Страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

38.6 a) $7c^2 - c - c^3 + 7;$

Б) $x^3 + 28 - 14x^2 - 2x;$

В) $x^3 - 6 + 2x - 3x^2;$

Г) $2b^3 - 6 - 4b^2 + 3b.$

а) Чтобы разложить многочлен $7c^2 - c - c^3 + 7$ на множители, воспользуемся методом группировки. Для этого сгруппируем слагаемые следующим образом:
$(7c^2 + 7) + (-c - c^3)$
Теперь вынесем общий множитель за скобки в каждой из групп:
$7(c^2 + 1) - c(1 + c^2)$
Видим, что у обеих групп есть общий множитель $(c^2 + 1)$. Вынесем его за скобки:
$(c^2 + 1)(7 - c)$
Ответ: $(c^2 + 1)(7 - c)$

б) Для разложения на множители многочлена $x^3 + 28 - 14x^2 - 2x$ сначала упорядочим его члены по убыванию степеней переменной $x$:
$x^3 - 14x^2 - 2x + 28$
Сгруппируем попарно слагаемые:
$(x^3 - 14x^2) + (-2x + 28)$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^2(x - 14) - 2(x - 14)$
Теперь вынесем общий множитель $(x - 14)$ за скобки:
$(x - 14)(x^2 - 2)$
Ответ: $(x - 14)(x^2 - 2)$

в) Разложим на множители многочлен $x^3 - 6 + 2x - 3x^2$. Для начала переставим слагаемые, расположив их по убыванию степеней $x$:
$x^3 - 3x^2 + 2x - 6$
Сгруппируем слагаемые:
$(x^3 - 3x^2) + (2x - 6)$
Вынесем общие множители в каждой группе:
$x^2(x - 3) + 2(x - 3)$
Вынесем общий для обеих групп множитель $(x - 3)$ за скобки:
$(x - 3)(x^2 + 2)$
Ответ: $(x - 3)(x^2 + 2)$

г) Для разложения многочлена $2b^3 - 6 - 4b^2 + 3b$ на множители, сначала упорядочим его члены по убыванию степеней переменной $b$:
$2b^3 - 4b^2 + 3b - 6$
Применим метод группировки:
$(2b^3 - 4b^2) + (3b - 6)$
Вынесем общие множители из каждой скобки:
$2b^2(b - 2) + 3(b - 2)$
И, наконец, вынесем общий множитель $(b - 2)$ за скобки:
$(b - 2)(2b^2 + 3)$
Ответ: $(b - 2)(2b^2 + 3)$

38.7 a) $16ab^2 + 5b^2c + 10c^3 + 32ac^2$;

б) $20n^2 - 35a - 14an + 50n$;

в) $18a^2 + 27ab + 14ac + 21bc$;

г) $2x^2yz - 15yz - 3xz^2 + 10xy^2$.

а) $16ab^2 + 5b^2c + 10c^3 + 32ac^2$

Для разложения данного многочлена на множители воспользуемся методом группировки. Этот метод заключается в объединении членов многочлена в группы таким образом, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель, и после этого появился общий множитель для всех групп.

Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(16ab^2 + 5b^2c) + (10c^3 + 32ac^2)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $b^2$. Во второй группе вынесем общий множитель $2c^2$:

$b^2(16a + 5c) + 2c^2(5c + 16a)$

Выражения в скобках идентичны, так как $16a + 5c = 5c + 16a$. Теперь можно вынести общий множитель $(16a + 5c)$ за скобки:

$(16a + 5c)(b^2 + 2c^2)$

Ответ: $(16a + 5c)(b^2 + 2c^2)$

б) $20n^2 - 35a - 14an + 50n$

Для удобства группировки переставим члены многочлена местами. Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $n$, и слагаемые, содержащие переменную $a$:

$20n^2 + 50n - 14an - 35a$

Теперь сгруппируем первое со вторым и третье с четвертым:

$(20n^2 + 50n) + (-14an - 35a)$

Из первой группы вынесем общий множитель $10n$. Из второй группы вынесем общий множитель $-7a$:

