Страница 161, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Используя материал данного параграфа, расскажите, для каких типов заданий нужно уметь раскладывать многочлен на множители. Попробуйте привести примеры.

Умение раскладывать многочлен на множители является ключевым навыком в алгебре, который используется для решения широкого спектра задач. Разложение на множители необходимо для следующих типов заданий:

Решение алгебраических уравнений

Это одно из самых частых применений. Если представить уравнение в виде $P(x) = 0$, где $P(x)$ — многочлен, то разложение $P(x)$ на множители позволяет свести исходное уравнение к совокупности более простых уравнений. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Пример: Решить уравнение $x^3 + 2x^2 - 3x = 0$.

Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x^2 + 2x - 3) = 0$.

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + 2x - 3$. Его корни можно найти по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = -3$ и $x_1 + x_2 = -2$. Корни равны $1$ и $-3$. Таким образом, $x^2 + 2x - 3 = (x-1)(x+3)$.

Исходное уравнение принимает вид: $x(x-1)(x+3) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $x=0$ или $x-1=0$ или $x+3=0$.

Отсюда получаем корни: $x_1=0, x_2=1, x_3=-3$.

Ответ: $x \in \{-3, 0, 1\}$.

Упрощение алгебраических дробей

Разложение на множители числителя и знаменателя дроби позволяет сократить общие множители и тем самым упростить выражение. Это необходимо при выполнении действий с дробями (сложение, вычитание, умножение, деление).

Пример: Сократить дробь $\frac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9}$.

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель раскладывается по формуле разности квадратов: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.

Знаменатель является полным квадратом разности: $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$.

Подставляем разложения в дробь: $\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x-3)}$.

Сокращаем общий множитель $(x-3)$ при условии, что $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$.

Получаем: $\frac{x+3}{x-3}$.

Ответ: $\frac{x+3}{x-3}$ при $x \neq 3$.

Решение неравенств

Для решения неравенств вида $P(x) > 0$ или $P(x) < 0$ используется метод интервалов. Первым шагом этого метода является нахождение корней многочлена $P(x)$, для чего его необходимо разложить на множители.

Пример: Решить неравенство $x^2 + x - 12 < 0$.

Сначала найдем корни многочлена, решив уравнение $x^2 + x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 3$.

Тогда неравенство можно записать в виде: $(x+4)(x-3) < 0$.

Корни $-4$ и $3$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -4)$, $(-4, 3)$ и $(3, +\infty)$. Определим знак произведения $(x+4)(x-3)$ на каждом интервале.

• При $x < -4$ (например, $x=-5$): $(-5+4)(-5-3) = (-1)(-8) = 8 > 0$.
• При $-4 < x < 3$ (например, $x=0$): $(0+4)(0-3) = (4)(-3) = -12 < 0$.
• При $x > 3$ (например, $x=4$): $(4+4)(4-3) = (8)(1) = 8 > 0$.

Неравенство выполняется на интервале, где произведение отрицательно.

Ответ: $x \in (-4, 3)$.

Нахождение области определения функции

Область определения функции — это множество всех значений аргумента, при которых функция имеет смысл. Для дробно-рациональных функций нужно исключить значения, обращающие знаменатель в ноль. Для функций, содержащих квадратный корень, нужно найти значения, при которых подкоренное выражение неотрицательно. Обе эти задачи часто сводятся к решению уравнений или неравенств, требующих разложения на множители.

Пример: Найти область определения функции $y = \frac{1}{\sqrt{x^3 - 5x^2 + 6x}}$.

Подкоренное выражение должно быть строго больше нуля (так как оно находится в знаменателе): $x^3 - 5x^2 + 6x > 0$.

Разложим многочлен на множители. Вынесем $x$: $x(x^2 - 5x + 6) > 0$.

Разложим квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 6$. Его корни $x=2$ и $x=3$. Таким образом, $x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$.

Неравенство принимает вид: $x(x-2)(x-3) > 0$.

Решаем методом интервалов. Корни: $0, 2, 3$. Они разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$, $(2, 3)$, $(3, +\infty)$.

