Страница 153, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

34.11 Запишите два не подобных между собой одночлена, на которые делится данный многочлен:

а) $13k^3l^4 + 21k^4l^6 - 2k^2l^8 + 32k^9l^5;$

б) $18p^6q^3 + 27p^2q^4 - 63p^8q^5 - 72p^9q^7;$

в) $16c^6d^4 + 24c^5d^8 + 32c^9d^7 - 48c^2d^3;$

г) $36x^6y^5 - 48x^4y^8 + 84x^9y^3 - 144x^3y^4.$

а) Чтобы найти одночлены, на которые делится данный многочлен, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для всех его членов. Любой делитель этого НОД будет являться решением. Два одночлена считаются неподобными, если их буквенная часть отличается.

Рассмотрим многочлен: $13k^3l^4 + 21k^4l^6 - 2k^2l^8 + 32k^9l^5$.

1. Найдём НОД коэффициентов (по абсолютной величине): НОД(13, 21, 2, 32). Так как 13 и 2 - простые числа, а 21 и 32 на них не делятся, то НОД равен 1.

2. Найдём НОД для переменных. Для переменной $k$ наименьшая степень в многочлене — это $k^2$. Для переменной $l$ наименьшая степень — это $l^4$.

Таким образом, НОД всех членов многочлена равен $k^2l^4$.

Теперь выберем два неподобных одночлена, которые являются делителями $k^2l^4$. Например, $k^2l$ и $kl^2$. Они имеют разную буквенную часть и оба делят $k^2l^4$.

Ответ: $k^2l$ и $kl^2$.

б) Рассмотрим многочлен: $18p^6q^3 + 27p^2q^4 - 63p^8q^5 - 72p^9q^7$.

1. Найдём НОД коэффициентов: НОД(18, 27, 63, 72).
$18 = 2 \cdot 3^2$
$27 = 3^3$
$63 = 3^2 \cdot 7$
$72 = 2^3 \cdot 3^2$
НОД равен $3^2 = 9$.

2. Найдём НОД для переменных. Для переменной $p$ наименьшая степень — это $p^2$. Для переменной $q$ наименьшая степень — это $q^3$.

Таким образом, НОД всех членов многочлена равен $9p^2q^3$.

Выберем два неподобных одночлена, которые являются делителями $9p^2q^3$. Например, $3p^2$ и $9q^3$.

Ответ: $3p^2$ и $9q^3$.

в) Рассмотрим многочлен: $16c^6d^4 + 24c^5d^8 + 32c^9d^7 - 48c^2d^3$.

1. Найдём НОД коэффициентов: НОД(16, 24, 32, 48).
$16 = 2^4$
$24 = 2^3 \cdot 3$
$32 = 2^5$
$48 = 2^4 \cdot 3$
НОД равен $2^3 = 8$.

2. Найдём НОД для переменных. Для переменной $c$ наименьшая степень — это $c^2$. Для переменной $d$ наименьшая степень — это $d^3$.

Таким образом, НОД всех членов многочлена равен $8c^2d^3$.

Выберем два неподобных одночлена, которые являются делителями $8c^2d^3$. Например, $4c^2d$ и $2cd^3$.

Ответ: $4c^2d$ и $2cd^3$.

г) Рассмотрим многочлен: $36x^6y^5 - 48x^4y^8 + 84x^9y^3 - 144x^3y^4$.

1. Найдём НОД коэффициентов: НОД(36, 48, 84, 144).
$36 = 2^2 \cdot 3^2$
$48 = 2^4 \cdot 3$
$84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$
$144 = 2^4 \cdot 3^2$
НОД равен $2^2 \cdot 3 = 12$.

2. Найдём НОД для переменных. Для переменной $x$ наименьшая степень — это $x^3$. Для переменной $y$ наименьшая степень — это $y^3$.

Таким образом, НОД всех членов многочлена равен $12x^3y^3$.

Выберем два неподобных одночлена, которые являются делителями $12x^3y^3$. Например, $6x^3y$ и $4xy^3$.

