Номер 36.4, страница 159, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

36.4 Представьте многочлен $p(x)$ в виде произведения многочлена и одночлена, если:

а) $p(x) = 2x^2 + x;$

б) $p(x) = 6x^3 - 3x^2 + 3x;$

в) $p(x) = 3x^3 - 12x;$

г) $p(x) = 5x^4 + 5x^3 - 10x^2.$

а) Чтобы представить многочлен $p(x) = 2x^2 + x$ в виде произведения многочлена и одночлена, нужно вынести за скобки общий множитель.
Члены многочлена: $2x^2$ и $x$.
Общим множителем для них является $x$, так как это наибольший делитель, на который делится каждый член многочлена.
Вынесем $x$ за скобки. Для этого разделим каждый член многочлена на $x$:
$2x^2 : x = 2x$
$x : x = 1$
Получаем выражение в скобках: $(2x + 1)$.
Таким образом, исходный многочлен можно представить в виде произведения одночлена $x$ и многочлена $(2x + 1)$.
$p(x) = x(2x + 1)$.
Ответ: $p(x) = x(2x + 1)$.

б) Рассмотрим многочлен $p(x) = 6x^3 - 3x^2 + 3x$.
Найдем общий множитель для всех членов: $6x^3$, $-3x^2$ и $3x$.
1. Находим наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 6, 3 и 3. НОД(6, 3, 3) = 3.
2. Находим общую переменную часть с наименьшей степенью. Для $x^3$, $x^2$ и $x$ это $x$.
Следовательно, общий множитель (одночлен) — это $3x$.
Вынесем $3x$ за скобки, разделив каждый член многочлена на $3x$:
$6x^3 : (3x) = 2x^2$
$-3x^2 : (3x) = -x$
$3x : (3x) = 1$
Таким образом, $p(x) = 3x(2x^2 - x + 1)$.
Ответ: $p(x) = 3x(2x^2 - x + 1)$.

в) Рассмотрим многочлен $p(x) = 3x^3 - 12x$.
Найдем общий множитель для членов $3x^3$ и $-12x$.
1. НОД для коэффициентов 3 и 12 равен 3.
2. Общая переменная часть с наименьшей степенью для $x^3$ и $x$ это $x$.
Общий множитель (одночлен) — $3x$.
Вынесем $3x$ за скобки:
$3x^3 : (3x) = x^2$
$-12x : (3x) = -4$
Таким образом, $p(x) = 3x(x^2 - 4)$.
Ответ: $p(x) = 3x(x^2 - 4)$.

г) Рассмотрим многочлен $p(x) = 5x^4 + 5x^3 - 10x^2$.
Найдем общий множитель для всех членов: $5x^4$, $5x^3$ и $-10x^2$.
1. НОД для коэффициентов 5, 5 и 10 равен 5.
2. Общая переменная часть с наименьшей степенью для $x^4$, $x^3$ и $x^2$ это $x^2$.
Общий множитель (одночлен) — $5x^2$.
Вынесем $5x^2$ за скобки:
$5x^4 : (5x^2) = x^2$
$5x^3 : (5x^2) = x$
$-10x^2 : (5x^2) = -2$
Таким образом, $p(x) = 5x^2(x^2 + x - 2)$.
Ответ: $p(x) = 5x^2(x^2 + x - 2)$.