Страница 158, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Формулы сокращённого умножения.

Формулы сокращённого умножения — это широко используемые в алгебре тождества для упрощения выражений, разложения многочленов на множители и ускорения вычислений. Они представляют собой готовые результаты умножения некоторых типов многочленов.

Квадрат суммы

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого выражения на второе, плюс квадрат второго выражения.

Формула: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Доказательство получается раскрытием скобок: $(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + 2ab + b^2$.

Квадрат разности

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого выражения на второе, плюс квадрат второго выражения.

Формула: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Доказательство: $(a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a \cdot a - a \cdot b - b \cdot a + b \cdot b = a^2 - 2ab + b^2$.

Разность квадратов

Разность квадратов двух выражений равна произведению их разности на их сумму.

Формула: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Доказательство (в обратную сторону): $(a-b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b = a^2 - b^2$.

Куб суммы

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения, плюс утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, плюс куб второго выражения.

Формула: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Доказательство: $(a+b)^3 = (a+b)^2(a+b) = (a^2 + 2ab + b^2)(a+b) = a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Куб разности

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения, минус утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, минус куб второго выражения.

Формула: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Доказательство: $(a-b)^3 = (a-b)^2(a-b) = (a^2 - 2ab + b^2)(a-b) = a^3 - a^2b - 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Сумма кубов

Сумма кубов двух выражений равна произведению их суммы на неполный квадрат их разности.

Формула: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

Доказательство: $(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + ba^2 - b^2a + b^3 = a^3 + b^3$.

Разность кубов

Разность кубов двух выражений равна произведению их разности на неполный квадрат их суммы.

Формула: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

Доказательство: $(a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 + a^2b + ab^2 - ba^2 - b^2a - b^3 = a^3 - b^3$.

Ответ:

Основные формулы сокращённого умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
• Куб суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
• Куб разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
• Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
• Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

2. Метод выделения полного квадрата.

Метод выделения полного квадрата — это алгебраическое преобразование, которое используется для приведения квадратного трехчлена вида $ax^2 + bx + c$ к форме $a(x \pm h)^2 + k$. Этот метод является фундаментальным и широко применяется для решения квадратных уравнений, нахождения вершин парабол, а также в других разделах математики, например, при вычислении интегралов.

Суть метода

Основа метода — это формулы сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности:
Квадрат суммы: $(x+d)^2 = x^2 + 2xd + d^2$
Квадрат разности: $(x-d)^2 = x^2 - 2xd + d^2$
Выражения $x^2 + 2xd + d^2$ и $x^2 - 2xd + d^2$ называются полными квадратами.
Идея метода заключается в том, чтобы к выражению вида $x^2 + px$ добавить и вычесть такое число, чтобы первые три слагаемых образовали полный квадрат. Этим числом всегда будет квадрат половины коэффициента при $x$, то есть $(\frac{p}{2})^2$.
$x^2 + px = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{p}{2} = \left(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{p}{2} + \left(\frac{p}{2}\right)^2\right) - \left(\frac{p}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2$

Ответ: Суть метода состоит в дополнении двучлена $x^2+px$ до полного квадрата $(x+p/2)^2$ путем добавления и вычитания слагаемого $(p/2)^2$.

Алгоритм выделения полного квадрата из трехчлена $ax^2 + bx + c$

Рассмотрим общий случай для квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$:

1. Если коэффициент $a \neq 1$, выносим его за скобки у первых двух слагаемых: $a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$.
2. В скобках находится выражение вида $x^2 + px$, где $p = \frac{b}{a}$.
3. Чтобы получить полный квадрат, добавляем и вычитаем внутри скобок квадрат половины коэффициента при $x$, то есть $(\frac{p}{2})^2 = (\frac{b}{2a})^2$.
   $a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right) + c$
4. "Сворачиваем" первые три слагаемых в скобках в полный квадрат по формуле:
   $a\left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right) + c$
5. Раскрываем внешние скобки и упрощаем выражение:
   $a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$

Ответ: В результате преобразования трехчлен $ax^2 + bx + c$ приводится к виду $a(x - x_0)^2 + y_0$, где $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = \frac{4ac-b^2}{4a}$.

