Страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

37.20 Вычислите наиболее рациональным способом:

а) $154^2 + 154 \cdot 46;$

б) $0.2^3 + 0.2^2 \cdot 0.8;$

в) $167^2 - 167 \cdot 67;$

г) $0.9^3 - 0.81 \cdot 2.9.$

а) $154^2 + 154 \cdot 46$
Для решения этого примера наиболее рациональным способом вынесем общий множитель $154$ за скобки, используя распределительный закон умножения $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b+c)$.
$154^2 + 154 \cdot 46 = 154 \cdot 154 + 154 \cdot 46 = 154 \cdot (154 + 46)$
Теперь выполним сложение в скобках:
$154 + 46 = 200$
Подставим полученное значение обратно в выражение и вычислим результат:
$154 \cdot 200 = 30800$
Ответ: $30800$

б) $0,2^3 + 0,2^2 \cdot 0,8$
В этом выражении общим множителем является $0,2^2$. Вынесем его за скобки.
$0,2^3 + 0,2^2 \cdot 0,8 = 0,2^2 \cdot 0,2 + 0,2^2 \cdot 0,8 = 0,2^2 \cdot (0,2 + 0,8)$
Выполним сложение в скобках:
$0,2 + 0,8 = 1$
Теперь вычислим окончательное значение:
$0,2^2 \cdot 1 = 0,04 \cdot 1 = 0,04$
Ответ: $0,04$

в) $167^2 - 167 \cdot 67$
Аналогично предыдущим примерам, вынесем общий множитель $167$ за скобки.
$167^2 - 167 \cdot 67 = 167 \cdot 167 - 167 \cdot 67 = 167 \cdot (167 - 67)$
Выполним вычитание в скобках:
$167 - 67 = 100$
Подставим результат обратно в выражение и произведем умножение:
$167 \cdot 100 = 16700$
Ответ: $16700$

г) $0,9^3 - 0,81 \cdot 2,9$
Для рационального решения заметим, что $0,81$ является квадратом числа $0,9$, то есть $0,81 = 0,9^2$.
Перепишем исходное выражение, заменив $0,81$ на $0,9^2$:
$0,9^3 - 0,9^2 \cdot 2,9$
Теперь можно вынести за скобки общий множитель $0,9^2$.
$0,9^2 \cdot (0,9 - 2,9)$
Выполним вычитание в скобках:
$0,9 - 2,9 = -2$
Теперь вычислим окончательное значение выражения:
$0,9^2 \cdot (-2) = 0,81 \cdot (-2) = -1,62$
Ответ: $-1,62$

Разложите многочлен на множители:

37.21 а) $4c(4c - 1) - 3(4c - 1)^2;$

б) $(a + 2)^3 - 4a(a + 2);$

в) $8m(m - 3) - 3(m - 3)^2;$

г) $(a - 4)^3 + 8a(a - 4).$

а) Исходное выражение: $4c(4c - 1) - 3(4c - 1)^2$.

Для разложения многочлена на множители найдем общий множитель. В данном случае это $(4c - 1)$.

Вынесем общий множитель $(4c - 1)$ за скобки:

$(4c - 1) \cdot (4c - 3(4c - 1))$

Далее упростим выражение во второй скобке. Для этого раскроем внутренние скобки:

$4c - 3 \cdot 4c - 3 \cdot (-1) = 4c - 12c + 3$

Приведем подобные слагаемые:

$4c - 12c + 3 = -8c + 3 = 3 - 8c$

В итоге получаем разложение на множители:

$(4c - 1)(3 - 8c)$

Ответ: $(4c - 1)(3 - 8c)$

б) Исходное выражение: $(a + 2)^3 - 4a(a + 2)$.

Общим множителем для обоих членов выражения является $(a + 2)$.

