Страница 159, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Решите уравнение:

36.1 а) $x(x + 2) = 0;$

б) $(x + 1)(x + 4) = 0;$

в) $z(z - 1,6) = 0;$

г) $(y + 2)(y - 6) = 0.$

а) $x(x + 2) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Исходя из этого правила, мы получаем два возможных случая:
1) $x = 0$
2) $x + 2 = 0$, откуда следует $x = -2$.
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: $0; -2$.

б) $(x + 1)(x + 4) = 0$
Аналогично предыдущему случаю, произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю. Приравниваем каждую скобку к нулю:
1) $x + 1 = 0$, откуда $x = -1$.
2) $x + 4 = 0$, откуда $x = -4$.
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $-4; -1$.

в) $z(z - 1.6) = 0$
Данное уравнение решается по тому же принципу. Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $z = 0$
2) $z - 1.6 = 0$, откуда $z = 1.6$.
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $0; 1.6$.

г) $(y + 2)(y - 6) = 0$
Приравниваем каждый из множителей к нулю для нахождения корней уравнения:
1) $y + 2 = 0$, откуда $y = -2$.
2) $y - 6 = 0$, откуда $y = 6$.
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $-2; 6$.

36.2 a) $m(m+1)(m+2)=0;$

б) $n^2(n-3)(n-8)=0;$

в) $p(p+13)(p-17)=0;$

г) $q^3(q-21)(q-105)=0.$

а)

Данное уравнение $m(m + 1)(m + 2) = 0$ представляет собой произведение трех множителей. Произведение равно нулю в том и только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы можем разбить исходное уравнение на совокупность трех простых уравнений:

$m = 0$

или

$m + 1 = 0$, что дает $m = -1$

или

$m + 2 = 0$, что дает $m = -2$

Таким образом, мы получили три корня уравнения.

Ответ: $-2; -1; 0$.

б)

В уравнении $n^2(n - 3)(n - 8) = 0$ произведение множителей равно нулю. Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни:

1) $n^2 = 0$
Возведение в квадрат дает ноль только для числа ноль, следовательно, $n = 0$.

2) $n - 3 = 0$
Переносим 3 в правую часть: $n = 3$.

3) $n - 8 = 0$
Переносим 8 в правую часть: $n = 8$.

Уравнение имеет три различных корня.

Ответ: $0; 3; 8$.

в)

Для решения уравнения $p(p + 13)(p - 17) = 0$ воспользуемся свойством равенства произведения нулю. Приравняем каждый из трех множителей к нулю:

1) $p = 0$

2) $p + 13 = 0$, отсюда $p = -13$

3) $p - 17 = 0$, отсюда $p = 17$

Следовательно, уравнение имеет три корня.

Ответ: $-13; 0; 17$.

г)

Уравнение $q^3(q - 21)(q - 105) = 0$ решается аналогично предыдущим. Произведение равно нулю, значит, один из множителей должен быть равен нулю:

1) $q^3 = 0$
Только ноль в любой степени равен нулю, поэтому $q = 0$.

2) $q - 21 = 0$
Отсюда $q = 21$.

3) $q - 105 = 0$
Отсюда $q = 105$.

Уравнение имеет три различных корня.

Ответ: $0; 21; 105$.

36.3 a) $(2x + 3)(3x - 6) = 0;$

б) $(9y + 18)(12y - 4)(36y - 72) = 0;$

в) $(4a - 8)(6a - 10) = 0;$

г) $(4t - 1)(8t - 3)(12t - 17) = 0.$

а) $(2x + 3)(3x - 6) = 0$

Произведение двух или более множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Исходя из этого правила, приравниваем каждую скобку к нулю.

$2x + 3 = 0$ или $3x - 6 = 0$.

Решаем первое уравнение:

$2x = -3$

$x = -3/2$

$x = -1,5$

Решаем второе уравнение:

$3x = 6$

$x = 6/3$

$x = 2$

Ответ: $-1,5; 2$.

б) $(9y + 18)(12y - 4)(36y - 72) = 0$

Данное уравнение равносильно совокупности трех уравнений:

$9y + 18 = 0$ или $12y - 4 = 0$ или $36y - 72 = 0$.

Решаем каждое уравнение по отдельности:

1) $9y + 18 = 0$

$9y = -18$

$y = -18/9 = -2$

2) $12y - 4 = 0$

$12y = 4$

$y = 4/12 = 1/3$

3) $36y - 72 = 0$

$36y = 72$

$y = 72/36 = 2$

Ответ: $-2; 1/3; 2$.