Примеры применения

1. Решение квадратного уравнения

Решим уравнение $x^2 + 6x - 16 = 0$.
Перенесем свободный член в правую часть: $x^2 + 6x = 16$.
Коэффициент при $x$ равен 6. Его половина равна 3, а квадрат половины равен $3^2=9$. Добавим 9 к обеим частям уравнения:
$x^2 + 6x + 9 = 16 + 9$
Свернем левую часть в полный квадрат:
$(x+3)^2 = 25$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x+3 = 5$ или $x+3 = -5$
$x_1 = 2$, $x_2 = -8$

Ответ: Корни уравнения $x_1 = 2$, $x_2 = -8$.

2. Нахождение вершины параболы

Найдем координаты вершины параболы, заданной функцией $y = 2x^2 - 12x + 19$.
Вынесем коэффициент 2 за скобки:
$y = 2(x^2 - 6x) + 19$
В скобках выделим полный квадрат. Половина коэффициента при $x$ равна -3, ее квадрат равен 9.
$y = 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + 19$
$y = 2((x-3)^2 - 9) + 19$
Раскроем скобки:
$y = 2(x-3)^2 - 18 + 19$
$y = 2(x-3)^2 + 1$
Функция приведена к виду $y = a(x-x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ - координаты вершины.

Ответ: Координаты вершины параболы: $(3, 1)$.

Вывод формулы корней квадратного уравнения

Метод выделения полного квадрата позволяет вывести общую формулу для нахождения корней любого квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ (при $a \neq 0$).
Разделим все уравнение на $a$:
$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$
Перенесем свободный член вправо:
$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$
Дополним левую часть до полного квадрата, прибавив к обеим частям $(\frac{b}{2a})^2$:
$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2$
Свернем левую часть:
$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}$
Приведем правую часть к общему знаменателю:
$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
Извлечем корень (при условии, что $b^2 - 4ac \ge 0$):
$x + \frac{b}{2a} = \pm\sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} = \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Выразим $x$:
$x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Это и есть знаменитая формула корней квадратного уравнения.

Ответ: Формула корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ является прямым следствием применения метода выделения полного квадрата.

3. Процентные частоты. Относительная и абсолютная частота.

В статистике для анализа данных используются различные виды частот. Рассмотрим три основных понятия: абсолютную, относительную и процентную частоту на примере.

Пример: Проведен опрос среди 50 студентов о их любимом цвете. Результаты получились следующие:

• Синий: 20 студентов
• Красный: 15 студентов
• Зеленый: 10 студентов
• Желтый: 5 студентов

Общее число опрошенных студентов (объем выборки) $n = 50$.

Абсолютная частота

Абсолютная частота (или просто частота) — это число, которое показывает, сколько раз конкретное значение или событие встречается в наборе данных. Это просто прямой подсчет.

В нашем примере:

• Абсолютная частота для синего цвета равна 20.
• Абсолютная частота для красного цвета равна 15.
• Абсолютная частота для зеленого цвета равна 10.
• Абсолютная частота для желтого цвета равна 5.

Сумма всех абсолютных частот равна общему числу наблюдений: $20 + 15 + 10 + 5 = 50$.

Ответ: Абсолютная частота — это прямое количество появлений определенного события в выборке.

Относительная частота

Относительная частота показывает, какую долю или часть от общего числа наблюдений составляет данное событие. Она вычисляется как отношение абсолютной частоты события к общему объему выборки.

Формула для вычисления относительной частоты $W$ события A:

$W(A) = \frac{m}{n}$

где $m$ — абсолютная частота события, а $n$ — общее число наблюдений.

Относительная частота всегда находится в диапазоне от 0 до 1. Сумма относительных частот всех возможных событий равна 1.

Рассчитаем относительные частоты для нашего примера, где $n=50$:

• Для синего цвета: $W(\text{синий}) = \frac{20}{50} = 0.4$
• Для красного цвета: $W(\text{красный}) = \frac{15}{50} = 0.3$
• Для зеленого цвета: $W(\text{зеленый}) = \frac{10}{50} = 0.2$
• Для желтого цвета: $W(\text{желтый}) = \frac{5}{50} = 0.1$

Проверим сумму: $0.4 + 0.3 + 0.2 + 0.1 = 1.0$.

Ответ: Относительная частота — это доля события в общем объеме данных, вычисляемая по формуле $W = m/n$.

