Номер 36.8, страница 160, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

36.8 Разложите многочлен $p(x)$ на множители и найдите, при каких значениях $x$ выполняется равенство $p(x) = 0$, если:

а) $p(x) = x^2 - 1$;

в) $p(x) = x^2 - 49$;

б) $p(x) = x^2 - 0,64$;

г) $p(x) = x^2 - \frac{25}{36}$.

а) $p(x) = x^2 - 1$

Для разложения многочлена на множители воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В данном случае $a = x$, а $b = 1$, так как $1^2 = 1$.

Следовательно, разложение на множители выглядит так: $p(x) = x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1)$.

Теперь найдем значения $x$, при которых $p(x) = 0$. Для этого решим уравнение:

$(x - 1)(x + 1) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы имеем два случая:

$x - 1 = 0$, откуда $x = 1$.

$x + 1 = 0$, откуда $x = -1$.

Ответ: разложение на множители $p(x) = (x - 1)(x + 1)$; равенство $p(x) = 0$ выполняется при $x = 1$ и $x = -1$.

б) $p(x) = x^2 - 0,64$

Используем ту же формулу разности квадратов. Представим $0,64$ в виде квадрата числа: $0,64 = (0,8)^2$.

В данном случае $a = x$, а $b = 0,8$.

Разложение на множители: $p(x) = x^2 - (0,8)^2 = (x - 0,8)(x + 0,8)$.

Теперь решим уравнение $p(x) = 0$:

$(x - 0,8)(x + 0,8) = 0$.

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x - 0,8 = 0$, откуда $x = 0,8$.

$x + 0,8 = 0$, откуда $x = -0,8$.

Ответ: разложение на множители $p(x) = (x - 0,8)(x + 0,8)$; равенство $p(x) = 0$ выполняется при $x = 0,8$ и $x = -0,8$.

в) $p(x) = x^2 - 49$

Снова применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Представим $49$ как квадрат числа: $49 = 7^2$.

Здесь $a = x$, а $b = 7$.

Разложение многочлена: $p(x) = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7)$.

Решаем уравнение $p(x) = 0$:

$(x - 7)(x + 7) = 0$.

Приравниваем множители к нулю:

$x - 7 = 0$, что дает $x = 7$.

$x + 7 = 0$, что дает $x = -7$.

Ответ: разложение на множители $p(x) = (x - 7)(x + 7)$; равенство $p(x) = 0$ выполняется при $x = 7$ и $x = -7$.

г) $p(x) = x^2 - \frac{25}{36}$

Воспользуемся формулой разности квадратов. Представим дробь $\frac{25}{36}$ в виде квадрата: $\frac{25}{36} = (\frac{5}{6})^2$, так как $5^2 = 25$ и $6^2 = 36$.

В этом случае $a = x$, а $b = \frac{5}{6}$.

Разложение на множители: $p(x) = x^2 - (\frac{5}{6})^2 = (x - \frac{5}{6})(x + \frac{5}{6})$.

Решаем уравнение $p(x) = 0$:

$(x - \frac{5}{6})(x + \frac{5}{6}) = 0$.

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x - \frac{5}{6} = 0$, откуда $x = \frac{5}{6}$.

$x + \frac{5}{6} = 0$, откуда $x = -\frac{5}{6}$.

Ответ: разложение на множители $p(x) = (x - \frac{5}{6})(x + \frac{5}{6})$; равенство $p(x) = 0$ выполняется при $x = \frac{5}{6}$ и $x = -\frac{5}{6}$.