в) $(4a - 8)(6a - 10) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю, так как их произведение равно нулю.

$4a - 8 = 0$ или $6a - 10 = 0$.

Находим корни каждого уравнения:

1) $4a - 8 = 0$

$4a = 8$

$a = 8/4 = 2$

2) $6a - 10 = 0$

$6a = 10$

$a = 10/6 = 5/3 = 1\frac{2}{3}$

Ответ: $2; 1\frac{2}{3}$.

г) $(4t - 1)(8t - 3)(12t - 17) = 0$

Произведение равно нулю, следовательно, один из множителей должен быть равен нулю.

$4t - 1 = 0$ или $8t - 3 = 0$ или $12t - 17 = 0$.

Решаем каждое из этих линейных уравнений:

1) $4t - 1 = 0$

$4t = 1$

$t = 1/4$

2) $8t - 3 = 0$

$8t = 3$

$t = 3/8$

3) $12t - 17 = 0$

$12t = 17$

$t = 17/12 = 1\frac{5}{12}$

Ответ: $1/4; 3/8; 1\frac{5}{12}$.

36.4 Представьте многочлен $p(x)$ в виде произведения многочлена и одночлена, если:

а) $p(x) = 2x^2 + x;$

б) $p(x) = 6x^3 - 3x^2 + 3x;$

в) $p(x) = 3x^3 - 12x;$

г) $p(x) = 5x^4 + 5x^3 - 10x^2.$

а) Чтобы представить многочлен $p(x) = 2x^2 + x$ в виде произведения многочлена и одночлена, нужно вынести за скобки общий множитель.
Члены многочлена: $2x^2$ и $x$.
Общим множителем для них является $x$, так как это наибольший делитель, на который делится каждый член многочлена.
Вынесем $x$ за скобки. Для этого разделим каждый член многочлена на $x$:
$2x^2 : x = 2x$
$x : x = 1$
Получаем выражение в скобках: $(2x + 1)$.
Таким образом, исходный многочлен можно представить в виде произведения одночлена $x$ и многочлена $(2x + 1)$.
$p(x) = x(2x + 1)$.
Ответ: $p(x) = x(2x + 1)$.

б) Рассмотрим многочлен $p(x) = 6x^3 - 3x^2 + 3x$.
Найдем общий множитель для всех членов: $6x^3$, $-3x^2$ и $3x$.
1. Находим наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 6, 3 и 3. НОД(6, 3, 3) = 3.
2. Находим общую переменную часть с наименьшей степенью. Для $x^3$, $x^2$ и $x$ это $x$.
Следовательно, общий множитель (одночлен) — это $3x$.
Вынесем $3x$ за скобки, разделив каждый член многочлена на $3x$:
$6x^3 : (3x) = 2x^2$
$-3x^2 : (3x) = -x$
$3x : (3x) = 1$
Таким образом, $p(x) = 3x(2x^2 - x + 1)$.
Ответ: $p(x) = 3x(2x^2 - x + 1)$.

в) Рассмотрим многочлен $p(x) = 3x^3 - 12x$.
Найдем общий множитель для членов $3x^3$ и $-12x$.
1. НОД для коэффициентов 3 и 12 равен 3.
2. Общая переменная часть с наименьшей степенью для $x^3$ и $x$ это $x$.
Общий множитель (одночлен) — $3x$.
Вынесем $3x$ за скобки:
$3x^3 : (3x) = x^2$
$-12x : (3x) = -4$
Таким образом, $p(x) = 3x(x^2 - 4)$.
Ответ: $p(x) = 3x(x^2 - 4)$.

г) Рассмотрим многочлен $p(x) = 5x^4 + 5x^3 - 10x^2$.
Найдем общий множитель для всех членов: $5x^4$, $5x^3$ и $-10x^2$.
1. НОД для коэффициентов 5, 5 и 10 равен 5.
2. Общая переменная часть с наименьшей степенью для $x^4$, $x^3$ и $x^2$ это $x^2$.
Общий множитель (одночлен) — $5x^2$.
Вынесем $5x^2$ за скобки:
$5x^4 : (5x^2) = x^2$
$5x^3 : (5x^2) = x$
$-10x^2 : (5x^2) = -2$
Таким образом, $p(x) = 5x^2(x^2 + x - 2)$.
Ответ: $p(x) = 5x^2(x^2 + x - 2)$.