Процентные частоты

Процентная частота — это относительная частота, выраженная в процентах. Для ее нахождения необходимо значение относительной частоты умножить на 100%.

Формула для вычисления процентной частоты $P$ события A:

$P(A) = W(A) \times 100\% = \frac{m}{n} \times 100\%$

Сумма процентных частот всех возможных событий равна 100%.

Рассчитаем процентные частоты для нашего примера:

• Для синего цвета: $0.4 \times 100\% = 40\%$
• Для красного цвета: $0.3 \times 100\% = 30\%$
• Для зеленого цвета: $0.2 \times 100\% = 20\%$
• Для желтого цвета: $0.1 \times 100\% = 10\%$

Проверим сумму: $40\% + 30\% + 20\% + 10\% = 100\%$. Процентные частоты часто используются для наглядного представления данных, например, в круговых диаграммах.

Ответ: Процентная частота — это относительная частота, умноженная на 100%, которая показывает долю события в процентах от общего числа наблюдений.

3 Вместо символа * в многочлене $4x - 1,5x + 7 + 1\frac{1}{7}x + *$ поставьте такой одночлен, чтобы получившееся выражение не содержало переменной.

Для того чтобы итоговое выражение не содержало переменной, необходимо, чтобы сумма всех одночленов, содержащих эту переменную, была равна нулю. В данном многочлене переменной является $x$.

Найдем сумму всех членов с переменной $x$ в выражении $4x - 1,5x + 7 + 1\frac{1}{7}x + *$.

Сумма членов с $x$ равна: $4x - 1,5x + 1\frac{1}{7}x$.

Чтобы сложить коэффициенты, приведем их к одному виду — к обыкновенным дробям.
Коэффициент $1,5$ равен $\frac{3}{2}$.
Коэффициент $1\frac{1}{7}$ равен $\frac{1 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{8}{7}$.

Теперь найдем сумму коэффициентов:

$S = 4 - 1,5 + 1\frac{1}{7} = 4 - \frac{3}{2} + \frac{8}{7}$

Приведем все числа к общему знаменателю, который равен 14:

$S = \frac{4 \cdot 14}{14} - \frac{3 \cdot 7}{14} + \frac{8 \cdot 2}{14} = \frac{56}{14} - \frac{21}{14} + \frac{16}{14}$

Вычислим сумму в числителе:

$S = \frac{56 - 21 + 16}{14} = \frac{35 + 16}{14} = \frac{51}{14}$

Таким образом, сумма всех членов с переменной $x$ в исходном выражении равна $\frac{51}{14}x$.

Чтобы после добавления искомого одночлена (*) переменная $x$ исчезла, сумма этого одночлена и $\frac{51}{14}x$ должна быть равна нулю:

$\frac{51}{14}x + * = 0$

Отсюда следует, что искомый одночлен (*) должен быть равен $-\frac{51}{14}x$.

При подстановке этого одночлена исходное выражение примет вид:

$4x - 1,5x + 7 + 1\frac{1}{7}x - \frac{51}{14}x = (\frac{51}{14}x) + 7 - \frac{51}{14}x = 7$

Полученное число 7 не содержит переменной, что соответствует условию задачи.

Ответ: $-\frac{51}{14}x$.

4 Пусть $p_1(b) = 12b^4 - 10b^2 + 7$, $p_2(b) = 1.4b^3 - 5b^4 + b + 1.2$. Составьте МНОГОЧЛЕН:

a) $p(b) = 2p_1(b) + p_2(b)$;

б) $p(b) = p_1(b) - 3p_2(b)$.

Даны многочлены: $p_1(b) = 12b^4 - 10b^2 + 7$ и $p_2(b) = 1,4b^3 - 5b^4 + b + 1,2$.

а) Составим многочлен $p(b) = 2p_1(b) + p_2(b)$.

1. Сначала найдем выражение для $2p_1(b)$, умножив каждый член многочлена $p_1(b)$ на 2:

$2p_1(b) = 2 \cdot (12b^4 - 10b^2 + 7) = 2 \cdot 12b^4 - 2 \cdot 10b^2 + 2 \cdot 7 = 24b^4 - 20b^2 + 14$.