Проверяем знаки на интервалах:

• При $x < 0$ (например, $x=-1$): $(-)(-)(-) = - < 0$.
• При $0 < x < 2$ (например, $x=1$): $(+)(-)(-) = + > 0$.
• При $2 < x < 3$ (например, $x=2.5$): $(+)(+)(-) = - < 0$.
• При $x > 3$ (например, $x=4$): $(+)(+)(+) = + > 0$.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля.

Ответ: $x \in (0, 2) \cup (3, +\infty)$.

2. Решите уравнение $x^2 - 2x = 0$.

Данное уравнение $x^2 - 2x = 0$ является неполным квадратным уравнением, так как в нем отсутствует свободный член (коэффициент $c=0$).

Для решения такого типа уравнений наиболее рационально использовать метод разложения на множители. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Исходя из этого правила, приравниваем каждый множитель к нулю и получаем два простых уравнения:

1) $x = 0$

2) $x - 2 = 0$

Первый корень уравнения уже найден: $x_1 = 0$.

Решая второе уравнение, находим второй корень:

$x_2 = 2$

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: 0; 2.

3. Вычислите без калькулятора: $\frac{52^2 - 34^2}{63^2 - 23^2}$

Для вычисления значения выражения $\frac{52^2 - 34^2}{63^2 - 23^2}$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Применим эту формулу отдельно к числителю и знаменателю дроби.

Раскладываем числитель на множители:

$52^2 - 34^2 = (52 - 34)(52 + 34) = 18 \cdot 86$.

Раскладываем знаменатель на множители:

$63^2 - 23^2 = (63 - 23)(63 + 23) = 40 \cdot 86$.

Теперь подставим полученные произведения в исходную дробь:

$\frac{52^2 - 34^2}{63^2 - 23^2} = \frac{18 \cdot 86}{40 \cdot 86}$

В числителе и знаменателе есть общий множитель 86. Сократим дробь на 86:

$\frac{18 \cdot \cancel{86}}{40 \cdot \cancel{86}} = \frac{18}{40}$

Полученную дробь $\frac{18}{40}$ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2:

$\frac{18 \div 2}{40 \div 2} = \frac{9}{20}$

Чтобы представить результат в виде десятичной дроби, умножим числитель и знаменатель на 5:

$\frac{9 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{45}{100} = 0.45$

Ответ: $0.45$

36.13 a) $(2x - y)(x + y) = 0;$

Б) $(x + 2y)(x + y - 1) = 0;$

В) $(x - y)(3x + y) = 0;$

Г) $(x - 3y)(x - y + 2) = 0.$

а)

Исходное уравнение $(2x - y)(x + y) = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому данное уравнение равносильно совокупности двух линейных уравнений:

$2x - y = 0$ или $x + y = 0$.

Каждое из этих уравнений является уравнением прямой на координатной плоскости.

1. Рассматриваем первое уравнение: $2x - y = 0$. Выразим $y$ через $x$: $y = 2x$. Это уравнение прямой, которая проходит через начало координат $(0,0)$ и имеет угловой коэффициент $k=2$.

2. Рассматриваем второе уравнение: $x + y = 0$. Выразим $y$ через $x$: $y = -x$. Это уравнение прямой, которая также проходит через начало координат и является биссектрисой второго и четвертого координатных углов, её угловой коэффициент $k=-1$.

Таким образом, множество решений исходного уравнения представляет собой объединение двух прямых, заданных уравнениями $y = 2x$ и $y = -x$.

Ответ: совокупность прямых $y = 2x$ и $y = -x$.

б)

Исходное уравнение $(x + 2y)(x + y - 1) = 0$.

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x + 2y = 0$ или $x + y - 1 = 0$.

1. Из первого уравнения $x + 2y = 0$ выражаем $y$: $2y = -x$, откуда $y = -\frac{1}{2}x$. Это уравнение прямой, проходящей через начало координат с угловым коэффициентом $k = -1/2$.

2. Из второго уравнения $x + y - 1 = 0$ выражаем $y$: $y = -x + 1$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $k = -1$ и пересекающей ось ординат в точке $(0, 1)$.

Решением исходного уравнения является объединение (совокупность) этих двух прямых.

Ответ: совокупность прямых $y = -\frac{1}{2}x$ и $y = -x + 1$.