$10n(2n + 5) - 7a(2n + 5)$

Мы получили общий множитель $(2n + 5)$, который теперь можно вынести за скобки:

$(2n + 5)(10n - 7a)$

Ответ: $(2n + 5)(10n - 7a)$

в) $18a^2 + 27ab + 14ac + 21bc$

Применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(18a^2 + 27ab) + (14ac + 21bc)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $9a$. Во второй группе вынесем общий множитель $7c$:

$9a(2a + 3b) + 7c(2a + 3b)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(2a + 3b)$:

$(2a + 3b)(9a + 7c)$

Ответ: $(2a + 3b)(9a + 7c)$

г) $2x^2yz - 15yz - 3xz^2 + 10xy^2$

В данном многочлене для успешной группировки необходимо переставить слагаемые. Сгруппируем члены, которые имеют общие множители. Например, сгруппируем первое слагаемое с четвертым, а второе с третьим.

$2x^2yz + 10xy^2 - 3xz^2 - 15yz$

Объединим их в группы:

$(2x^2yz + 10xy^2) + (-3xz^2 - 15yz)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $2xy$, а из второй $-3z$:

$2xy(xz + 5y) - 3z(xz + 5y)$

Теперь у нас есть общий множитель $(xz + 5y)$, который мы выносим за скобки:

$(xz + 5y)(2xy - 3z)$

Ответ: $(xz + 5y)(2xy - 3z)$

38.8 Найдите значение выражения:

а) $ax - 2a - 3x + 6$, если $a = 1,5$; $x = 3,5$;

б) $2a + b + 2a^2 + ab$, если $a = -1$; $b = 998$;

в) $7by + 4b - 14y - 8$, если $y = \frac{5}{28}$; $b = \frac{2}{7}$;

г) $5ab - 7b + 5a^2 - 7a$, если $a = 3,7$; $b = -3,7$.

а) Для выражения $ax - 2a - 3x + 6$ при $a = 1,5$ и $x = 3,5$.

Сначала упростим выражение, сгруппировав слагаемые и вынеся общие множители за скобки. Этот метод называется разложением на множители способом группировки.

$ax - 2a - 3x + 6 = (ax - 2a) - (3x - 6) = a(x - 2) - 3(x - 2) = (a - 3)(x - 2)$

Теперь подставим заданные значения $a = 1,5$ и $x = 3,5$ в упрощенное выражение:

$(1,5 - 3)(3,5 - 2) = (-1,5) \cdot (1,5) = -2,25$

Ответ: -2,25

б) Для выражения $2a + b + 2a^2 + ab$ при $a = -1$ и $b = 998$.

Упростим выражение методом группировки. Переставим слагаемые для удобства:

$2a + 2a^2 + b + ab = (2a + 2a^2) + (b + ab) = 2a(1 + a) + b(1 + a) = (2a + b)(1 + a)$

Подставим значения $a = -1$ и $b = 998$:

$(2 \cdot (-1) + 998)(1 + (-1)) = (-2 + 998)(1 - 1) = 996 \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

в) Для выражения $7by + 4b - 14y - 8$ при $y = \frac{5}{28}$ и $b = \frac{2}{7}$.

Сначала упростим выражение, сгруппировав слагаемые:

$7by + 4b - 14y - 8 = (7by - 14y) + (4b - 8) = 7y(b - 2) + 4(b - 2) = (7y + 4)(b - 2)$

Теперь подставим значения $y = \frac{5}{28}$ и $b = \frac{2}{7}$:

$(7 \cdot \frac{5}{28} + 4)(\frac{2}{7} - 2) = (\frac{5}{4} + 4)(\frac{2}{7} - \frac{14}{7}) = (\frac{5}{4} + \frac{16}{4})(-\frac{12}{7}) = (\frac{21}{4}) \cdot (-\frac{12}{7})$

Выполним умножение, предварительно сократив дроби:

$-\frac{21 \cdot 12}{4 \cdot 7} = -\frac{3 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 4}{4 \cdot 7} = -3 \cdot 3 = -9$

Ответ: -9

г) Для выражения $5ab - 7b + 5a^2 - 7a$ при $a = 3,7$ и $b = -3,7$.

