Номер 37.21, страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Разложите многочлен на множители:

37.21 а) $4c(4c - 1) - 3(4c - 1)^2;$

б) $(a + 2)^3 - 4a(a + 2);$

в) $8m(m - 3) - 3(m - 3)^2;$

г) $(a - 4)^3 + 8a(a - 4).$

а) Исходное выражение: $4c(4c - 1) - 3(4c - 1)^2$.

Для разложения многочлена на множители найдем общий множитель. В данном случае это $(4c - 1)$.

Вынесем общий множитель $(4c - 1)$ за скобки:

$(4c - 1) \cdot (4c - 3(4c - 1))$

Далее упростим выражение во второй скобке. Для этого раскроем внутренние скобки:

$4c - 3 \cdot 4c - 3 \cdot (-1) = 4c - 12c + 3$

Приведем подобные слагаемые:

$4c - 12c + 3 = -8c + 3 = 3 - 8c$

В итоге получаем разложение на множители:

$(4c - 1)(3 - 8c)$

Ответ: $(4c - 1)(3 - 8c)$

б) Исходное выражение: $(a + 2)^3 - 4a(a + 2)$.

Общим множителем для обоих членов выражения является $(a + 2)$.

Вынесем $(a + 2)$ за скобки:

$(a + 2) \cdot ((a + 2)^2 - 4a)$

Упростим выражение во второй скобке. Сначала раскроем квадрат суммы по формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(a + 2)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = a^2 + 4a + 4$

Подставим полученное выражение в скобки и упростим:

$(a^2 + 4a + 4) - 4a = a^2 + 4a - 4a + 4 = a^2 + 4$

Таким образом, итоговое разложение на множители имеет вид:

$(a + 2)(a^2 + 4)$

Ответ: $(a + 2)(a^2 + 4)$

в) Исходное выражение: $8m(m - 3) - 3(m - 3)^2$.

Здесь общим множителем является выражение в скобках $(m - 3)$.

Выносим $(m - 3)$ за скобки:

$(m - 3) \cdot (8m - 3(m - 3))$

Упростим выражение во второй скобке, раскрыв внутренние скобки:

$8m - 3 \cdot m - 3 \cdot (-3) = 8m - 3m + 9$

Приведем подобные слагаемые:

$8m - 3m + 9 = 5m + 9$

В результате получаем разложение многочлена на множители:

$(m - 3)(5m + 9)$

Ответ: $(m - 3)(5m + 9)$

г) Исходное выражение: $(a - 4)^3 + 8a(a - 4)$.

Общим множителем для обоих слагаемых является $(a - 4)$.

Вынесем $(a - 4)$ за скобки:

$(a - 4) \cdot ((a - 4)^2 + 8a)$

Упростим выражение во второй скобке. Раскроем квадрат разности по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(a - 4)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2 = a^2 - 8a + 16$

Подставим полученное выражение в скобки и упростим:

$(a^2 - 8a + 16) + 8a = a^2 - 8a + 8a + 16 = a^2 + 16$

Следовательно, итоговое разложение на множители:

$(a - 4)(a^2 + 16)$

Ответ: $(a - 4)(a^2 + 16)$