в)

Исходное уравнение $(x - y)(3x + y) = 0$.

Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x - y = 0$ или $3x + y = 0$.

1. Из первого уравнения $x - y = 0$ получаем $y = x$. Это уравнение прямой, являющейся биссектрисой первого и третьего координатных углов, с угловым коэффициентом $k = 1$.

2. Из второго уравнения $3x + y = 0$ получаем $y = -3x$. Это уравнение прямой, проходящей через начало координат с угловым коэффициентом $k = -3$.

Решением является объединение двух прямых, заданных этими уравнениями.

Ответ: совокупность прямых $y = x$ и $y = -3x$.

г)

Исходное уравнение $(x - 3y)(x - y + 2) = 0$.

Уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

$x - 3y = 0$ или $x - y + 2 = 0$.

1. Из первого уравнения $x - 3y = 0$ выражаем $y$: $3y = x$, откуда $y = \frac{1}{3}x$. Это уравнение прямой, проходящей через начало координат с угловым коэффициентом $k = 1/3$.

2. Из второго уравнения $x - y + 2 = 0$ выражаем $y$: $y = x + 2$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $k = 1$ и пересекающей ось ординат в точке $(0, 2)$.

Решением является объединение этих двух прямых.

Ответ: совокупность прямых $y = \frac{1}{3}x$ и $y = x + 2$.

Решите уравнение:

36.14 a) $(x - 1)^2 (x + 2) = 0;$

б) $(x^2 - 1)(x - 3) = 0;$

в) $(x - 4)^2 (x - 3) = 0;$

г) $(x^2 - 4)(x + 1) = 0.$

а) $(x - 1)^2 (x + 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $(x - 1)^2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x = 1$

2) $x + 2 = 0$

$x = -2$

Ответ: $-2; 1$.

б) $(x^2 - 1)(x - 3) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x^2 - 1 = 0$

Это формула разности квадратов: $(x - 1)(x + 1) = 0$.

Это уравнение имеет два корня:

$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$

2) $x - 3 = 0$

$x = 3$

Ответ: $-1; 1; 3$.

в) $(x - 4)^2 (x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $(x - 4)^2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x = 4$

2) $x - 3 = 0$

$x = 3$

Ответ: $3; 4$.

г) $(x^2 - 4)(x + 1) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x^2 - 4 = 0$

Используем формулу разности квадратов: $(x - 2)(x + 2) = 0$.

Уравнение имеет два корня:

$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$

$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$

2) $x + 1 = 0$

$x = -1$

Ответ: $-2; -1; 2$.

36.15 a) $x(x - 2)(x^2 + 1) = 0;$

б) $(x + 6)(x^3 - 8) = 0;$

в) $x(x^2 + 4)(x + 4) = 0;$

г) $(x - 5)(x^3 + 1) = 0.$

а) $x(x - 2)(x^2 + 1) = 0$

Данное уравнение представляет собой произведение трех множителей, равное нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x = 0$

2) $x - 2 = 0$, откуда $x = 2$

3) $x^2 + 1 = 0$. Перенеся 1 в правую часть, получим $x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$).

Следовательно, корнями уравнения являются 0 и 2.

Ответ: $0; 2$.

б) $(x + 6)(x^3 - 8) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x + 6 = 0$, откуда $x = -6$

2) $x^3 - 8 = 0$. Перенеся 8 в правую часть, получим $x^3 = 8$. Извлекая кубический корень, находим $x = 2$.

Можно также разложить множитель $x^3 - 8$ по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$: $x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$. Уравнение $x-2=0$ дает корень $x=2$. Для второго уравнения $x^2+2x+4=0$ найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, корнями уравнения являются -6 и 2.

Ответ: $-6; 2$.

в) $x(x^2 + 4)(x + 4) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю, так как их произведение равно нулю:

1) $x = 0$

2) $x^2 + 4 = 0$. Отсюда $x^2 = -4$. Уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не отрицателен.

3) $x + 4 = 0$, откуда $x = -4$

Корнями уравнения являются 0 и -4.

Ответ: $-4; 0$.

г) $(x - 5)(x^3 + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x - 5 = 0$, откуда $x = 5$

2) $x^3 + 1 = 0$. Отсюда $x^3 = -1$. Извлекая кубический корень, находим $x = -1$.