Упростим выражение, переставив слагаемые и сгруппировав их:

$5ab - 7b + 5a^2 - 7a = 5a^2 - 7a + 5ab - 7b = (5a^2 - 7a) + (5ab - 7b) = a(5a - 7) + b(5a - 7) = (a + b)(5a - 7)$

Подставим значения $a = 3,7$ и $b = -3,7$:

$(3,7 + (-3,7))(5 \cdot 3,7 - 7) = (3,7 - 3,7)(18,5 - 7) = 0 \cdot 11,5 = 0$

Ответ: 0

38.9 Разложите многочлен на множители:

а) $40a^3bc + 21bc - 56ac^2 - 15a^2b^2;$

б) $16xy^2 - 5y^2z - 10z^3 + 32xz^2;$

в) $30x^2 + 10c - 25cx - 12x;$

г) $18x^2z - 10kxy + 20k^2y - 36kxz.$

а) Для того чтобы разложить многочлен $40a^3bc + 21bc - 56ac^2 - 15a^2b^2$ на множители, воспользуемся методом группировки. Сгруппируем слагаемые так, чтобы в каждой группе был общий множитель.

Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым:

$(40a^3bc - 56ac^2) + (21bc - 15a^2b^2)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе это $8ac$, во второй — $3b$.

$8ac(5a^2b - 7c) + 3b(7c - 5a^2b)$

Заметим, что выражения в скобках отличаются только знаком. Вынесем $-1$ за скобки во второй группе, поменяв знак перед ней:

$8ac(5a^2b - 7c) - 3b(5a^2b - 7c)$

Теперь у нас есть общий множитель $(5a^2b - 7c)$, который мы можем вынести за скобки:

$(5a^2b - 7c)(8ac - 3b)$

Ответ: $(5a^2b - 7c)(8ac - 3b)$

б) Разложим на множители многочлен $16xy^2 - 5y^2z - 10z^3 + 32xz^2$. Применим метод группировки.

Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:

$(16xy^2 - 5y^2z) + (32xz^2 - 10z^3)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе это $y^2$, во второй — $2z^2$.

$y^2(16x - 5z) + 2z^2(16x - 5z)$

Теперь вынесем общий множитель $(16x - 5z)$ за скобки:

$(16x - 5z)(y^2 + 2z^2)$

Ответ: $(16x - 5z)(y^2 + 2z^2)$

в) Разложим на множители многочлен $30x^2 + 10c - 25cx - 12x$. Используем метод группировки.

Сгруппируем первое слагаемое с четвертым, а второе с третьим:

$(30x^2 - 12x) + (10c - 25cx)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе это $6x$, во второй — $5c$.

$6x(5x - 2) + 5c(2 - 5x)$

Выражения в скобках отличаются знаком. Вынесем $-1$ за скобки во второй группе:

$6x(5x - 2) - 5c(5x - 2)$

Теперь вынесем общий множитель $(5x - 2)$ за скобки:

$(5x - 2)(6x - 5c)$

Ответ: $(5x - 2)(6x - 5c)$

г) Разложим на множители многочлен $18x^2z - 10kxy + 20k^2y - 36kxz$.

Сначала вынесем за скобки общий множитель всех слагаемых. Наибольший общий делитель коэффициентов $18, -10, 20, -36$ равен $2$.

$2(9x^2z - 5kxy + 10k^2y - 18kxz)$

Теперь применим метод группировки к выражению в скобках. Сгруппируем первое слагаемое с четвертым, а второе с третьим:

$2((9x^2z - 18kxz) + (-5kxy + 10k^2y))$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе это $9xz$, во второй — $-5ky$.

$2(9xz(x - 2k) - 5ky(x - 2k))$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 2k)$ за скобки:

$2(x - 2k)(9xz - 5ky)$

Ответ: $2(x - 2k)(9xz - 5ky)$

38.10 Разложите многочлен на множители:

а) $ax^2 - ay - bx^2 + cy + by - cx^2$;

б) $xy^2 - by^2 - ax + ab + y^2 - a$;

в) $ax + bx + cx + ay + by + cy$;

г) $ab - a^2b^2 + a^3b^3 - c + abc - ca^2b^2$.