Ответ: $6x^3y$ и $4xy^3$.

34.12 Запишите пять не подобных между собой одночленов, на которые делится данный многочлен:

а) $4b^4c^5 - b^4c^4 + 13b^2c^6;$

б) $12x^3y^4 - 16x^2y^3 + 24x^2y^2;$

в) $5z^5m^7 - 25z^8m + 40z^{12}m^2;$

г) $3,2k^2l^4 - 1,4k^3l^4 + 4,3kl^6.$

а) $4b^4c^5 - b^4c^4 + 13b^2c^6$

Чтобы многочлен делился на одночлен, каждый член многочлена должен делиться на этот одночлен. Это означает, что мы должны найти одночлены, которые являются делителями наибольшего общего делителя (НОД) всех членов данного многочлена.

Члены многочлена: $4b^4c^5$, $-b^4c^4$ и $13b^2c^6$.

Найдем их НОД. Сначала найдем НОД коэффициентов по модулю: НОД(4, 1, 13) = 1. Затем найдем НОД переменных частей, взяв для каждой переменной наименьшую степень из имеющихся: для $b$ это $b^2$, для $c$ это $c^4$. Таким образом, НОД членов многочлена равен $b^2c^4$.

Теперь выберем пять любых не подобных друг другу одночленов, которые делят $b^2c^4$. Неподобные одночлены отличаются своими буквенными частями. Например:

$b$, $c$, $b^2$, $c^2$, $bc$.

Ответ: $b, c, b^2, c^2, bc$.

б) $12x^3y^4 - 16x^2y^3 + 24x^2y^2$

Найдем наибольший общий делитель (НОД) для членов многочлена $12x^3y^4$, $-16x^2y^3$ и $24x^2y^2$.

НОД коэффициентов 12, 16 и 24 равен 4. НОД переменных частей находится по наименьшим степеням: для $x$ это $x^2$, для $y$ это $y^2$. Таким образом, НОД членов многочлена равен $4x^2y^2$.

Любой делитель одночлена $4x^2y^2$ будет делить и весь многочлен. Выберем пять не подобных одночленов-делителей:

$x$, $y$, $x^2$, $y^2$, $xy$.

Ответ: $x, y, x^2, y^2, xy$.

в) $5z^5m^7 - 25z^8m + 40z^{12}m^2$

Найдем наибольший общий делитель (НОД) для членов многочлена $5z^5m^7$, $-25z^8m$ и $40z^{12}m^2$.

НОД коэффициентов 5, 25 и 40 равен 5. НОД переменных частей: для $z$ наименьшая степень - $z^5$, для $m$ - $m^1$ (или просто $m$). Таким образом, НОД членов многочлена равен $5z^5m$.

Выберем пять не подобных одночленов, которые делят $5z^5m$:

$z$, $m$, $z^2$, $zm$, $z^5m$.

Ответ: $z, m, z^2, zm, z^5m$.

г) $3,2k^2l^4 - 1,4k^3l^4 + 4,3kl^6$

Найдем наибольший общий делитель (НОД) для членов многочлена $3,2k^2l^4$, $-1,4k^3l^4$ и $4,3kl^6$.

НОД коэффициентов 3,2, 1,4 и 4,3 равен 0,1 (так как НОД(32, 14, 43)=1, а все числа имеют один знак после запятой). НОД переменных частей находится по наименьшим степеням: для $k$ это $k$, для $l$ это $l^4$. Таким образом, НОД членов многочлена равен $0,1kl^4$.

Выберем пять не подобных одночленов, которые делят $0,1kl^4$:

$k$, $l$, $l^2$, $kl$, $kl^4$.

Ответ: $k, l, l^2, kl, kl^4$.

34.13 Из данных одночленов выберите те, на которые делится многочлен $12x^2y^3z - 3xy^2z^2 + 4xy^2z^3$:

а) $x^2yz$; $3x^2y^2z$; $xy$; $xyz^4$; $x^3$;

б) $xy^2z$; $6xy^4z$; $5z$; $6xyz$; $20xy$;

в) $y^2$; $3$; $142xyz$; $15x$; $24z^2$;

г) $4xy^2$; $y^2z$; $8$; $7xyz$; $2xy^2z$.