Вынесем $(a + 2)$ за скобки:

$(a + 2) \cdot ((a + 2)^2 - 4a)$

Упростим выражение во второй скобке. Сначала раскроем квадрат суммы по формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(a + 2)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = a^2 + 4a + 4$

Подставим полученное выражение в скобки и упростим:

$(a^2 + 4a + 4) - 4a = a^2 + 4a - 4a + 4 = a^2 + 4$

Таким образом, итоговое разложение на множители имеет вид:

$(a + 2)(a^2 + 4)$

Ответ: $(a + 2)(a^2 + 4)$

в) Исходное выражение: $8m(m - 3) - 3(m - 3)^2$.

Здесь общим множителем является выражение в скобках $(m - 3)$.

Выносим $(m - 3)$ за скобки:

$(m - 3) \cdot (8m - 3(m - 3))$

Упростим выражение во второй скобке, раскрыв внутренние скобки:

$8m - 3 \cdot m - 3 \cdot (-3) = 8m - 3m + 9$

Приведем подобные слагаемые:

$8m - 3m + 9 = 5m + 9$

В результате получаем разложение многочлена на множители:

$(m - 3)(5m + 9)$

Ответ: $(m - 3)(5m + 9)$

г) Исходное выражение: $(a - 4)^3 + 8a(a - 4)$.

Общим множителем для обоих слагаемых является $(a - 4)$.

Вынесем $(a - 4)$ за скобки:

$(a - 4) \cdot ((a - 4)^2 + 8a)$

Упростим выражение во второй скобке. Раскроем квадрат разности по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(a - 4)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2 = a^2 - 8a + 16$

Подставим полученное выражение в скобки и упростим:

$(a^2 - 8a + 16) + 8a = a^2 - 8a + 8a + 16 = a^2 + 16$

Следовательно, итоговое разложение на множители:

$(a - 4)(a^2 + 16)$

Ответ: $(a - 4)(a^2 + 16)$

37.22 а) $a(2a - b)(a + b) - 3a(a + b)^2;$

б) $m(3m + n^2)(m - n) + mn(m - n)^2;$

в) $5x^2(3x - 8) + 10x(3x - 8)^2;$

г) $6d^2(2d - 5)^2 - 12d^2(2d - 5)(d + 5).$

а) Данное выражение: $a(2a - b)(a + b) - 3a(a + b)^2$.
Заметим, что оба слагаемых имеют общий множитель $a(a + b)$. Вынесем его за скобки:
$a(a + b) \cdot ((2a - b) - 3(a + b))$
Теперь упростим выражение, оставшееся в больших скобках:
$(2a - b) - 3(a + b) = 2a - b - 3a - 3b$
Приведем подобные члены:
$(2a - 3a) + (-b - 3b) = -a - 4b$
Можно вынести знак минус за скобку: $-(a + 4b)$.
Подставим результат обратно в исходное выражение:
$a(a + b) \cdot (-(a + 4b)) = -a(a + b)(a + 4b)$
Ответ: $-a(a + b)(a + 4b)$

б) Данное выражение: $m(3m + n^2)(m - n) + mn(m - n)^2$.
Общий множитель для обоих слагаемых — это $m(m - n)$. Вынесем его за скобки:
$m(m - n) \cdot ((3m + n^2) + n(m - n))$
Упростим выражение в больших скобках:
$(3m + n^2) + n(m - n) = 3m + n^2 + mn - n^2$
Приведем подобные члены:
$3m + mn + (n^2 - n^2) = 3m + mn$
В полученном выражении $3m + mn$ можно вынести за скобку общий множитель $m$:
$m(3 + n)$
Теперь соберем все множители вместе:
$m(m - n) \cdot m(3 + n) = m^2(m - n)(n + 3)$
Ответ: $m^2(m - n)(n + 3)$

в) Данное выражение: $5x^2(3x - 8) + 10x(3x - 8)^2$.
Найдем общий множитель. Для числовых коэффициентов 5 и 10 это 5. Для переменных $x^2$ и $x$ это $x$. Для выражений в скобках $(3x - 8)$ и $(3x - 8)^2$ это $(3x - 8)$. Таким образом, общий множитель равен $5x(3x - 8)$. Вынесем его за скобки:
$5x(3x - 8) \cdot (x + 2(3x - 8))$
Упростим выражение во вторых скобках:
$x + 2(3x - 8) = x + 6x - 16$
Приведем подобные члены:
$7x - 16$
Запишем итоговое выражение в виде произведения множителей:
$5x(3x - 8)(7x - 16)$
Ответ: $5x(3x - 8)(7x - 16)$