2. Теперь сложим полученный многочлен $2p_1(b)$ с многочленом $p_2(b)$:

$p(b) = (24b^4 - 20b^2 + 14) + (1,4b^3 - 5b^4 + b + 1,2)$.

3. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, группируя члены с одинаковыми степенями переменной $b$:

$p(b) = 24b^4 - 20b^2 + 14 + 1,4b^3 - 5b^4 + b + 1,2$

$p(b) = (24b^4 - 5b^4) + 1,4b^3 - 20b^2 + b + (14 + 1,2)$

4. Выполним вычисления:

$p(b) = 19b^4 + 1,4b^3 - 20b^2 + b + 15,2$.

Ответ: $p(b) = 19b^4 + 1,4b^3 - 20b^2 + b + 15,2$.

б) Составим многочлен $p(b) = p_1(b) - 3p_2(b)$.

1. Сначала найдем выражение для $3p_2(b)$, умножив каждый член многочлена $p_2(b)$ на 3:

$3p_2(b) = 3 \cdot (1,4b^3 - 5b^4 + b + 1,2) = 3 \cdot 1,4b^3 - 3 \cdot 5b^4 + 3 \cdot b + 3 \cdot 1,2 = 4,2b^3 - 15b^4 + 3b + 3,6$.

2. Теперь вычтем полученный многочлен $3p_2(b)$ из многочлена $p_1(b)$:

$p(b) = (12b^4 - 10b^2 + 7) - (4,2b^3 - 15b^4 + 3b + 3,6)$.

3. Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:

$p(b) = 12b^4 - 10b^2 + 7 - 4,2b^3 + 15b^4 - 3b - 3,6$.

4. Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их по степеням переменной $b$ и расположив в порядке убывания степеней:

$p(b) = (12b^4 + 15b^4) - 4,2b^3 - 10b^2 - 3b + (7 - 3,6)$.

5. Выполним вычисления:

$p(b) = 27b^4 - 4,2b^3 - 10b^2 - 3b + 3,4$.

Ответ: $p(b) = 27b^4 - 4,2b^3 - 10b^2 - 3b + 3,4$.

5 При каких значениях переменных верно равенство

$3a(5ab^3 - 3) - 5a^2b^2(3b - 2a) = 5a(2a^2b^2 - 1) + 20?$

Чтобы найти, при каких значениях переменных верно данное равенство, необходимо его упростить. Для этого раскроем скобки в обеих частях уравнения.

Исходное уравнение:

$3a(5ab^3 - 3) - 5a^2b^2(3b - 2a) = 5a(2a^2b^2 - 1) + 20$

1. Раскроем скобки в левой части уравнения.

Для этого умножим каждый член в скобках на множитель перед ними:

$(3a \cdot 5ab^3 - 3a \cdot 3) - (5a^2b^2 \cdot 3b - 5a^2b^2 \cdot 2a) = (15a^2b^3 - 9a) - (15a^2b^3 - 10a^3b^2)$

Теперь раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:

$15a^2b^3 - 9a - 15a^2b^3 + 10a^3b^2$

Приведем подобные слагаемые. Члены $15a^2b^3$ и $-15a^2b^3$ взаимно уничтожаются.

$10a^3b^2 - 9a$

2. Раскроем скобки в правой части уравнения.

$5a \cdot 2a^2b^2 - 5a \cdot 1 + 20 = 10a^3b^2 - 5a + 20$

3. Составим и решим итоговое уравнение.

Приравняем упрощенные левую и правую части:

$10a^3b^2 - 9a = 10a^3b^2 - 5a + 20$

Как мы видим, слагаемое $10a^3b^2$ есть в обеих частях уравнения. Мы можем вычесть его из обеих частей (или, как говорят, "сократить").

$-9a = -5a + 20$

Теперь перенесем все члены с переменной $a$ в одну сторону, а свободные члены — в другую. Перенесем $-5a$ в левую часть, изменив знак на "+".

$-9a + 5a = 20$

$-4a = 20$

Разделим обе части на $-4$, чтобы найти $a$.

$a = \frac{20}{-4}$

$a = -5$

В ходе преобразований переменная $b$ была полностью сокращена. Это означает, что данное равенство будет верным при $a = -5$ и абсолютно любом значении переменной $b$.

Ответ: Равенство верно при $a = -5$ и любом значении $b$.

