Страница 160, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

36.5 Представьте многочлен $p(x)$ в виде произведения многочлена и одночлена и найдите, при каких значениях $x$ выполняется равенство $p(x) = 0$, если:

а) $p(x) = 5x^2 - 10x;$

б) $p(x) = x^2 + 6x^3;$

в) $p(x) = 7x^2 + 21x;$

г) $p(x) = 4x^4 - x^3.$

а)

Дан многочлен $p(x) = 5x^2 - 10x$.

Первый шаг — представить многочлен в виде произведения одночлена и многочлена. Для этого найдем общий множитель для членов $5x^2$ и $-10x$ и вынесем его за скобки. Общий делитель для коэффициентов 5 и 10 — это 5. Общий делитель для переменных $x^2$ и $x$ — это $x$. Таким образом, общий множитель — $5x$.

$p(x) = 5x \cdot x - 5x \cdot 2 = 5x(x - 2)$

Здесь $5x$ является одночленом, а $(x-2)$ — многочленом.

Второй шаг — найти значения $x$, при которых $p(x) = 0$.

$5x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая:

1) $5x = 0 \Rightarrow x = 0$

2) $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$

Равенство $p(x) = 0$ выполняется при $x = 0$ и $x = 2$.

Ответ: $p(x) = 5x(x-2)$; $p(x)=0$ при $x=0$ или $x=2$.

б)

Дан многочлен $p(x) = x^2 + 6x^3$.

Сначала вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для $x^2$ и $6x^3$ является $x^2$.

$p(x) = x^2 \cdot 1 + x^2 \cdot 6x = x^2(1 + 6x)$

Здесь $x^2$ является одночленом, а $(1+6x)$ — многочленом.

Теперь решим уравнение $p(x) = 0$.

$x^2(1 + 6x) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$

2) $1 + 6x = 0 \Rightarrow 6x = -1 \Rightarrow x = -1/6$

Равенство $p(x) = 0$ выполняется при $x = 0$ и $x = -1/6$.

Ответ: $p(x) = x^2(1+6x)$; $p(x)=0$ при $x=0$ или $x=-1/6$.

в)

Дан многочлен $p(x) = 7x^2 + 21x$.

Вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для $7x^2$ и $21x$ является $7x$.

$p(x) = 7x \cdot x + 7x \cdot 3 = 7x(x + 3)$

Здесь $7x$ является одночленом, а $(x+3)$ — многочленом.

Теперь решим уравнение $p(x) = 0$.

$7x(x + 3) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $7x = 0 \Rightarrow x = 0$

2) $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$

Равенство $p(x) = 0$ выполняется при $x = 0$ и $x = -3$.

Ответ: $p(x) = 7x(x+3)$; $p(x)=0$ при $x=0$ или $x=-3$.

г)

Дан многочлен $p(x) = 4x^4 - x^3$.

Вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для $4x^4$ и $x^3$ является $x^3$.

$p(x) = x^3 \cdot 4x - x^3 \cdot 1 = x^3(4x - 1)$

Здесь $x^3$ является одночленом, а $(4x-1)$ — многочленом.

Теперь решим уравнение $p(x) = 0$.

$x^3(4x - 1) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x^3 = 0 \Rightarrow x = 0$

2) $4x - 1 = 0 \Rightarrow 4x = 1 \Rightarrow x = 1/4$

Равенство $p(x) = 0$ выполняется при $x = 0$ и $x = 1/4$.

Ответ: $p(x) = x^3(4x-1)$; $p(x)=0$ при $x=0$ или $x=1/4$.

36.6 Решите уравнение:

а) $x^2 - x = 0;$

б) $2x^2 + 4x = 0;$

в) $3x^2 - 7x = 0;$

г) $x^2 = 4x.$

а) Дано уравнение $x^2 - x = 0$.

Это неполное квадратное уравнение, в котором отсутствует свободный член. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем совокупность двух уравнений:

$x = 0$ или $x - 1 = 0$.

Первый корень уравнения: $x_1 = 0$.

Решая второе уравнение, получаем второй корень: $x_2 = 1$.