а) $ax^2 - ay - bx^2 + cy + by - cx^2$

Для разложения многочлена на множители используем метод группировки. Сгруппируем слагаемые с переменной $x^2$ и слагаемые с переменной $y$.

$(ax^2 - bx^2 - cx^2) + (-ay + by + cy)$

В каждой группе вынесем общий множитель за скобки:

$x^2(a - b - c) + y(-a + b + c)$

Выражения в скобках являются противоположными. Вынесем множитель $-1$ из второй скобки, чтобы получить одинаковые выражения.

$x^2(a - b - c) - y(a - b - c)$

Теперь мы можем вынести общий множитель $(a - b - c)$ за скобки:

$(a - b - c)(x^2 - y)$

Ответ: $(a - b - c)(x^2 - y)$

б) $xy^2 - by^2 - ax + ab + y^2 - a$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $y^2$, и оставшиеся слагаемые.

$(xy^2 - by^2 + y^2) + (-ax + ab - a)$

Вынесем общие множители за скобки. В первой группе это $y^2$, во второй — $-a$.

$y^2(x - b + 1) - a(x - b + 1)$

Теперь вынесем общий множитель $(x - b + 1)$ за скобки:

$(x - b + 1)(y^2 - a)$

Ответ: $(x - b + 1)(y^2 - a)$

в) $ax + bx + cx + ay + by + cy$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и слагаемые с переменной $y$.

$(ax + bx + cx) + (ay + by + cy)$

Вынесем общие множители $x$ и $y$ за скобки в каждой группе соответственно:

$x(a + b + c) + y(a + b + c)$

Теперь вынесем общий множитель $(a + b + c)$ за скобки:

$(a + b + c)(x + y)$

Ответ: $(a + b + c)(x + y)$

г) $ab - a^2b^2 + a^3b^3 - c + abc - ca^2b^2$

Сгруппируем слагаемые по наличию множителя $c$.

$(ab - a^2b^2 + a^3b^3) + (-c + abc - ca^2b^2)$

В первой группе вынесем за скобки $ab$, а во второй — $-c$.

$ab(1 - ab + a^2b^2) - c(1 - ab + a^2b^2)$

Теперь вынесем общий многочлен $(1 - ab + a^2b^2)$ за скобки:

$(ab - c)(1 - ab + a^2b^2)$

Ответ: $(ab - c)(1 - ab + a^2b^2)$

38.11 Найдите значение выражения $21a^2b - 4b - 12a + 7ab^2$, если:

а) $a = -\frac{1}{3}$; $b = 2$;

б) $a = 4$; $b = \frac{1}{7}$;

в) $a = 1\frac{1}{7}$; $b = 0,5$;

г) $a = -\frac{2}{3}$; $b = 3$.

Для решения задачи сначала упростим данное выражение, разложив его на множители. Это позволит сделать вычисления более простыми.

Исходное выражение: $21a^2b - 4b - 12a + 7ab^2$.

Сгруппируем слагаемые: $(21a^2b + 7ab^2) + (-12a - 4b)$.

Вынесем общие множители из каждой группы:

$7ab(3a + b) - 4(3a + b)$

Теперь вынесем общий множитель $(3a + b)$ за скобки:

$(7ab - 4)(3a + b)$

Теперь, используя это упрощенное выражение, найдем его значения для каждой пары $a$ и $b$.

