Номер 37.26, страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

37.26 Докажите, что значение выражения:

а) $8^7 - 2^{18}$ кратно 28;

б) $10^6 + 5^7$ кратно 23;

в) $9^7 + 3^{12}$ кратно 90;

г) $6^4 - 2^8$ кратно 13.

а) Чтобы доказать, что выражение $8^7 - 2^{18}$ кратно 28, преобразуем его, приведя степени к одному основанию. Поскольку $8 = 2^3$, то $8^7 = (2^3)^7 = 2^{21}$. Выражение принимает вид $2^{21} - 2^{18}$. Вынесем общий множитель $2^{18}$ за скобки: $2^{18} \cdot (2^{21-18} - 1) = 2^{18} \cdot (2^3 - 1)$. Вычислим значение в скобках: $2^3 - 1 = 8 - 1 = 7$. Получаем выражение $2^{18} \cdot 7$. Чтобы доказать кратность 28, представим 28 как $4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$. Тогда наше выражение можно записать в виде $2^{16} \cdot 2^2 \cdot 7 = 2^{16} \cdot (4 \cdot 7) = 2^{16} \cdot 28$. Так как выражение является произведением целого числа $2^{16}$ и 28, оно кратно 28. Ответ: Доказано.

б) Чтобы доказать, что выражение $10^6 + 5^7$ кратно 23, преобразуем его. Представим $10^6$ как $(2 \cdot 5)^6 = 2^6 \cdot 5^6$. Выражение принимает вид $2^6 \cdot 5^6 + 5^7$. Вынесем общий множитель $5^6$ за скобки: $5^6 \cdot (2^6 + 5^1) = 5^6 \cdot (64 + 5) = 5^6 \cdot 69$. Поскольку $69 = 3 \cdot 23$, то выражение можно записать как $5^6 \cdot 3 \cdot 23$. Так как выражение является произведением целого числа $(5^6 \cdot 3)$ и 23, оно кратно 23. Ответ: Доказано.

в) Чтобы доказать, что выражение $9^7 + 3^{12}$ кратно 90, приведем степени к одному основанию. Поскольку $9 = 3^2$, то $9^7 = (3^2)^7 = 3^{14}$. Выражение принимает вид $3^{14} + 3^{12}$. Вынесем общий множитель $3^{12}$ за скобки: $3^{12} \cdot (3^{14-12} + 1) = 3^{12} \cdot (3^2 + 1) = 3^{12} \cdot 10$. Чтобы доказать кратность 90, представим 90 как $9 \cdot 10 = 3^2 \cdot 10$. Тогда наше выражение можно записать в виде $3^{10} \cdot 3^2 \cdot 10 = 3^{10} \cdot (9 \cdot 10) = 3^{10} \cdot 90$. Так как выражение является произведением целого числа $3^{10}$ и 90, оно кратно 90. Ответ: Доказано.

г) Рассмотрим выражение $64^4 - 2^8$ и проверим его делимость на 13. Используем сравнения по модулю 13. Число $64 = 5 \cdot 13 - 1$, следовательно, $64 \equiv -1 \pmod{13}$. Тогда $64^4 \equiv (-1)^4 = 1 \pmod{13}$. Число $2^8 = 256$. При делении на 13 получаем $256 = 19 \cdot 13 + 9$, следовательно, $2^8 \equiv 9 \pmod{13}$. Тогда разность $64^4 - 2^8 \equiv 1 - 9 = -8 \pmod{13}$. Поскольку остаток не равен нулю, исходное выражение не кратно 13, и в условии задачи, вероятно, содержится опечатка. Наиболее вероятной заменой является $6^4 - 2^8$. Докажем, что это выражение кратно 13. Используем формулу разности квадратов: $6^4 - 2^8 = (6^2)^2 - (2^4)^2 = (6^2 - 2^4)(6^2 + 2^4)$. Вычислим значения в скобках: $(36 - 16)(36 + 16) = 20 \cdot 52$. Так как $52 = 4 \cdot 13$, выражение можно записать как $20 \cdot (4 \cdot 13) = 80 \cdot 13$. Поскольку оно является произведением целого числа 80 и 13, оно кратно 13. Ответ: В условии задачи, по-видимому, опечатка. Выражение $64^4 - 2^8$ не кратно 13. Если предположить, что имелось в виду выражение $6^4 - 2^8$, то оно кратно 13, что и было доказано.