Ответ: 0; 1.

б) Дано уравнение $2x^2 + 4x = 0$.

Это также неполное квадратное уравнение. Вынесем за скобки общий множитель $2x$:

$2x(x + 2) = 0$

Приравняем каждый из множителей к нулю, чтобы найти корни:

$2x = 0$ или $x + 2 = 0$.

Из первого уравнения находим: $x_1 = 0$.

Из второго уравнения находим: $x_2 = -2$.

Ответ: -2; 0.

в) Дано уравнение $3x^2 - 7x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(3x - 7) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x = 0$ или $3x - 7 = 0$.

Первый корень: $x_1 = 0$.

Решаем второе уравнение для нахождения второго корня:

$3x = 7$

$x_2 = \frac{7}{3}$

Ответ: 0; $\frac{7}{3}$.

г) Дано уравнение $x^2 = 4x$.

Для решения перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$x^2 - 4x = 0$

Теперь это неполное квадратное уравнение, которое решается вынесением общего множителя $x$ за скобки:

$x(x - 4) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = 0$ или $x - 4 = 0$.

Первый корень: $x_1 = 0$.

Второй корень: $x_2 = 4$.

Ответ: 0; 4.

36.7 Воспользовавшись формулой $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, представьте многочлен $p(x)$ в виде произведения двух многочленов, если:

a) $p(x) = x^2 - 4;$

б) $p(x) = 9 - 4x^2;$

в) $p(x) = x^2 - 9;$

г) $p(x) = 4 - 9x^2.$

а)

Чтобы представить многочлен $p(x) = x^2 - 4$ в виде произведения, воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
В нашем случае, первый член $a^2 = x^2$, значит $a = x$.
Второй член $b^2 = 4$, значит $b = \sqrt{4} = 2$.
Теперь подставляем значения $a$ и $b$ в формулу разности квадратов:
$p(x) = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$.
Ответ: $p(x) = (x - 2)(x + 2)$.

б)

Чтобы представить многочлен $p(x) = 9 - 4x^2$ в виде произведения, воспользуемся той же формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
В данном выражении первый член $a^2 = 9$, следовательно $a = \sqrt{9} = 3$.
Второй член $b^2 = 4x^2$, следовательно $b = \sqrt{4x^2} = 2x$.
Подставляем $a=3$ и $b=2x$ в формулу:
$p(x) = 3^2 - (2x)^2 = (3 - 2x)(3 + 2x)$.
Ответ: $p(x) = (3 - 2x)(3 + 2x)$.

в)

Чтобы представить многочлен $p(x) = x^2 - 9$ в виде произведения, применим формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Здесь первый член $a^2 = x^2$, поэтому $a = x$.
Второй член $b^2 = 9$, поэтому $b = \sqrt{9} = 3$.
Подставляем найденные значения в формулу:
$p(x) = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$.
Ответ: $p(x) = (x - 3)(x + 3)$.

г)

Чтобы представить многочлен $p(x) = 4 - 9x^2$ в виде произведения, используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
В этом случае первый член $a^2 = 4$, значит $a = \sqrt{4} = 2$.
Второй член $b^2 = 9x^2$, значит $b = \sqrt{9x^2} = 3x$.
Подставляем значения $a$ и $b$ в формулу:
$p(x) = 2^2 - (3x)^2 = (2 - 3x)(2 + 3x)$.
Ответ: $p(x) = (2 - 3x)(2 + 3x)$.

36.8 Разложите многочлен $p(x)$ на множители и найдите, при каких значениях $x$ выполняется равенство $p(x) = 0$, если:

а) $p(x) = x^2 - 1$;

в) $p(x) = x^2 - 49$;

б) $p(x) = x^2 - 0,64$;

г) $p(x) = x^2 - \frac{25}{36}$.

а) $p(x) = x^2 - 1$

Для разложения многочлена на множители воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В данном случае $a = x$, а $b = 1$, так как $1^2 = 1$.

Следовательно, разложение на множители выглядит так: $p(x) = x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1)$.