Для того чтобы многочлен $12x^2y^3z - 3xy^2z^2 + 4xy^2z^3$ делился на некоторый одночлен, необходимо, чтобы каждый член данного многочлена делился на этот одночлен. При этом частное должно быть многочленом с целыми коэффициентами.

Пусть искомый одночлен-делитель имеет вид $M = c \cdot x^a y^b z^d$. Тогда должны выполняться следующие условия:

1. Коэффициент $c$ должен быть общим делителем всех коэффициентов многочлена: $12$, $-3$ и $4$. Наибольший общий делитель их модулей $НОД(12, 3, 4) = 1$. Следовательно, коэффициент $c$ может быть равен только $1$ или $-1$.
2. Степень каждой переменной в одночлене-делителе не должна превышать наименьшую степень этой же переменной среди всех членов многочлена.
   • Для переменной $x$: наименьшая степень в многочлене $\min(2, 1, 1) = 1$. Значит, $a \le 1$.
   • Для переменной $y$: наименьшая степень в многочлене $\min(3, 2, 2) = 2$. Значит, $b \le 2$.
   • Для переменной $z$: наименьшая степень в многочлене $\min(1, 2, 3) = 1$. Значит, $d \le 1$.

Таким образом, любой одночлен-делитель должен иметь вид $\pm x^a y^b z^d$, где $a \in \{0, 1\}$, $b \in \{0, 1, 2\}$, $d \in \{0, 1\}$. Проверим предложенные варианты.

а)

Проверяем одночлены $x^2yz; 3x^2y^2z; xy; xyz^4; x^3$:

• $x^2yz$: не является делителем, так как степень $x$ равна 2, что больше максимально возможной степени 1 ($a \le 1$).
• $3x^2y^2z$: не является делителем, так как коэффициент 3 не делит коэффициент 4.
• $xy$: является делителем. Коэффициент 1, степень $x$ равна 1 ($a=1 \le 1$), степень $y$ равна 1 ($b=1 \le 2$), степень $z$ равна 0 ($d=0 \le 1$).
• $xyz^4$: не является делителем, так как степень $z$ равна 4, что больше максимально возможной степени 1 ($d \le 1$).
• $x^3$: не является делителем, так как степень $x$ равна 3, что больше максимально возможной степени 1 ($a \le 1$).

Ответ: $xy$.

б)

Проверяем одночлены $xy^2z; 6xy^4z; 5z; 6xyz; 20xy$:

• $xy^2z$: является делителем. Коэффициент 1, степень $x$ равна 1 ($a=1 \le 1$), степень $y$ равна 2 ($b=2 \le 2$), степень $z$ равна 1 ($d=1 \le 1$).
• $6xy^4z$: не является делителем, так как коэффициент 6 не делит коэффициенты -3 и 4.
• $5z$: не является делителем, так как коэффициент 5 не делит коэффициенты 12, -3, 4.
• $6xyz$: не является делителем, так как коэффициент 6 не делит коэффициенты -3 и 4.
• $20xy$: не является делителем, так как коэффициент 20 не делит коэффициенты -3 и 4.

Ответ: $xy^2z$.

в)

Проверяем одночлены $y^2; 3; 142xyz; 15x; 24z^2$:

• $y^2$: является делителем. Коэффициент 1, степень $x$ равна 0 ($a=0 \le 1$), степень $y$ равна 2 ($b=2 \le 2$), степень $z$ равна 0 ($d=0 \le 1$).
• $3$: не является делителем, так как коэффициент 3 не делит коэффициент 4.
• $142xyz$: не является делителем, так как коэффициент 142 не делит коэффициенты -3 и 4.
• $15x$: не является делителем, так как коэффициент 15 не делит коэффициенты -3 и 4.
• $24z^2$: не является делителем, так как коэффициент 24 не делит коэффициенты -3 и 4, а также степень $z$ равна 2, что больше максимально возможной 1 ($d \le 1$).