а) $a = -\frac{1}{3}; b = 2$

Подставим значения $a$ и $b$ в упрощенное выражение:

$(7ab - 4)(3a + b) = (7 \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot 2 - 4) \cdot (3 \cdot (-\frac{1}{3}) + 2)$

Вычислим значение каждой скобки отдельно:

$7 \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot 2 - 4 = -\frac{14}{3} - 4 = -\frac{14}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{26}{3}$

$3 \cdot (-\frac{1}{3}) + 2 = -1 + 2 = 1$

Теперь перемножим полученные результаты:

$-\frac{26}{3} \cdot 1 = -\frac{26}{3} = -8\frac{2}{3}$

Ответ: $-8\frac{2}{3}$

б) $a = 4; b = \frac{1}{7}$

Подставим значения $a$ и $b$ в упрощенное выражение:

$(7ab - 4)(3a + b) = (7 \cdot 4 \cdot \frac{1}{7} - 4) \cdot (3 \cdot 4 + \frac{1}{7})$

Вычислим значение первой скобки:

$7 \cdot 4 \cdot \frac{1}{7} - 4 = \frac{28}{7} - 4 = 4 - 4 = 0$

Так как один из множителей равен нулю, все произведение будет равно нулю:

$0 \cdot (3 \cdot 4 + \frac{1}{7}) = 0$

Ответ: $0$

в) $a = 1\frac{1}{7}; b = 0,5$

Для удобства вычислений представим значения $a$ и $b$ в виде обыкновенных дробей:

$a = 1\frac{1}{7} = \frac{8}{7}$

$b = 0,5 = \frac{1}{2}$

Подставим значения в упрощенное выражение:

$(7ab - 4)(3a + b) = (7 \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{1}{2} - 4) \cdot (3 \cdot \frac{8}{7} + \frac{1}{2})$

Вычислим значение первой скобки:

$7 \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{1}{2} - 4 = 8 \cdot \frac{1}{2} - 4 = 4 - 4 = 0$

Так как один из множителей равен нулю, все произведение будет равно нулю:

$0 \cdot (3 \cdot \frac{8}{7} + \frac{1}{2}) = 0$

Ответ: $0$

г) $a = -\frac{2}{3}; b = 3$

Подставим значения $a$ и $b$ в упрощенное выражение:

$(7ab - 4)(3a + b) = (7 \cdot (-\frac{2}{3}) \cdot 3 - 4) \cdot (3 \cdot (-\frac{2}{3}) + 3)$

Вычислим значение каждой скобки отдельно:

$7 \cdot (-\frac{2}{3}) \cdot 3 - 4 = 7 \cdot (-2) - 4 = -14 - 4 = -18$

$3 \cdot (-\frac{2}{3}) + 3 = -2 + 3 = 1$

Теперь перемножим полученные результаты:

$-18 \cdot 1 = -18$

Ответ: $-18$

38.12 Решите уравнение:

а) $x^3 + 2x^2 + 3x + 6 = 0$;

б) $x^4 + x^3 - 8x - 8 = 0$;

в) $x^3 + 3x^2 + 5x + 15 = 0$;

г) $x^4 - 3x^3 - x + 3 = 0$.

а) $x^3 + 2x^2 + 3x + 6 = 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(x^3 + 2x^2) + (3x + 6) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 2) + 3(x + 2) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x + 2)$:

$(x + 2)(x^2 + 3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $x + 2 = 0 \implies x = -2$.

2) $x^2 + 3 = 0 \implies x^2 = -3$. Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Ответ: $-2$.

б) $x^4 + x^3 - 8x - 8 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^4 + x^3) - (8x + 8) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^3(x + 1) - 8(x + 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x + 1)$:

$(x + 1)(x^3 - 8) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x + 1 = 0 \implies x = -1$.

2) $x^3 - 8 = 0 \implies x^3 = 8 \implies x = \sqrt[3]{8} \implies x = 2$.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $-1; 2$.

в) $x^3 + 3x^2 + 5x + 15 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 + 3x^2) + (5x + 15) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 3) + 5(x + 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(x + 3)$:

$(x + 3)(x^2 + 5) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x + 3 = 0 \implies x = -3$.

2) $x^2 + 5 = 0 \implies x^2 = -5$. Уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $-3$.

г) $x^4 - 3x^3 - x + 3 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^4 - 3x^3) - (x - 3) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^3(x - 3) - 1(x - 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 3)$:

$(x - 3)(x^3 - 1) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x - 3 = 0 \implies x = 3$.

2) $x^3 - 1 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x = \sqrt[3]{1} \implies x = 1$.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $1; 3$.