Теперь найдем значения $x$, при которых $p(x) = 0$. Для этого решим уравнение:

$(x - 1)(x + 1) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы имеем два случая:

$x - 1 = 0$, откуда $x = 1$.

$x + 1 = 0$, откуда $x = -1$.

Ответ: разложение на множители $p(x) = (x - 1)(x + 1)$; равенство $p(x) = 0$ выполняется при $x = 1$ и $x = -1$.

б) $p(x) = x^2 - 0,64$

Используем ту же формулу разности квадратов. Представим $0,64$ в виде квадрата числа: $0,64 = (0,8)^2$.

В данном случае $a = x$, а $b = 0,8$.

Разложение на множители: $p(x) = x^2 - (0,8)^2 = (x - 0,8)(x + 0,8)$.

Теперь решим уравнение $p(x) = 0$:

$(x - 0,8)(x + 0,8) = 0$.

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x - 0,8 = 0$, откуда $x = 0,8$.

$x + 0,8 = 0$, откуда $x = -0,8$.

Ответ: разложение на множители $p(x) = (x - 0,8)(x + 0,8)$; равенство $p(x) = 0$ выполняется при $x = 0,8$ и $x = -0,8$.

в) $p(x) = x^2 - 49$

Снова применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Представим $49$ как квадрат числа: $49 = 7^2$.

Здесь $a = x$, а $b = 7$.

Разложение многочлена: $p(x) = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7)$.

Решаем уравнение $p(x) = 0$:

$(x - 7)(x + 7) = 0$.

Приравниваем множители к нулю:

$x - 7 = 0$, что дает $x = 7$.

$x + 7 = 0$, что дает $x = -7$.

Ответ: разложение на множители $p(x) = (x - 7)(x + 7)$; равенство $p(x) = 0$ выполняется при $x = 7$ и $x = -7$.

г) $p(x) = x^2 - \frac{25}{36}$

Воспользуемся формулой разности квадратов. Представим дробь $\frac{25}{36}$ в виде квадрата: $\frac{25}{36} = (\frac{5}{6})^2$, так как $5^2 = 25$ и $6^2 = 36$.

В этом случае $a = x$, а $b = \frac{5}{6}$.

Разложение на множители: $p(x) = x^2 - (\frac{5}{6})^2 = (x - \frac{5}{6})(x + \frac{5}{6})$.

Решаем уравнение $p(x) = 0$:

$(x - \frac{5}{6})(x + \frac{5}{6}) = 0$.

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x - \frac{5}{6} = 0$, откуда $x = \frac{5}{6}$.

$x + \frac{5}{6} = 0$, откуда $x = -\frac{5}{6}$.

Ответ: разложение на множители $p(x) = (x - \frac{5}{6})(x + \frac{5}{6})$; равенство $p(x) = 0$ выполняется при $x = \frac{5}{6}$ и $x = -\frac{5}{6}$.

36.9 Решите уравнение:

a) $x^2 - 16 = 0$;

б) $y^2 - 25 = 0$;

в) $z^2 - 36 = 0$;

г) $t^2 - 100 = 0$.

а) Дано уравнение $x^2 - 16 = 0$. Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$.
Для его решения перенесем свободный член (-16) в правую часть уравнения, изменив его знак:
$x^2 = 16$
Теперь необходимо найти значения $x$, квадрат которых равен 16. Это делается путем извлечения квадратного корня из обеих частей уравнения. У положительного числа есть два квадратных корня: положительный и отрицательный.
$x = \pm\sqrt{16}$
Таким образом, уравнение имеет два корня:
$x_1 = 4$
$x_2 = -4$
Ответ: $-4; 4$.

б) Дано уравнение $y^2 - 25 = 0$. Решим его аналогично предыдущему.
Перенесем -25 в правую часть уравнения:
$y^2 = 25$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти $y$:
$y = \pm\sqrt{25}$
Корни уравнения:
$y_1 = 5$
$y_2 = -5$
Ответ: $-5; 5$.