Также можно разложить множитель $x^3 + 1$ по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$: $x^3 + 1^3 = (x+1)(x^2 - x + 1)$. Уравнение $x+1=0$ дает корень $x=-1$. Для второго уравнения $x^2-x+1=0$ найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, корнями уравнения являются 5 и -1.

Ответ: $-1; 5$.

36.16 a) $0.25a^2 - 9 = 0;$

б) $0.04b^2 - 4 = 0;$

в) $4x^2 - 1.44 = 0;$

г) $0.25y^2 - 25 = 0.$

а) Решим уравнение $0,25a^2 - 9 = 0$. Это неполное квадратное уравнение, которое можно решить, разложив левую часть на множители по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Представим слагаемые в виде квадратов: $0,25a^2 = (0,5a)^2$ и $9 = 3^2$.
Тогда уравнение принимает вид:
$(0,5a)^2 - 3^2 = 0$
$(0,5a - 3)(0,5a + 3) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $0,5a - 3 = 0 \implies 0,5a = 3 \implies a = \frac{3}{0,5} \implies a_1 = 6$.
2) $0,5a + 3 = 0 \implies 0,5a = -3 \implies a = \frac{-3}{0,5} \implies a_2 = -6$.
Ответ: $\pm 6$.

б) Решим уравнение $0,04b^2 - 4 = 0$. Используем метод разложения на множители по формуле разности квадратов.
Представим слагаемые в виде квадратов: $0,04b^2 = (0,2b)^2$ и $4 = 2^2$.
Тогда уравнение принимает вид:
$(0,2b)^2 - 2^2 = 0$
$(0,2b - 2)(0,2b + 2) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $0,2b - 2 = 0 \implies 0,2b = 2 \implies b = \frac{2}{0,2} \implies b_1 = 10$.
2) $0,2b + 2 = 0 \implies 0,2b = -2 \implies b = \frac{-2}{0,2} \implies b_2 = -10$.
Ответ: $\pm 10$.

в) Решим уравнение $4x^2 - 1,44 = 0$. Применим формулу разности квадратов.
Представим слагаемые в виде квадратов: $4x^2 = (2x)^2$ и $1,44 = (1,2)^2$.
Тогда уравнение принимает вид:
$(2x)^2 - (1,2)^2 = 0$
$(2x - 1,2)(2x + 1,2) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $2x - 1,2 = 0 \implies 2x = 1,2 \implies x = \frac{1,2}{2} \implies x_1 = 0,6$.
2) $2x + 1,2 = 0 \implies 2x = -1,2 \implies x = \frac{-1,2}{2} \implies x_2 = -0,6$.
Ответ: $\pm 0,6$.

г) Решим уравнение $0,25y^2 - 25 = 0$. Воспользуемся формулой разности квадратов.
Представим слагаемые в виде квадратов: $0,25y^2 = (0,5y)^2$ и $25 = 5^2$.
Тогда уравнение принимает вид:
$(0,5y)^2 - 5^2 = 0$
$(0,5y - 5)(0,5y + 5) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $0,5y - 5 = 0 \implies 0,5y = 5 \implies y = \frac{5}{0,5} \implies y_1 = 10$.
2) $0,5y + 5 = 0 \implies 0,5y = -5 \implies y = \frac{-5}{0,5} \implies y_2 = -10$.
Ответ: $\pm 10$.

36.17 Вычислите наиболее рациональным способом:

а) $ \frac{910}{137^2 - 123^2} $

б) $ \frac{13,2 \cdot 9,8 + 13,2 \cdot 2,2}{24} $

в) $ \frac{324^2 - 36^2}{1440} $

г) $ \frac{4,5 \cdot 3,1 - 4,5 \cdot 2,1}{0,1} $

а) В знаменателе дроби применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$\frac{910}{137^2 - 123^2} = \frac{910}{(137 - 123)(137 + 123)}$

Вычислим значения в скобках:

$137 - 123 = 14$

$137 + 123 = 260$

Подставим полученные значения обратно в дробь:

$\frac{910}{14 \cdot 260}$

Сократим дробь. Поскольку $910 = 91 \cdot 10 = 7 \cdot 13 \cdot 10$ и $260 = 26 \cdot 10 = 2 \cdot 13 \cdot 10$, а $14 = 2 \cdot 7$, получаем:

$\frac{7 \cdot 13 \cdot 10}{(2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 13 \cdot 10)} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} = 0,25$

Ответ: 0,25

б) В числителе дроби вынесем общий множитель 13,2 за скобки, используя распределительное свойство умножения $ac + ad = a(c+d)$.

