые: $(x^2 - 2x) + (-3x + 6)$.
Вынесем общий множитель из каждой скобки: $x(x - 2) - 3(x - 2)$.
Вынесем общий множитель $(x - 2)$: $(x - 2)(x - 3)$.
Ответ: $(x - 2)(x - 3)$.

38.18 a) $a^2 - 7a + 6$;

Б) $b^2 + 9b - 10$;

В) $y^2 - 10y + 24$;

Г) $z^2 - 18z - 40$.

а)

Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $a^2 - 7a + 6$, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $a^2 - 7a + 6 = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение вида $x^2 + px + q = 0$. По теореме Виета, сумма корней $a_1 + a_2 = -p$, а произведение корней $a_1 \cdot a_2 = q$.

В нашем случае коэффициенты $p = -7$ и $q = 6$. Следовательно, нам нужно найти два числа, сумма которых равна $-(-7) = 7$, а произведение равно $6$.

Подбором находим эти числа: $a_1 = 1$ и $a_2 = 6$. Действительно, $1 + 6 = 7$ и $1 \cdot 6 = 6$.

Формула разложения квадратного трехчлена на множители: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$. Поскольку старший коэффициент равен $1$, получаем:

$a^2 - 7a + 6 = (a - 1)(a - 6)$

Ответ: $(a - 1)(a - 6)$.

б)

Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $b^2 + 9b - 10$, найдем корни уравнения $b^2 + 9b - 10 = 0$.

По теореме Виета, для этого уравнения с коэффициентами $p = 9$ и $q = -10$ ищем два числа, сумма которых равна $-9$, а произведение равно $-10$.

Подбором находим корни: $b_1 = 1$ и $b_2 = -10$. Проверяем: $1 + (-10) = -9$ и $1 \cdot (-10) = -10$.

Применяя формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$ со старшим коэффициентом, равным $1$, получаем:

$b^2 + 9b - 10 = (b - 1)(b - (-10)) = (b - 1)(b + 10)$

Ответ: $(b - 1)(b + 10)$.

в)

Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $y^2 - 10y + 24$, найдем корни уравнения $y^2 - 10y + 24 = 0$.

По теореме Виета, для этого уравнения с коэффициентами $p = -10$ и $q = 24$ ищем два числа, сумма которых равна $-(-10) = 10$, а произведение равно $24$.

Подбором находим корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = 6$. Проверяем: $4 + 6 = 10$ и $4 \cdot 6 = 24$.

Применяя формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$ со старшим коэффициентом, равным $1$, получаем:

$y^2 - 10y + 24 = (y - 4)(y - 6)$

Ответ: $(y - 4)(y - 6)$.

г)

Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $z^2 - 18z - 40$, найдем корни уравнения $z^2 - 18z - 40 = 0$.

По теореме Виета, для этого уравнения с коэффициентами $p = -18$ и $q = -40$ ищем два числа, сумма которых равна $-(-18) = 18$, а произведение равно $-40$.

Подбором находим корни: $z_1 = 20$ и $z_2 = -2$. Проверяем: $20 + (-2) = 18$ и $20 \cdot (-2) = -40$.

Применяя формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$ со старшим коэффициентом, равным $1$, получаем:

$z^2 - 18z - 40 = (z - 20)(z - (-2)) = (z - 20)(z + 2)$

Ответ: $(z - 20)(z + 2)$.

38.19 a) $a^2 + 8ab - 9b^2;$

б) $a^2 + 16ab + 55b^2;$

в) $x^2 + 4xy - 12y^2;$

г) $x^2 + 16xy + 39y^2.$

а) Для разложения многочлена $a^2 + 8ab - 9b^2$ на множители применим метод выделения полного квадрата. Добавим и вычтем слагаемое, необходимое для получения полного квадрата из выражения $a^2 + 8ab$. Таким слагаемым является $(\frac{8b}{2})^2 = (4b)^2 = 16b^2$.
$a^2 + 8ab - 9b^2 = (a^2 + 8ab + 16b^2) - 16b^2 - 9b^2$
Выражение в скобках является полным квадратом $(a+4b)^2$. Получаем:
$(a+4b)^2 - 25b^2$
Это разность квадратов вида $X^2 - Y^2$, где $X = a+4b$ и $Y = \sqrt{25b^2} = 5b$. Используя формулу разности квадратов $X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y)$, получаем:
$((a+4b) - 5b)((a+4b) + 5b) = (a - b)(a + 9b)$
Ответ: $(a - b)(a + 9b)$.

б) Разложим на множители выражение $a^2 + 16ab + 55b^2$, используя метод выделения полного квадрата. Выделим полный квадрат для первых двух слагаемых. Для этого добавим и вычтем $(\frac{16b}{2})^2 = (8b)^2 = 64b^2$.
$a^2 + 16ab + 55b^2 = (a^2 + 16ab + 64b^2) - 64b^2 + 55b^2$
Сгруппируем первые три слагаемых в полный квадрат $(a+8b)^2$:
$(a+8b)^2 - 9b^2$
Это разность квадратов $X^2 - Y^2$, где $X = a+8b$ и $Y = \sqrt{9b^2} = 3b$. Применим формулу:
$((a+8b) - 3b)((a+8b) + 3b) = (a + 5b)(a + 11b)$
Ответ: $(a + 5b)(a + 11b)$.