г) Данное выражение: $6d^2(2d - 5)^2 - 12d^2(2d - 5)(d + 5)$.
Найдем общий множитель. Для числовых коэффициентов 6 и 12 это 6. Для переменной $d^2$ это $d^2$. Для выражений в скобках $(2d - 5)^2$ и $(2d - 5)$ это $(2d - 5)$. Таким образом, общий множитель равен $6d^2(2d - 5)$. Вынесем его за скобки:
$6d^2(2d - 5) \cdot ((2d - 5) - 2(d + 5))$
Упростим выражение в больших скобках:
$(2d - 5) - 2(d + 5) = 2d - 5 - 2d - 10$
Приведем подобные члены:
$(2d - 2d) + (-5 - 10) = 0 - 15 = -15$
Подставим полученное значение обратно и выполним умножение:
$6d^2(2d - 5) \cdot (-15) = -90d^2(2d - 5)$
Ответ: $-90d^2(2d - 5)$

Вычислите наиболее рациональным способом:

37.23 a) $0,756^2 - 0,241 \cdot 0,756 - 0,415 \cdot 0,756;$

б) $0,25^2 \cdot 2,4 + 0,25 \cdot 2,4^2 - 0,25 \cdot 2,4 \cdot 0,65;$

в) $2,49 \cdot 1,63 - 2,12 \cdot 1,63 + 1,63^2;$

г) $0,16 \cdot 6,41 \cdot 1,25 - 0,16 \cdot 1,25^2 - 0,16^2 \cdot 1,25.$

а) $0,756^2 - 0,241 \cdot 0,756 - 0,415 \cdot 0,756$

Для рационального вычисления вынесем общий множитель $0,756$ за скобки. Это возможно, так как $0,756^2 = 0,756 \cdot 0,756$.

$0,756 \cdot (0,756 - 0,241 - 0,415)$

Теперь выполним действия в скобках в последовательном порядке:

$0,756 - 0,241 = 0,515$

$0,515 - 0,415 = 0,1$

Подставим полученное значение обратно в выражение и найдем окончательный результат:

$0,756 \cdot 0,1 = 0,0756$

Ответ: $0,0756$

б) $0,25^2 \cdot 2,4 + 0,25 \cdot 2,4^2 - 0,25 \cdot 2,4 \cdot 0,65$

В этом выражении общим множителем для всех трех слагаемых является произведение $0,25 \cdot 2,4$. Вынесем его за скобки:

$(0,25 \cdot 2,4) \cdot (0,25 + 2,4 - 0,65)$

Сначала вычислим значение первого множителя. Удобно представить $0,25$ как дробь $\frac{1}{4}$:

$0,25 \cdot 2,4 = \frac{1}{4} \cdot 2,4 = 0,6$

Затем вычислим значение выражения в скобках:

$0,25 + 2,4 = 2,65$

$2,65 - 0,65 = 2$

Теперь перемножим полученные результаты:

$0,6 \cdot 2 = 1,2$

Ответ: $1,2$

в) $2,49 \cdot 1,63 - 2,12 \cdot 1,63 + 1,63^2$

Вынесем за скобки общий множитель $1,63$:

$1,63 \cdot (2,49 - 2,12 + 1,63)$

Выполним действия в скобках:

$2,49 - 2,12 = 0,37$

$0,37 + 1,63 = 2$

Подставим результат в выражение и вычислим произведение:

$1,63 \cdot 2 = 3,26$

Ответ: $3,26$

г) $0,16 \cdot 6,41 \cdot 1,25 - 0,16 \cdot 1,25^2 - 0,16^2 \cdot 1,25$

Общим множителем здесь является произведение $0,16 \cdot 1,25$. Вынесем его за скобки:

$(0,16 \cdot 1,25) \cdot (6,41 - 1,25 - 0,16)$

Вычислим значение первого множителя. Удобно представить $1,25$ как дробь $\frac{5}{4}$:

$0,16 \cdot 1,25 = 0,16 \cdot \frac{5}{4} = (0,16 : 4) \cdot 5 = 0,04 \cdot 5 = 0,2$

Теперь вычислим значение выражения в скобках:

$6,41 - 1,25 = 5,16$

$5,16 - 0,16 = 5$

Перемножим полученные значения:

$0,2 \cdot 5 = 1$

Ответ: $1$

37.24 a) $ \frac{1,9 \cdot 3,8 + 1,9 \cdot 1,2}{0,2^2 + 0,2 \cdot 1,7} $

б) $ \frac{1\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} - 4\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7}}{(1\frac{2}{7})^2 - 1\frac{2}{7} \cdot \frac{2}{7}} $

В) $ \frac{1,7 \cdot 1,6 + 1,7^2}{3,4 \cdot 8,7 - 3,4 \cdot 5,4} $

Г) $ \frac{1\frac{5}{9} \cdot \frac{7}{15} - \frac{7}{15} \cdot \frac{8}{9}}{(1\frac{2}{5})^2 - 1\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{15}} $

а) $\frac{1,9 \cdot 3,8 + 1,9 \cdot 1,2}{0,2^2 + 0,2 \cdot 1,7}$
Для решения этого примера воспользуемся распределительным свойством умножения, то есть вынесем общий множитель за скобки в числителе и знаменателе.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $1,9$:
$1,9 \cdot 3,8 + 1,9 \cdot 1,2 = 1,9 \cdot (3,8 + 1,2) = 1,9 \cdot 5 = 9,5$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $0,2$:
$0,2^2 + 0,2 \cdot 1,7 = 0,2 \cdot 0,2 + 0,2 \cdot 1,7 = 0,2 \cdot (0,2 + 1,7) = 0,2 \cdot 1,9 = 0,38$.
Теперь наше выражение выглядит так: $\frac{1,9 \cdot 5}{0,2 \cdot 1,9}$.
Сократим дробь на $1,9$:
$\frac{5}{0,2} = \frac{50}{2} = 25$.
Ответ: 25

б) $\frac{1\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} - 4\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7}}{(1\frac{2}{7})^2 - 1\frac{2}{7} \cdot \frac{2}{7}}$
Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.
Числитель: вынесем $\frac{5}{7}$ за скобки.
$1\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} - 4\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{5}{7} \cdot (1\frac{2}{3} - 4\frac{2}{3}) = \frac{5}{7} \cdot (-3) = -\frac{15}{7}$.
Знаменатель: вынесем $1\frac{2}{7}$ за скобки.
$(1\frac{2}{7})^2 - 1\frac{2}{7} \cdot \frac{2}{7} = 1\frac{2}{7} \cdot (1\frac{2}{7} - \frac{2}{7}) = 1\frac{2}{7} \cdot 1 = 1\frac{2}{7} = \frac{9}{7}$.
Теперь выполним деление числителя на знаменатель:
$\frac{-\frac{15}{7}}{\frac{9}{7}} = -\frac{15}{7} \div \frac{9}{7} = -\frac{15}{7} \cdot \frac{7}{9} = -\frac{15}{9} = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$.
Ответ: $-1\frac{2}{3}$

в) $\frac{1,7 \cdot 1,6 + 1,7^2}{3,4 \cdot 8,7 - 3,4 \cdot 5,4}$
Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.
Числитель: вынесем $1,7$ за скобки.
$1,7 \cdot 1,6 + 1,7^2 = 1,7 \cdot (1,6 + 1,7) = 1,7 \cdot 3,3$.
Знаменатель: вынесем $3,4$ за скобки.
$3,4 \cdot 8,7 - 3,4 \cdot 5,4 = 3,4 \cdot (8,7 - 5,4) = 3,4 \cdot 3,3$.
Подставим полученные выражения в дробь и сократим на общий множитель $3,3$:
$\frac{1,7 \cdot 3,3}{3,4 \cdot 3,3} = \frac{1,7}{3,4}$.
Заметим, что $3,4 = 2 \cdot 1,7$, поэтому:
$\frac{1,7}{2 \cdot 1,7} = \frac{1}{2} = 0,5$.
Ответ: 0,5