$\frac{13,2 \cdot 9,8 + 13,2 \cdot 2,2}{24} = \frac{13,2 \cdot (9,8 + 2,2)}{24}$

Вычислим сумму в скобках:

$9,8 + 2,2 = 12$

Подставим результат в выражение:

$\frac{13,2 \cdot 12}{24}$

Сократим дробь на 12:

$\frac{13,2}{2} = 6,6$

Ответ: 6,6

в) В числителе дроби применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$\frac{324^2 - 36^2}{1440} = \frac{(324 - 36)(324 + 36)}{1440}$

Вычислим значения в скобках:

$324 - 36 = 288$

$324 + 36 = 360$

Подставим полученные значения в дробь:

$\frac{288 \cdot 360}{1440}$

Сократим дробь на 360, заметив, что $1440 = 144 \cdot 10 = 4 \cdot 36 \cdot 10 = 4 \cdot 360$.

$\frac{288 \cdot 360}{4 \cdot 360} = \frac{288}{4} = 72$

Ответ: 72

г) В числителе дроби вынесем общий множитель 4,5 за скобки, используя распределительное свойство умножения $ac - ad = a(c-d)$.

$\frac{4,5 \cdot 3,1 - 4,5 \cdot 2,1}{0,1} = \frac{4,5 \cdot (3,1 - 2,1)}{0,1}$

Вычислим разность в скобках:

$3,1 - 2,1 = 1$

Подставим результат в выражение:

$\frac{4,5 \cdot 1}{0,1} = \frac{4,5}{0,1}$

Чтобы разделить на 0,1, умножим числитель и знаменатель на 10:

$\frac{4,5 \cdot 10}{0,1 \cdot 10} = \frac{45}{1} = 45$

Ответ: 45

36.18 Постройте график уравнения:

а) $2x^2 + xy = 0;$

б) $xy - 5y = 0;$

в) $y^2 - 3xy = 0;$

г) $4x + xy = 0.$

а) $2x^2 + xy = 0$

Для построения графика уравнения преобразуем его. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(2x + y) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x = 0$ или $2x + y = 0$.

Графиком первого уравнения $x = 0$ является прямая, совпадающая с осью ординат (осью Oy).

Графиком второго уравнения $2x + y = 0$, или $y = -2x$, является прямая, проходящая через начало координат (0, 0) и, например, точку (1, -2).

Таким образом, график исходного уравнения состоит из двух пересекающихся прямых: оси Oy и прямой $y = -2x$.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся прямых: $x = 0$ (ось Oy) и $y = -2x$.

б) $xy - 5y = 0$

Для построения графика уравнения преобразуем его. Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(x - 5) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:

$y = 0$ или $x - 5 = 0$.

Графиком первого уравнения $y = 0$ является прямая, совпадающая с осью абсцисс (осью Ox).

Графиком второго уравнения $x - 5 = 0$, или $x = 5$, является вертикальная прямая, проходящая через точку (5, 0) и параллельная оси Oy.

Следовательно, график исходного уравнения представляет собой объединение двух перпендикулярных прямых: $y = 0$ и $x = 5$.

Ответ: Графиком уравнения является пара перпендикулярных прямых: $y = 0$ (ось Ox) и $x = 5$.

в) $y^2 - 3xy = 0$

Для построения графика уравнения преобразуем его. Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(y - 3x) = 0$

Это уравнение распадается на два, так как произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$y = 0$ или $y - 3x = 0$.

Графиком первого уравнения $y = 0$ является ось абсцисс (ось Ox).

Графиком второго уравнения $y - 3x = 0$, или $y = 3x$, является прямая, проходящая через начало координат (0, 0) и, например, точку (1, 3).