6 Используя формулу сокращённого умножения, вычислите:

а) $89^2$;

б) $102^2$.

а) Чтобы вычислить $89^2$, представим это число как разность двух удобных для вычисления чисел, например, $90$ и $1$. Таким образом, $89 = 90 - 1$.
Теперь воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае $a = 90$, а $b = 1$.
Подставим эти значения в формулу и выполним вычисления:
$89^2 = (90 - 1)^2 = 90^2 - 2 \cdot 90 \cdot 1 + 1^2 = 8100 - 180 + 1 = 7920 + 1 = 7921$.
Ответ: 7921.

б) Чтобы вычислить $102^2$, представим это число как сумму двух удобных для вычисления чисел, например, $100$ и $2$. Таким образом, $102 = 100 + 2$.
Теперь воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В нашем случае $a = 100$, а $b = 2$.
Подставим эти значения в формулу и выполним вычисления:
$102^2 = (100 + 2)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 2 + 2^2 = 10000 + 400 + 4 = 10404$.
Ответ: 10404.

7 Решите уравнение $(3x + 2)(3x - 2) - 32 = 9(x - 2)^2$.

Данное уравнение: $(3x + 2)(3x - 2) - 32 = 9(x - 2)^2$.

Для его решения сначала упростим обе части уравнения, раскрыв скобки.

1. Упростим левую часть уравнения. Выражение $(3x + 2)(3x - 2)$ является произведением суммы и разности двух выражений, что соответствует формуле разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Применим эту формулу:

$(3x + 2)(3x - 2) = (3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4$.

Теперь подставим это в левую часть уравнения:

$(9x^2 - 4) - 32 = 9x^2 - 36$.

2. Упростим правую часть уравнения. Выражение $(x-2)^2$ является квадратом разности, который раскрывается по формуле: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Применим эту формулу:

$(x - 2)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 - 4x + 4$.

Теперь умножим полученное выражение на 9:

$9(x^2 - 4x + 4) = 9x^2 - 36x + 36$.

3. Теперь, когда обе части уравнения упрощены, приравняем их:

$9x^2 - 36 = 9x^2 - 36x + 36$.

Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую. Заметим, что слагаемое $9x^2$ присутствует в обеих частях уравнения, поэтому при переносе оно сократится.

$9x^2 - 9x^2 + 36x = 36 + 36$

После упрощения получаем:

$36x = 72$

4. Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 36:

$x = \frac{72}{36}$

$x = 2$

Ответ: $2$

8 Используя формулу сокращённого умножения, упростите выражение $(2 - 3a)(4 + 6a + 9a^2)$ и найдите его значение при $a = \frac{1}{6}$.

Данное выражение $ (2 - 3a)(4 + 6a + 9a^2) $ представляет собой произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы. Для его упрощения используется формула сокращенного умножения "разность кубов":
$ (x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3 $

В нашем случае $ x = 2 $ и $ y = 3a $. Проверим, соответствует ли вторая скобка $ (4 + 6a + 9a^2) $ части формулы $ (x^2 + xy + y^2) $:

• $ x^2 = 2^2 = 4 $
• $ xy = 2 \cdot 3a = 6a $
• $ y^2 = (3a)^2 = 9a^2 $

Так как все части совпадают, мы можем применить формулу.

Упростим выражение, применив формулу разности кубов:
$ (2 - 3a)(4 + 6a + 9a^2) = 2^3 - (3a)^3 = 8 - 27a^3 $

Теперь найдем значение полученного выражения при $ a = \frac{1}{6} $. Для этого подставим значение $ a $ в упрощенное выражение:
$ 8 - 27a^3 = 8 - 27 \cdot (\frac{1}{6})^3 $

Выполним вычисления:
$ 8 - 27 \cdot (\frac{1}{6})^3 = 8 - 27 \cdot \frac{1^3}{6^3} = 8 - 27 \cdot \frac{1}{216} = 8 - \frac{27}{216} $

Сократим дробь $ \frac{27}{216} $. Заметив, что $ 216 = 27 \cdot 8 $, получаем:
$ \frac{27}{216} = \frac{27 \div 27}{216 \div 27} = \frac{1}{8} $

Подставим сокращенную дробь обратно в выражение и найдем окончательный результат:
$ 8 - \frac{1}{8} = 7\frac{8}{8} - \frac{1}{8} = 7\frac{7}{8} $

Ответ: $ 7\frac{7}{8} $.