г) $\frac{1\frac{5}{9} \cdot \frac{7}{15} - \frac{7}{15} \cdot \frac{8}{9}}{(1\frac{2}{5})^2 - 1\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{15}}$
Сначала вынесем общие множители за скобки.
Числитель: вынесем $\frac{7}{15}$ за скобки.
$\frac{7}{15} \cdot (1\frac{5}{9} - \frac{8}{9}) = \frac{7}{15} \cdot (\frac{14}{9} - \frac{8}{9}) = \frac{7}{15} \cdot \frac{6}{9} = \frac{7}{15} \cdot \frac{2}{3} = \frac{14}{45}$.
Знаменатель: вынесем $1\frac{2}{5}$ за скобки.
$1\frac{2}{5} \cdot (1\frac{2}{5} - \frac{1}{15})$.
Переведем смешанное число $1\frac{2}{5}$ в неправильную дробь $\frac{7}{5}$ и выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $15$:
$\frac{7}{5} \cdot (\frac{7}{5} - \frac{1}{15}) = \frac{7}{5} \cdot (\frac{7 \cdot 3}{15} - \frac{1}{15}) = \frac{7}{5} \cdot (\frac{21 - 1}{15}) = \frac{7}{5} \cdot \frac{20}{15} = \frac{7}{5} \cdot \frac{4}{3} = \frac{28}{15}$.
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{\frac{14}{45}}{\frac{28}{15}} = \frac{14}{45} \cdot \frac{15}{28} = \frac{14 \cdot 15}{45 \cdot 28}$.
Сократим дробь: $14$ и $28$ на $14$, $15$ и $45$ на $15$.
$\frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$

37.25 Докажите, что значение выражения:

а) $17^6 + 17^5$ кратно 18;

б) $3^{17} + 3^{15}$ кратно 30;

в) $42^8 + 42^7$ кратно 43;

г) $2^{23} + 2^{20}$ кратно 72.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $17^6 + 17^5$ кратно 18, необходимо преобразовать его, вынеся за скобки общий множитель. В данном случае это $17^5$.
$17^6 + 17^5 = 17^5 \cdot 17^1 + 17^5 \cdot 1 = 17^5(17 + 1) = 17^5 \cdot 18$.
Так как в полученном произведении один из множителей равен 18, то все выражение делится на 18 нацело.
Ответ: что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $3^{17} + 3^{15}$ кратно 30, вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $3^{15}$.
$3^{17} + 3^{15} = 3^{15} \cdot 3^2 + 3^{15} \cdot 1 = 3^{15}(3^2 + 1) = 3^{15}(9 + 1) = 3^{15} \cdot 10$.
Для доказательства кратности 30, представим число 30 в виде произведения $3 \cdot 10$. Теперь преобразуем наше выражение:
$3^{15} \cdot 10 = 3^{14} \cdot 3 \cdot 10 = 3^{14} \cdot (3 \cdot 10) = 3^{14} \cdot 30$.
Так как один из множителей равен 30, все выражение кратно 30.
Ответ: что и требовалось доказать.

в) Чтобы доказать, что значение выражения $42^8 + 42^7$ кратно 43, вынесем за скобки общий множитель $42^7$.
$42^8 + 42^7 = 42^7 \cdot 42^1 + 42^7 \cdot 1 = 42^7(42 + 1) = 42^7 \cdot 43$.
Поскольку один из множителей в полученном произведении равен 43, все выражение делится на 43.
Ответ: что и требовалось доказать.

