Номер 37.25, страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

37.25 Докажите, что значение выражения:

а) $17^6 + 17^5$ кратно 18;

б) $3^{17} + 3^{15}$ кратно 30;

в) $42^8 + 42^7$ кратно 43;

г) $2^{23} + 2^{20}$ кратно 72.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $17^6 + 17^5$ кратно 18, необходимо преобразовать его, вынеся за скобки общий множитель. В данном случае это $17^5$.
$17^6 + 17^5 = 17^5 \cdot 17^1 + 17^5 \cdot 1 = 17^5(17 + 1) = 17^5 \cdot 18$.
Так как в полученном произведении один из множителей равен 18, то все выражение делится на 18 нацело.
Ответ: что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $3^{17} + 3^{15}$ кратно 30, вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $3^{15}$.
$3^{17} + 3^{15} = 3^{15} \cdot 3^2 + 3^{15} \cdot 1 = 3^{15}(3^2 + 1) = 3^{15}(9 + 1) = 3^{15} \cdot 10$.
Для доказательства кратности 30, представим число 30 в виде произведения $3 \cdot 10$. Теперь преобразуем наше выражение:
$3^{15} \cdot 10 = 3^{14} \cdot 3 \cdot 10 = 3^{14} \cdot (3 \cdot 10) = 3^{14} \cdot 30$.
Так как один из множителей равен 30, все выражение кратно 30.
Ответ: что и требовалось доказать.

в) Чтобы доказать, что значение выражения $42^8 + 42^7$ кратно 43, вынесем за скобки общий множитель $42^7$.
$42^8 + 42^7 = 42^7 \cdot 42^1 + 42^7 \cdot 1 = 42^7(42 + 1) = 42^7 \cdot 43$.
Поскольку один из множителей в полученном произведении равен 43, все выражение делится на 43.
Ответ: что и требовалось доказать.

г) Чтобы доказать, что значение выражения $2^{23} + 2^{20}$ кратно 72, вынесем за скобки общий множитель $2^{20}$.
$2^{23} + 2^{20} = 2^{20} \cdot 2^3 + 2^{20} \cdot 1 = 2^{20}(2^3 + 1) = 2^{20}(8 + 1) = 2^{20} \cdot 9$.
Для доказательства кратности 72, представим число 72 в виде произведения $8 \cdot 9$. В нашем выражении уже есть множитель 9. Выделим множитель 8 из $2^{20}$:
$2^{20} \cdot 9 = (2^{17} \cdot 2^3) \cdot 9 = (2^{17} \cdot 8) \cdot 9 = 2^{17} \cdot (8 \cdot 9) = 2^{17} \cdot 72$.
Так как один из множителей равен 72, все выражение кратно 72.
Ответ: что и требовалось доказать.