9 Докажите, что значение выражения $(3b + 2)^2 + (7 + 3b)(7 - 3b) - 12b$ не зависит от значения переменной.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от значения переменной, необходимо это выражение упростить. Если в результате упрощения все члены, содержащие переменную, сократятся, и останется только константа (число), то утверждение будет доказано.

Рассмотрим выражение: $(3b + 2)^2 + (7 + 3b)(7 - 3b) - 12b$.

Для упрощения будем использовать формулы сокращенного умножения:

1. Раскроем первый член $(3b + 2)^2$ по формуле квадрата суммы $(a + c)^2 = a^2 + 2ac + c^2$:

$(3b + 2)^2 = (3b)^2 + 2 \cdot 3b \cdot 2 + 2^2 = 9b^2 + 12b + 4$.

2. Раскроем второй член $(7 + 3b)(7 - 3b)$ по формуле разности квадратов $(c + a)(c - a) = c^2 - a^2$:

$(7 + 3b)(7 - 3b) = 7^2 - (3b)^2 = 49 - 9b^2$.

3. Теперь подставим полученные результаты обратно в исходное выражение:

$(9b^2 + 12b + 4) + (49 - 9b^2) - 12b$.

4. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$9b^2 + 12b + 4 + 49 - 9b^2 - 12b$.

Сгруппируем подобные члены:

$(9b^2 - 9b^2) + (12b - 12b) + (4 + 49)$.

Выполним вычисления:

$0 + 0 + 53 = 53$.

В результате упрощения мы получили число 53. Так как итоговое значение является константой и не содержит переменную b, мы доказали, что значение выражения не зависит от значения переменной.

Ответ: Значение выражения равно 53 и не зависит от значения переменной b, что и требовалось доказать.

10 Таблица распределения 25 данных выглядит так:

Результат: , 🏛️, ▢, 🙂, #, ●

Сколько раз встретился: $x$, $3x-2$, $2(x+2)$, $x+3$, $5x-4$

Найдите $x$ и процентную частоту моды.

Найдите x и процентную частоту моды

Согласно условию задачи, общее количество данных равно 25. Это означает, что сумма всех частот, указанных в нижней строке таблицы, должна быть равна 25. Составим и решим уравнение, чтобы найти значение x.

Сумма частот: $x + (3x - 2) + 2(x + 2) + (x + 3) + (5x - 4) = 25$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x + 3x - 2 + 2x + 4 + x + 3 + 5x - 4 = 25$

Сгруппируем слагаемые с x и числовые слагаемые:

$(x + 3x + 2x + x + 5x) + (-2 + 4 + 3 - 4) = 25$

$12x + 1 = 25$

$12x = 25 - 1$

$12x = 24$

$x = \frac{24}{12}$

$x = 2$

Теперь, когда мы нашли значение x, мы можем вычислить конкретные частоты для каждого результата, подставив $x=2$ в выражения:

• Частота для 🏛️: $x = 2$
• Частота для ☐: $3x - 2 = 3(2) - 2 = 6 - 2 = 4$
• Частота для 🙂: $2(x + 2) = 2(2 + 2) = 2(4) = 8$
• Частота для #: $x + 3 = 2 + 3 = 5$
• Частота для ●: $5x - 4 = 5(2) - 4 = 10 - 4 = 6$

Проверим сумму частот: $2 + 4 + 8 + 5 + 6 = 25$. Сумма верна.

Мода — это значение в наборе данных, которое встречается наиболее часто. В данном случае, это результат с наибольшей частотой. Сравнивая полученные частоты (2, 4, 8, 5, 6), мы видим, что наибольшая частота равна 8. Эта частота соответствует результату 🙂.

Процентная частота моды вычисляется как отношение частоты моды к общему количеству данных, умноженное на 100%.

Процентная частота моды = $\frac{\text{частота моды}}{\text{общее количество данных}} \times 100\%$

Процентная частота моды = $\frac{8}{25} \times 100\% = 0.32 \times 100\% = 32\%$

Ответ: $x = 2$, процентная частота моды равна 32%.