Ответ: $y^2$.

г)

Проверяем одночлены $4xy^2; y^2z; 8; 7xyz; 2xy^2z$:

• $4xy^2$: не является делителем, так как коэффициент 4 не делит коэффициент -3.
• $y^2z$: является делителем. Коэффициент 1, степень $x$ равна 0 ($a=0 \le 1$), степень $y$ равна 2 ($b=2 \le 2$), степень $z$ равна 1 ($d=1 \le 1$).
• $8$: не является делителем, так как коэффициент 8 не делит коэффициенты -3 и 4.
• $7xyz$: не является делителем, так как коэффициент 7 не делит коэффициенты 12, -3, 4.
• $2xy^2z$: не является делителем, так как коэффициент 2 не делит коэффициент -3.

Ответ: $y^2z$.

Замените символы * одночленами так, чтобы выполнялось равенство:

34.14 a) $ \frac{15a^4b - * + 20a^2b^3}{5a^2b} = * - 7ab + *; $

б) $ \frac{* - 24a^3x^4}{*} = 7a^2 - 8ax^3; $

в) $ \frac{* - 100a^2b^4 + 75ab^5}{25ab^3} = 3a^2 - * + *; $

г) $ \frac{57c^4d^3 - 38c^3d^2}{*} = 3cd^2 - *.$

а)

В исходном равенстве $\frac{15a^4b - * + 20a^2b^3}{5a^2b} = * - 7ab + *$ необходимо заменить символы * на одночлены. Для этого разделим почленно многочлен в числителе на одночлен в знаменателе: $\frac{15a^4b}{5a^2b} - \frac{*}{5a^2b} + \frac{20a^2b^3}{5a^2b}$. Упростив известные слагаемые, получим: $3a^2 - \frac{*}{5a^2b} + 4b^2$. Это выражение должно быть равно правой части $* - 7ab + *$. Сравнивая левую и правую части, мы видим, что слагаемое $-7ab$ должно получиться из деления второго члена числителя на знаменатель: $-\frac{*}{5a^2b} = -7ab$. Отсюда находим первый искомый одночлен (в числителе): $* = 7ab \cdot 5a^2b = 35a^3b^2$. Теперь, подставив найденное значение, левая часть равна $3a^2 - \frac{35a^3b^2}{5a^2b} + 4b^2 = 3a^2 - 7ab + 4b^2$. Сравнивая ее с правой частью $* - 7ab + *$, находим остальные одночлены: $3a^2$ и $4b^2$.

Ответ: $35a^3b^2$, $3a^2$, $4b^2$.

б)

В равенстве $\frac{* - 24a^3x^4}{*} = 7a^2 - 8ax^3$ представим левую часть в виде разности двух дробей: $\frac{*}{*} - \frac{24a^3x^4}{*} = 7a^2 - 8ax^3$. Для выполнения равенства необходимо, чтобы результаты деления соответствовали членам в правой части. Приравняем вторые члены (с учетом знака): $\frac{24a^3x^4}{*} = 8ax^3$. Отсюда можно найти неизвестный знаменатель: $* = \frac{24a^3x^4}{8ax^3} = 3a^{3-1}x^{4-3} = 3a^2x$. Теперь, зная знаменатель, найдем неизвестный член в числителе из равенства первых членов: $\frac{*}{3a^2x} = 7a^2$. Умножив частное на делитель, получим: $* = 7a^2 \cdot 3a^2x = 21a^{2+2}x = 21a^4x$.

Ответ: $21a^4x$, $3a^2x$.