г) Чтобы доказать, что значение выражения $2^{23} + 2^{20}$ кратно 72, вынесем за скобки общий множитель $2^{20}$.
$2^{23} + 2^{20} = 2^{20} \cdot 2^3 + 2^{20} \cdot 1 = 2^{20}(2^3 + 1) = 2^{20}(8 + 1) = 2^{20} \cdot 9$.
Для доказательства кратности 72, представим число 72 в виде произведения $8 \cdot 9$. В нашем выражении уже есть множитель 9. Выделим множитель 8 из $2^{20}$:
$2^{20} \cdot 9 = (2^{17} \cdot 2^3) \cdot 9 = (2^{17} \cdot 8) \cdot 9 = 2^{17} \cdot (8 \cdot 9) = 2^{17} \cdot 72$.
Так как один из множителей равен 72, все выражение кратно 72.
Ответ: что и требовалось доказать.

37.26 Докажите, что значение выражения:

а) $8^7 - 2^{18}$ кратно 28;

б) $10^6 + 5^7$ кратно 23;

в) $9^7 + 3^{12}$ кратно 90;

г) $6^4 - 2^8$ кратно 13.

а) Чтобы доказать, что выражение $8^7 - 2^{18}$ кратно 28, преобразуем его, приведя степени к одному основанию. Поскольку $8 = 2^3$, то $8^7 = (2^3)^7 = 2^{21}$. Выражение принимает вид $2^{21} - 2^{18}$. Вынесем общий множитель $2^{18}$ за скобки: $2^{18} \cdot (2^{21-18} - 1) = 2^{18} \cdot (2^3 - 1)$. Вычислим значение в скобках: $2^3 - 1 = 8 - 1 = 7$. Получаем выражение $2^{18} \cdot 7$. Чтобы доказать кратность 28, представим 28 как $4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$. Тогда наше выражение можно записать в виде $2^{16} \cdot 2^2 \cdot 7 = 2^{16} \cdot (4 \cdot 7) = 2^{16} \cdot 28$. Так как выражение является произведением целого числа $2^{16}$ и 28, оно кратно 28. Ответ: Доказано.

б) Чтобы доказать, что выражение $10^6 + 5^7$ кратно 23, преобразуем его. Представим $10^6$ как $(2 \cdot 5)^6 = 2^6 \cdot 5^6$. Выражение принимает вид $2^6 \cdot 5^6 + 5^7$. Вынесем общий множитель $5^6$ за скобки: $5^6 \cdot (2^6 + 5^1) = 5^6 \cdot (64 + 5) = 5^6 \cdot 69$. Поскольку $69 = 3 \cdot 23$, то выражение можно записать как $5^6 \cdot 3 \cdot 23$. Так как выражение является произведением целого числа $(5^6 \cdot 3)$ и 23, оно кратно 23. Ответ: Доказано.

в) Чтобы доказать, что выражение $9^7 + 3^{12}$ кратно 90, приведем степени к одному основанию. Поскольку $9 = 3^2$, то $9^7 = (3^2)^7 = 3^{14}$. Выражение принимает вид $3^{14} + 3^{12}$. Вынесем общий множитель $3^{12}$ за скобки: $3^{12} \cdot (3^{14-12} + 1) = 3^{12} \cdot (3^2 + 1) = 3^{12} \cdot 10$. Чтобы доказать кратность 90, представим 90 как $9 \cdot 10 = 3^2 \cdot 10$. Тогда наше выражение можно записать в виде $3^{10} \cdot 3^2 \cdot 10 = 3^{10} \cdot (9 \cdot 10) = 3^{10} \cdot 90$. Так как выражение является произведением целого числа $3^{10}$ и 90, оно кратно 90. Ответ: Доказано.

