Номер 36.5, страница 160, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 36. Что такое разложение многочленов на множители и зачем оно нужно. Глава 7. Разложение многочленов на множители. Часть 2 - номер 36.5, страница 160.

Условие.

36.5 Представьте многочлен $p(x)$ в виде произведения многочлена и одночлена и найдите, при каких значениях $x$ выполняется равенство $p(x) = 0$, если:

а) $p(x) = 5x^2 - 10x;$

б) $p(x) = x^2 + 6x^3;$

в) $p(x) = 7x^2 + 21x;$

г) $p(x) = 4x^4 - x^3.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Дан многочлен $p(x) = 5x^2 - 10x$.

Первый шаг — представить многочлен в виде произведения одночлена и многочлена. Для этого найдем общий множитель для членов $5x^2$ и $-10x$ и вынесем его за скобки. Общий делитель для коэффициентов 5 и 10 — это 5. Общий делитель для переменных $x^2$ и $x$ — это $x$. Таким образом, общий множитель — $5x$.

$p(x) = 5x \cdot x - 5x \cdot 2 = 5x(x - 2)$

Здесь $5x$ является одночленом, а $(x-2)$ — многочленом.

Второй шаг — найти значения $x$, при которых $p(x) = 0$.

$5x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая:

1) $5x = 0 \Rightarrow x = 0$

2) $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$

Равенство $p(x) = 0$ выполняется при $x = 0$ и $x = 2$.

Ответ: $p(x) = 5x(x-2)$; $p(x)=0$ при $x=0$ или $x=2$.

б)

Дан многочлен $p(x) = x^2 + 6x^3$.

Сначала вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для $x^2$ и $6x^3$ является $x^2$.

$p(x) = x^2 \cdot 1 + x^2 \cdot 6x = x^2(1 + 6x)$

Здесь $x^2$ является одночленом, а $(1+6x)$ — многочленом.

Теперь решим уравнение $p(x) = 0$.

$x^2(1 + 6x) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$

2) $1 + 6x = 0 \Rightarrow 6x = -1 \Rightarrow x = -1/6$

Равенство $p(x) = 0$ выполняется при $x = 0$ и $x = -1/6$.

Ответ: $p(x) = x^2(1+6x)$; $p(x)=0$ при $x=0$ или $x=-1/6$.

в)

Дан многочлен $p(x) = 7x^2 + 21x$.

Вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для $7x^2$ и $21x$ является $7x$.

$p(x) = 7x \cdot x + 7x \cdot 3 = 7x(x + 3)$

Здесь $7x$ является одночленом, а $(x+3)$ — многочленом.

Теперь решим уравнение $p(x) = 0$.

$7x(x + 3) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $7x = 0 \Rightarrow x = 0$

2) $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$

Равенство $p(x) = 0$ выполняется при $x = 0$ и $x = -3$.

Ответ: $p(x) = 7x(x+3)$; $p(x)=0$ при $x=0$ или $x=-3$.

г)

Дан многочлен $p(x) = 4x^4 - x^3$.

Вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для $4x^4$ и $x^3$ является $x^3$.

$p(x) = x^3 \cdot 4x - x^3 \cdot 1 = x^3(4x - 1)$

Здесь $x^3$ является одночленом, а $(4x-1)$ — многочленом.

Теперь решим уравнение $p(x) = 0$.

$x^3(4x - 1) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x^3 = 0 \Rightarrow x = 0$

2) $4x - 1 = 0 \Rightarrow 4x = 1 \Rightarrow x = 1/4$

Равенство $p(x) = 0$ выполняется при $x = 0$ и $x = 1/4$.

Ответ: $p(x) = x^3(4x-1)$; $p(x)=0$ при $x=0$ или $x=1/4$.