в)

В равенстве $\frac{* - 100a^2b^4 + 75ab^5}{25ab^3} = 3a^2 - * + *$ разделим почленно числитель на знаменатель: $\frac{*}{25ab^3} - \frac{100a^2b^4}{25ab^3} + \frac{75ab^5}{25ab^3}$. Упростим известные дроби: $\frac{100a^2b^4}{25ab^3} = 4a^{2-1}b^{4-3} = 4ab$ и $\frac{75ab^5}{25ab^3} = 3a^{1-1}b^{5-3} = 3b^2$. Равенство примет вид: $\frac{*}{25ab^3} - 4ab + 3b^2 = 3a^2 - * + *$. Сравнивая левую и правую части, видим, что первый член слева $\frac{*}{25ab^3}$ должен быть равен первому члену справа $3a^2$. Отсюда находим первый искомый одночлен (в числителе): $* = 3a^2 \cdot 25ab^3 = 75a^{2+1}b^3 = 75a^3b^3$. Теперь левая часть равна $3a^2 - 4ab + 3b^2$. Сравнивая ее с правой частью $3a^2 - * + *$, находим остальные одночлены: $4ab$ и $3b^2$.

Ответ: $75a^3b^3$, $4ab$, $3b^2$.

г)

Рассмотрим равенство $\frac{57c^4d^3 - 38c^3d^2}{*} = 3cd^2 - *$. Левую часть можно представить как $\frac{57c^4d^3}{*} - \frac{38c^3d^2}{*}$. Чтобы это выражение было равно $3cd^2 - *$, необходимо, чтобы при делении одного из членов числителя на знаменатель (*) получалось $3cd^2$. Проверим первый член: $\frac{57c^4d^3}{*} = 3cd^2$. Отсюда находим неизвестный знаменатель: $* = \frac{57c^4d^3}{3cd^2} = 19c^{4-1}d^{3-1} = 19c^3d$. Теперь найдем второй искомый одночлен, который стоит в правой части после знака минус. Для этого разделим второй член числителя на найденный знаменатель: $* = \frac{38c^3d^2}{19c^3d} = 2c^{3-3}d^{2-1} = 2d$. Таким образом, правая часть равенства равна $3cd^2 - 2d$.

Ответ: $19c^3d$, $2d$.

34.15 a) $\frac{42a^2x^4 - 21a^3x^3 + 72a^4x^2}{*} = * - * + 12a^2x;$

б) $\frac{* - * + 63a^nx^5}{*} = 2a^5x^3 - 3a^6x^2 + 4,5a^{n-3}x;$

в) $\frac{30k^3p^3 - 175k^2p^4 - *}{*} = 3k^2 - * - 14p^2;$

г) $\frac{45c^{10}d^3 + 54c^{n+2}d^7 - *}{*} = * + 3,6c^nd^5 - 2c^6d^8.$

a)

В данном примере необходимо восстановить пропущенные одночлены. Исходное выражение: $\frac{42a^2x^4 - 21a^3x^3 + 72a^4x^2}{*} = * - * + 12a^2x$.

Это задача на деление многочлена на одночлен. Результат такого деления получается путем деления каждого члена многочлена (делимого) на этот одночлен (делитель). Обозначим неизвестный делитель в знаменателе как $D$.

Мы видим, что последний член частного, $12a^2x$, получен путем деления последнего члена делимого, $72a^4x^2$, на делитель $D$. Отсюда мы можем найти $D$:

$D = \frac{72a^4x^2}{12a^2x} = (\frac{72}{12})a^{4-2}x^{2-1} = 6a^2x$.

Теперь, зная делитель $D = 6a^2x$, мы можем найти недостающие члены частного, разделив на него остальные члены делимого:

Первый член частного: $\frac{42a^2x^4}{6a^2x} = (\frac{42}{6})a^{2-2}x^{4-1} = 7x^3$.

Второй член частного: $\frac{-21a^3x^3}{6a^2x} = -(\frac{21}{6})a^{3-2}x^{3-1} = -3,5ax^2$.

Таким образом, мы восстановили все пропущенные части уравнения.

Ответ: $\frac{42a^2x^4 - 21a^3x^3 + 72a^4x^2}{6a^2x} = 7x^3 - 3,5ax^2 + 12a^2x$.