г) Рассмотрим выражение $64^4 - 2^8$ и проверим его делимость на 13. Используем сравнения по модулю 13. Число $64 = 5 \cdot 13 - 1$, следовательно, $64 \equiv -1 \pmod{13}$. Тогда $64^4 \equiv (-1)^4 = 1 \pmod{13}$. Число $2^8 = 256$. При делении на 13 получаем $256 = 19 \cdot 13 + 9$, следовательно, $2^8 \equiv 9 \pmod{13}$. Тогда разность $64^4 - 2^8 \equiv 1 - 9 = -8 \pmod{13}$. Поскольку остаток не равен нулю, исходное выражение не кратно 13, и в условии задачи, вероятно, содержится опечатка. Наиболее вероятной заменой является $6^4 - 2^8$. Докажем, что это выражение кратно 13. Используем формулу разности квадратов: $6^4 - 2^8 = (6^2)^2 - (2^4)^2 = (6^2 - 2^4)(6^2 + 2^4)$. Вычислим значения в скобках: $(36 - 16)(36 + 16) = 20 \cdot 52$. Так как $52 = 4 \cdot 13$, выражение можно записать как $20 \cdot (4 \cdot 13) = 80 \cdot 13$. Поскольку оно является произведением целого числа 80 и 13, оно кратно 13. Ответ: В условии задачи, по-видимому, опечатка. Выражение $64^4 - 2^8$ не кратно 13. Если предположить, что имелось в виду выражение $6^4 - 2^8$, то оно кратно 13, что и было доказано.

37.27 Постройте график уравнения:

а) $2x^2 + 3xy + 6x = 0;$

б) $x^2y + xy^2 = 0;$

в) $2xy - 3y^2 - 6y = 0;$

г) $2x^2y - xy^2 = 0.$

а) $2x^2 + 3xy + 6x = 0$

Для построения графика необходимо преобразовать уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(2x + 3y + 6) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, данное уравнение распадается на два:

1. $x = 0$

2. $2x + 3y + 6 = 0$

Графиком первого уравнения $x = 0$ является ось ординат (ось OY).

Графиком второго уравнения $2x + 3y + 6 = 0$ является прямая. Для ее построения выразим $y$ через $x$:

$3y = -2x - 6$

$y = -\frac{2}{3}x - 2$

График исходного уравнения представляет собой объединение этих двух прямых.

Ответ: Графиком уравнения является совокупность двух прямых: оси OY ($x = 0$) и прямой $y = -\frac{2}{3}x - 2$.

б) $x^2y + xy^2 = 0$

Для построения графика разложим левую часть уравнения на множители. Вынесем общий множитель $xy$ за скобки:

$xy(x + y) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Уравнение распадается на три:

1. $x = 0$ (ось ординат, OY)

2. $y = 0$ (ось абсцисс, OX)

3. $x + y = 0$, что равносильно $y = -x$ (биссектриса второго и четвертого координатных углов)

График исходного уравнения представляет собой объединение этих трех прямых.

Ответ: Графиком уравнения является совокупность трех прямых: $x = 0$, $y = 0$ и $y = -x$.

в) $2xy - 3y^2 - 6y = 0$

Для построения графика вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(2x - 3y - 6) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Уравнение распадается на два:

1. $y = 0$

2. $2x - 3y - 6 = 0$

Графиком первого уравнения $y = 0$ является ось абсцисс (ось OX).

Графиком второго уравнения $2x - 3y - 6 = 0$ является прямая. Выразим $y$ через $x$:

$-3y = -2x + 6$

$y = \frac{2}{3}x - 2$

График исходного уравнения представляет собой объединение этих двух прямых.

Ответ: Графиком уравнения является совокупность двух прямых: оси OX ($y = 0$) и прямой $y = \frac{2}{3}x - 2$.

г) $2x^2y - xy^2 = 0$

Для построения графика вынесем общий множитель $xy$ за скобки:

$xy(2x - y) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Уравнение распадается на три:

1. $x = 0$ (ось ординат, OY)

2. $y = 0$ (ось абсцисс, OX)

3. $2x - y = 0$, что равносильно $y = 2x$ (прямая, проходящая через начало координат)

График исходного уравнения представляет собой объединение этих трех прямых.

Ответ: Графиком уравнения является совокупность трех прямых: $x = 0$, $y = 0$ и $y = 2x$.