в) Дано уравнение $z^2 - 36 = 0$. Решаем по той же схеме.
Переносим -36 в правую часть:
$z^2 = 36$
Извлекаем квадратный корень из обеих частей:
$z = \pm\sqrt{36}$
Корни уравнения:
$z_1 = 6$
$z_2 = -6$
Ответ: $-6; 6$.

г) Дано уравнение $t^2 - 100 = 0$.
Переносим -100 в правую часть:
$t^2 = 100$
Извлекаем квадратный корень из обеих частей:
$t = \pm\sqrt{100}$
Корни уравнения:
$t_1 = 10$
$t_2 = -10$
Ответ: $-10; 10$.

Вычислите наиболее рациональным способом:

36.10 a) $1,8 \cdot 0,6 + 1,8 \cdot 0,4;$

б) $1,5^2 - 1,5 \cdot 11,5;$

в) $3,6 \cdot 1,3 - 0,3 \cdot 3,6;$

г) $1,3 \cdot 8,7 + 1,3^2.$

а) В выражении $1,8 \cdot 0,6 + 1,8 \cdot 0,4$ есть общий множитель $1,8$. Наиболее рациональным способом будет вынести его за скобки, используя распределительный закон умножения относительно сложения ($a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b+c)$).
$1,8 \cdot 0,6 + 1,8 \cdot 0,4 = 1,8 \cdot (0,6 + 0,4)$.
Теперь выполним действие в скобках:
$0,6 + 0,4 = 1$.
Остается выполнить умножение:
$1,8 \cdot 1 = 1,8$.
Ответ: 1,8.

б) В выражении $1,5^2 - 1,5 \cdot 11,5$ представим $1,5^2$ как $1,5 \cdot 1,5$.
$1,5 \cdot 1,5 - 1,5 \cdot 11,5$.
Теперь можно вынести за скобки общий множитель $1,5$, используя распределительный закон умножения относительно вычитания ($a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b-c)$):
$1,5 \cdot (1,5 - 11,5)$.
Выполним действие в скобках:
$1,5 - 11,5 = -10$.
Выполним умножение:
$1,5 \cdot (-10) = -15$.
Ответ: -15.

в) В выражении $3,6 \cdot 1,3 - 0,3 \cdot 3,6$ общий множитель $3,6$. Вынесем его за скобки:
$3,6 \cdot (1,3 - 0,3)$.
Выполним действие в скобках:
$1,3 - 0,3 = 1$.
Выполним умножение:
$3,6 \cdot 1 = 3,6$.
Ответ: 3,6.

г) В выражении $1,3 \cdot 8,7 + 1,3^2$ представим $1,3^2$ как $1,3 \cdot 1,3$.
$1,3 \cdot 8,7 + 1,3 \cdot 1,3$.
Вынесем за скобки общий множитель $1,3$:
$1,3 \cdot (8,7 + 1,3)$.
Выполним действие в скобках:
$8,7 + 1,3 = 10$.
Выполним умножение:
$1,3 \cdot 10 = 13$.
Ответ: 13.

36.11 а) $53^2 - 43^2;$

В) $108^2 - 98^2;$

б) $(6\frac{1}{3})^2 - (5\frac{1}{3})^2;$

Г) $(7\frac{1}{2})^2 - (3\frac{1}{2})^2.$

а) Для вычисления значения выражения $53^2 - 43^2$ воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
В данном случае $a = 53$, а $b = 43$.
Подставим эти значения в формулу:
$53^2 - 43^2 = (53 - 43)(53 + 43) = 10 \cdot 96 = 960$.
Ответ: 960.

б) Для выражения $(6\frac{1}{3})^2 - (5\frac{1}{3})^2$ также применим формулу разности квадратов.Здесь $a = 6\frac{1}{3}$ и $b = 5\frac{1}{3}$.
Подставим значения в формулу:
$(6\frac{1}{3})^2 - (5\frac{1}{3})^2 = (6\frac{1}{3} - 5\frac{1}{3})(6\frac{1}{3} + 5\frac{1}{3})$.
Вычислим значение в каждой скобке отдельно:
$6\frac{1}{3} - 5\frac{1}{3} = 1$.
$6\frac{1}{3} + 5\frac{1}{3} = (6+5) + (\frac{1}{3}+\frac{1}{3}) = 11\frac{2}{3}$.
Теперь перемножим полученные результаты:
$1 \cdot 11\frac{2}{3} = 11\frac{2}{3}$.
Ответ: $11\frac{2}{3}$.