б)

Исходное выражение: $\frac{* - * + 63a^nx^5}{*} = 2a^5x^3 - 3a^6x^2 + 4,5a^{n-3}x$.

Обозначим неизвестный делитель как $D$. Сравнивая третий член делимого ($63a^nx^5$) с третьим членом частного ($4,5a^{n-3}x$), мы можем найти делитель $D$:

$D = \frac{63a^nx^5}{4,5a^{n-3}x} = (\frac{63}{4,5})a^{n-(n-3)}x^{5-1} = 14a^3x^4$.

Теперь, зная делитель $D = 14a^3x^4$, мы можем найти недостающие члены делимого, умножив на него соответствующие члены частного:

Первый член делимого: $(2a^5x^3) \cdot D = (2a^5x^3) \cdot (14a^3x^4) = (2 \cdot 14)a^{5+3}x^{3+4} = 28a^8x^7$.

Второй член делимого: $(3a^6x^2) \cdot D = (3a^6x^2) \cdot (14a^3x^4) = (3 \cdot 14)a^{6+3}x^{2+4} = 42a^9x^6$.

Теперь мы можем записать полное выражение.

Ответ: $\frac{28a^8x^7 - 42a^9x^6 + 63a^nx^5}{14a^3x^4} = 2a^5x^3 - 3a^6x^2 + 4,5a^{n-3}x$.

в)

Исходное выражение: $\frac{30k^3p^3 - 175k^2p^4 - *}{*} = 3k^2 - * - 14p^2$.

Обозначим неизвестный делитель как $D$. Сравнивая первый член делимого ($30k^3p^3$) с первым членом частного ($3k^2$), мы можем найти делитель $D$:

$D = \frac{30k^3p^3}{3k^2} = (\frac{30}{3})k^{3-2}p^3 = 10kp^3$.

Теперь, зная делитель $D = 10kp^3$, найдем пропущенные члены.

Второй член частного получается делением второго члена делимого на делитель:

$\frac{175k^2p^4}{D} = \frac{175k^2p^4}{10kp^3} = (\frac{175}{10})k^{2-1}p^{4-3} = 17,5kp$.

Третий член делимого равен произведению третьего члена частного на делитель:

$(14p^2) \cdot D = (14p^2) \cdot (10kp^3) = (14 \cdot 10)k p^{2+3} = 140kp^5$.

Восстановим полное выражение.

Ответ: $\frac{30k^3p^3 - 175k^2p^4 - 140kp^5}{10kp^3} = 3k^2 - 17,5kp - 14p^2$.

г)

Исходное выражение: $\frac{45c^{10}d^3 + 54c^{n+2}d^7 - *}{*} = * + 3,6c^nd^5 - 2c^6d^8$.

Обозначим неизвестный делитель как $D$. Сравним второй член делимого ($54c^{n+2}d^7$) со вторым членом частного ($3,6c^nd^5$), чтобы найти делитель $D$:

$D = \frac{54c^{n+2}d^7}{3,6c^nd^5} = (\frac{54}{3,6})c^{(n+2)-n}d^{7-5} = 15c^2d^2$.

Теперь, зная делитель $D = 15c^2d^2$, найдем недостающие члены.

Первый член частного получается делением первого члена делимого на делитель:

$\frac{45c^{10}d^3}{D} = \frac{45c^{10}d^3}{15c^2d^2} = (\frac{45}{15})c^{10-2}d^{3-2} = 3c^8d$.

Третий член делимого равен произведению третьего члена частного на делитель:

$(2c^6d^8) \cdot D = (2c^6d^8) \cdot (15c^2d^2) = (2 \cdot 15)c^{6+2}d^{8+2} = 30c^8d^{10}$.

Запишем полное выражение со всеми найденными членами.

Ответ: $\frac{45c^{10}d^3 + 54c^{n+2}d^7 - 30c^8d^{10}}{15c^2d^2} = 3c^8d + 3,6c^nd^5 - 2c^6d^8$.