Номер 36.15, страница 161, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

36.15 a) $x(x - 2)(x^2 + 1) = 0;$

б) $(x + 6)(x^3 - 8) = 0;$

в) $x(x^2 + 4)(x + 4) = 0;$

г) $(x - 5)(x^3 + 1) = 0.$

а) $x(x - 2)(x^2 + 1) = 0$

Данное уравнение представляет собой произведение трех множителей, равное нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x = 0$

2) $x - 2 = 0$, откуда $x = 2$

3) $x^2 + 1 = 0$. Перенеся 1 в правую часть, получим $x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$).

Следовательно, корнями уравнения являются 0 и 2.

Ответ: $0; 2$.

б) $(x + 6)(x^3 - 8) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x + 6 = 0$, откуда $x = -6$

2) $x^3 - 8 = 0$. Перенеся 8 в правую часть, получим $x^3 = 8$. Извлекая кубический корень, находим $x = 2$.

Можно также разложить множитель $x^3 - 8$ по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$: $x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$. Уравнение $x-2=0$ дает корень $x=2$. Для второго уравнения $x^2+2x+4=0$ найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, корнями уравнения являются -6 и 2.

Ответ: $-6; 2$.

в) $x(x^2 + 4)(x + 4) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю, так как их произведение равно нулю:

1) $x = 0$

2) $x^2 + 4 = 0$. Отсюда $x^2 = -4$. Уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не отрицателен.

3) $x + 4 = 0$, откуда $x = -4$

Корнями уравнения являются 0 и -4.

Ответ: $-4; 0$.

г) $(x - 5)(x^3 + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x - 5 = 0$, откуда $x = 5$

2) $x^3 + 1 = 0$. Отсюда $x^3 = -1$. Извлекая кубический корень, находим $x = -1$.

Также можно разложить множитель $x^3 + 1$ по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$: $x^3 + 1^3 = (x+1)(x^2 - x + 1)$. Уравнение $x+1=0$ дает корень $x=-1$. Для второго уравнения $x^2-x+1=0$ найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, корнями уравнения являются 5 и -1.

Ответ: $-1; 5$.