Таким образом, график исходного уравнения состоит из двух прямых, пересекающихся в начале координат: $y = 0$ и $y = 3x$.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся прямых: $y = 0$ (ось Ox) и $y = 3x$.

г) $4x + xy = 0$

Для построения графика уравнения преобразуем его. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(4 + y) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем совокупность двух уравнений:

$x = 0$ или $4 + y = 0$.

Графиком первого уравнения $x = 0$ является ось ординат (ось Oy).

Графиком второго уравнения $4 + y = 0$, или $y = -4$, является горизонтальная прямая, проходящая через точку (0, -4) и параллельная оси Ox.

Следовательно, график исходного уравнения представляет собой объединение двух перпендикулярных прямых: $x = 0$ и $y = -4$.

Ответ: Графиком уравнения является пара перпендикулярных прямых: $x = 0$ (ось Oy) и $y = -4$.

36.19 Докажите, что:

а) $(41^2 + 41 \cdot 59) : 100;$

б) $(95^2 - 71^2) : 12;$

в) $(111^2 - 111 \cdot 67) : 11;$

г) $(111^2 - 39^2) : 40.$

а) Чтобы доказать, что выражение $(41^2 + 41 \cdot 59)$ делится на 100, преобразуем его, вынеся общий множитель 41 за скобки:

$41^2 + 41 \cdot 59 = 41 \cdot (41 + 59)$

Далее выполним сложение в скобках:

$41 + 59 = 100$

Таким образом, исходное выражение равно произведению:

$41 \cdot 100$

Это произведение очевидно делится на 100, так как один из его множителей равен 100. Результатом деления является целое число:

$(41 \cdot 100) : 100 = 41$

Так как результат деления — целое число, утверждение доказано.

Ответ: Делимость доказана, так как $(41^2 + 41 \cdot 59) : 100 = 41$.

б) Чтобы доказать, что выражение $(95^2 - 71^2)$ делится на 12, воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Применим эту формулу:

$95^2 - 71^2 = (95 - 71)(95 + 71)$

Вычислим значения выражений в скобках:

$95 - 71 = 24$

$95 + 71 = 166$

Исходное выражение равно произведению:

$24 \cdot 166$

Поскольку один из множителей, 24, делится на 12 нацело ($24 : 12 = 2$), то и все произведение делится на 12.

$(24 \cdot 166) : 12 = 2 \cdot 166 = 332$

Так как результат деления — целое число, утверждение доказано.

Ответ: Делимость доказана, так как $(95^2 - 71^2) : 12 = 332$.

в) Чтобы доказать, что выражение $(111^2 - 111 \cdot 67)$ делится на 11, вынесем общий множитель 111 за скобки:

$111^2 - 111 \cdot 67 = 111 \cdot (111 - 67)$

Выполним вычитание в скобках:

$111 - 67 = 44$

Теперь выражение имеет вид:

$111 \cdot 44$

Один из множителей, 44, делится на 11 нацело ($44 : 11 = 4$), следовательно, все произведение делится на 11.

$(111 \cdot 44) : 11 = 111 \cdot 4 = 444$

Так как результат деления — целое число, утверждение доказано.

Ответ: Делимость доказана, так как $(111^2 - 111 \cdot 67) : 11 = 444$.

г) Чтобы доказать, что выражение $(111^2 - 39^2)$ делится на 40, применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$111^2 - 39^2 = (111 - 39)(111 + 39)$

Вычислим значения в скобках:

$111 - 39 = 72$

$111 + 39 = 150$

Исходное выражение равно произведению:

$72 \cdot 150$

Для проверки делимости на 40, представим 40 как произведение $8 \cdot 5$. Проверим, делятся ли множители $72$ и $150$ на 8 и 5.

$72$ делится на 8 ($72 = 8 \cdot 9$).

$150$ делится на 5 ($150 = 5 \cdot 30$).

Поскольку множители исходного выражения делятся на 8 и 5, то все произведение делится на $8 \cdot 5 = 40$.

$(72 \cdot 150) : 40 = (8 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 30) : (8 \cdot 5) = 9 \cdot 30 = 270$

Так как результат деления — целое число, утверждение доказано.

Ответ: Делимость доказана, так как $(111^2 - 39^2) : 40 = 270$.