в) Снова используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для выражения $108^2 - 98^2$.
В этом случае $a = 108$ и $b = 98$.
Подставляем значения:
$108^2 - 98^2 = (108 - 98)(108 + 98) = 10 \cdot 206 = 2060$.
Ответ: 2060.

г) Для последнего выражения $(7\frac{1}{2})^2 - (3\frac{1}{2})^2$ вновь применяем формулу разности квадратов.
Здесь $a = 7\frac{1}{2}$ и $b = 3\frac{1}{2}$.
Подставляем значения в формулу:
$(7\frac{1}{2})^2 - (3\frac{1}{2})^2 = (7\frac{1}{2} - 3\frac{1}{2})(7\frac{1}{2} + 3\frac{1}{2})$.
Вычислим значения в скобках:
$7\frac{1}{2} - 3\frac{1}{2} = 4$.
$7\frac{1}{2} + 3\frac{1}{2} = (7+3) + (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}) = 10 + 1 = 11$.
Перемножим результаты:
$4 \cdot 11 = 44$.
Ответ: 44.

Постройте график уравнения:

36.12 a) $x(x - y) = 0$;

б) $(x - 4)(y + 3) = 0$;

в) $y(x + y) = 0$;

г) $(x + 1)(y - 2) = 0$.

а) Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, уравнение $x(x - y) = 0$ равносильно совокупности двух уравнений:

$x = 0$ или $x - y = 0$.

Графиком первого уравнения $x = 0$ является прямая, совпадающая с осью ординат (осью OY).

Графиком второго уравнения $x - y = 0$, которое можно переписать как $y = x$, является прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой I и III координатных четвертей.

Следовательно, график исходного уравнения представляет собой объединение этих двух прямых.

Ответ: График уравнения состоит из двух пересекающихся в начале координат прямых: $x = 0$ (ось OY) и $y = x$.

б) Уравнение $(x - 4)(y + 3) = 0$ равносильно совокупности двух уравнений:

$x - 4 = 0$ или $y + 3 = 0$.

Из первого уравнения получаем $x = 4$. Графиком этого уравнения является вертикальная прямая, параллельная оси OY и проходящая через точку $(4, 0)$.

Из второго уравнения получаем $y = -3$. Графиком этого уравнения является горизонтальная прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку $(0, -3)$.

График исходного уравнения является объединением этих двух перпендикулярных прямых, которые пересекаются в точке $(4, -3)$.

Ответ: График уравнения состоит из двух перпендикулярных прямых: $x = 4$ и $y = -3$.

в) Уравнение $y(x + y) = 0$ равносильно совокупности двух уравнений:

$y = 0$ или $x + y = 0$.

Графиком первого уравнения $y = 0$ является прямая, совпадающая с осью абсцисс (осью OX).

Графиком второго уравнения $x + y = 0$, которое можно переписать как $y = -x$, является прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой II и IV координатных четвертей.

Следовательно, график исходного уравнения представляет собой объединение этих двух прямых, пересекающихся в начале координат.

Ответ: График уравнения состоит из двух пересекающихся в начале координат прямых: $y = 0$ (ось OX) и $y = -x$.

г) Уравнение $(x + 1)(y - 2) = 0$ равносильно совокупности двух уравнений:

$x + 1 = 0$ или $y - 2 = 0$.

Из первого уравнения получаем $x = -1$. Графиком этого уравнения является вертикальная прямая, параллельная оси OY и проходящая через точку $(-1, 0)$.

Из второго уравнения получаем $y = 2$. Графиком этого уравнения является горизонтальная прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку $(0, 2)$.

График исходного уравнения является объединением этих двух перпендикулярных прямых, которые пересекаются в точке $(-1, 2)$.

Ответ: График уравнения состоит из двух перпендикулярных прямых: $x = -1$ и $y = 2$.