в) Чтобы разложить на множители многочлен $x^2 + 4xy - 12y^2$, выделим в нём полный квадрат. Для выражения $x^2 + 4xy$ нужно добавить и отнять $(\frac{4y}{2})^2 = (2y)^2 = 4y^2$.
$x^2 + 4xy - 12y^2 = (x^2 + 4xy + 4y^2) - 4y^2 - 12y^2$
Запишем полный квадрат и упростим оставшуюся часть:
$(x+2y)^2 - 16y^2$
Получили разность квадратов $X^2 - Y^2$, где $X = x+2y$ и $Y = \sqrt{16y^2} = 4y$. Разложим по формуле:
$((x+2y) - 4y)((x+2y) + 4y) = (x - 2y)(x + 6y)$
Ответ: $(x - 2y)(x + 6y)$.

г) Рассмотрим выражение $x^2 + 16xy + 39y^2$. Разложим его на множители методом выделения полного квадрата. Для этого к $x^2 + 16xy$ добавим и вычтем $(\frac{16y}{2})^2 = (8y)^2 = 64y^2$.
$x^2 + 16xy + 39y^2 = (x^2 + 16xy + 64y^2) - 64y^2 + 39y^2$
Сворачиваем полный квадрат и приводим подобные слагаемые:
$(x+8y)^2 - 25y^2$
Это разность квадратов $X^2 - Y^2$, где $X = x+8y$ и $Y = \sqrt{25y^2} = 5y$. Применим соответствующую формулу:
$((x+8y) - 5y)((x+8y) + 5y) = (x + 3y)(x + 13y)$
Ответ: $(x + 3y)(x + 13y)$.

Решите уравнение:

38.20

a) $x^2 - 3x + 2 = 0;$

б) $x^2 + 8x + 15 = 0;$

в) $x^2 - 6x + 8 = 0;$

г) $x^2 - 3x - 4 = 0.$

а) $x^2 - 3x + 2 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$.
Коэффициенты в данном уравнении: $a=1$, $b=-3$, $c=2$.
Для решения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$.
Так как $D > 0$ (дискриминант положителен), уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Проверим решение по теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 2 + 1 = 3$. По теореме Виета, $x_1+x_2 = -b = -(-3) = 3$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 1 = 2$. По теореме Виета, $x_1 \cdot x_2 = c = 2$.
Корни найдены верно.
Ответ: $1; 2$.

б) $x^2 + 8x + 15 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=8$, $c=15$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.
$x_2 = \frac{-8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 2}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.
Проверим решение по теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -3 + (-5) = -8$. По теореме Виета, $x_1+x_2 = -b = -8$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = (-3) \cdot (-5) = 15$. По теореме Виета, $x_1 \cdot x_2 = c = 15$.
Корни найдены верно.
Ответ: $-5; -3$.

в) $x^2 - 6x + 8 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=-6$, $c=8$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
Проверим решение по теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 4 + 2 = 6$. По теореме Виета, $x_1+x_2 = -b = -(-6) = 6$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 4 \cdot 2 = 8$. По теореме Виета, $x_1 \cdot x_2 = c = 8$.
Корни найдены верно.
Ответ: $2; 4$.

г) $x^2 - 3x - 4 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=-3$, $c=-4$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Проверим решение по теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 4 + (-1) = 3$. По теореме Виета, $x_1+x_2 = -b = -(-3) = 3$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 4 \cdot (-1) = -4$. По теореме Виета, $x_1 \cdot x_2 = c = -4$.
Корни найдены верно.
Ответ: $-1; 4$.

38.21 a) $2x^2 - 5x + 2 = 0;$

Б) $3x^2 + 10x + 3 = 0;$

В) $4x^2 + 5x - 6 = 0;$

Г) $3x^2 - x - 2 = 0.$

a) $2x^2 - 5x + 2 = 0$

Это полное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Коэффициенты уравнения: $a = 2$, $b = -5$, $c = 2$.

Для нахождения корней вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Так как $D = 9 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = \frac{1}{2}$.

б) $3x^2 + 10x + 3 = 0$

Это полное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Коэффициенты уравнения: $a = 3$, $b = 10$, $c = 3$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

Так как $D = 64 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

$x_2 = \frac{-10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 - 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3$.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = -\frac{1}{3}$.

в) $4x^2 + 5x - 6 = 0$

Это полное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Коэффициенты уравнения: $a = 4$, $b = 5$, $c = -6$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 25 + 96 = 121$.

Так как $D = 121 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{121}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 + 11}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{121}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 - 11}{8} = \frac{-16}{8} = -2$.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = \frac{3}{4}$.

г) $3x^2 - x - 2 = 0$

Это полное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Коэффициенты уравнения: $a = 3$, $b = -1$, $c = -2$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.

Так как $D = 25 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 + 5}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 - 5}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -\frac{2}{3}$.