Номер 36.19, страница 161, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

36.19 Докажите, что:

а) $(41^2 + 41 \cdot 59) : 100;$

б) $(95^2 - 71^2) : 12;$

в) $(111^2 - 111 \cdot 67) : 11;$

г) $(111^2 - 39^2) : 40.$

а) Чтобы доказать, что выражение $(41^2 + 41 \cdot 59)$ делится на 100, преобразуем его, вынеся общий множитель 41 за скобки:

$41^2 + 41 \cdot 59 = 41 \cdot (41 + 59)$

Далее выполним сложение в скобках:

$41 + 59 = 100$

Таким образом, исходное выражение равно произведению:

$41 \cdot 100$

Это произведение очевидно делится на 100, так как один из его множителей равен 100. Результатом деления является целое число:

$(41 \cdot 100) : 100 = 41$

Так как результат деления — целое число, утверждение доказано.

Ответ: Делимость доказана, так как $(41^2 + 41 \cdot 59) : 100 = 41$.

б) Чтобы доказать, что выражение $(95^2 - 71^2)$ делится на 12, воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Применим эту формулу:

$95^2 - 71^2 = (95 - 71)(95 + 71)$

Вычислим значения выражений в скобках:

$95 - 71 = 24$

$95 + 71 = 166$

Исходное выражение равно произведению:

$24 \cdot 166$

Поскольку один из множителей, 24, делится на 12 нацело ($24 : 12 = 2$), то и все произведение делится на 12.

$(24 \cdot 166) : 12 = 2 \cdot 166 = 332$

Так как результат деления — целое число, утверждение доказано.

Ответ: Делимость доказана, так как $(95^2 - 71^2) : 12 = 332$.

в) Чтобы доказать, что выражение $(111^2 - 111 \cdot 67)$ делится на 11, вынесем общий множитель 111 за скобки:

$111^2 - 111 \cdot 67 = 111 \cdot (111 - 67)$

Выполним вычитание в скобках:

$111 - 67 = 44$

Теперь выражение имеет вид:

$111 \cdot 44$

Один из множителей, 44, делится на 11 нацело ($44 : 11 = 4$), следовательно, все произведение делится на 11.

$(111 \cdot 44) : 11 = 111 \cdot 4 = 444$

Так как результат деления — целое число, утверждение доказано.

Ответ: Делимость доказана, так как $(111^2 - 111 \cdot 67) : 11 = 444$.

г) Чтобы доказать, что выражение $(111^2 - 39^2)$ делится на 40, применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$111^2 - 39^2 = (111 - 39)(111 + 39)$

Вычислим значения в скобках:

$111 - 39 = 72$

$111 + 39 = 150$

Исходное выражение равно произведению:

$72 \cdot 150$

Для проверки делимости на 40, представим 40 как произведение $8 \cdot 5$. Проверим, делятся ли множители $72$ и $150$ на 8 и 5.

$72$ делится на 8 ($72 = 8 \cdot 9$).

$150$ делится на 5 ($150 = 5 \cdot 30$).

Поскольку множители исходного выражения делятся на 8 и 5, то все произведение делится на $8 \cdot 5 = 40$.

$(72 \cdot 150) : 40 = (8 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 30) : (8 \cdot 5) = 9 \cdot 30 = 270$

Так как результат деления — целое число, утверждение доказано.

Ответ: Делимость доказана, так как $(111^2 - 39^2) : 40 = 270$.