Страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Постройте график уравнения:

39.37 а) $x^2 - y^2 = 0$;

б) $x^2 = 4y^2$;

в) $y^2 = 9x^2$;

г) $16x^2 - 25y^2 = 0$.

а) $x^2 - y^2 = 0$

Данное уравнение можно преобразовать, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

$\left[ \begin{array}{l} x-y=0, \\ x+y=0. \end{array} \right.$

Выразим $y$ в каждом уравнении:

$\left[ \begin{array}{l} y=x, \\ y=-x. \end{array} \right.$

Графиком уравнения $y=x$ является прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Графиком уравнения $y=-x$ является прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой второго и четвертого координатных углов.

Следовательно, график исходного уравнения представляет собой объединение этих двух прямых.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся в начале координат прямых $y=x$ и $y=-x$.

б) $x^2 = 4y^2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$x^2 - 4y^2 = 0$

Применим формулу разности квадратов, представив $4y^2$ как $(2y)^2$:

$x^2 - (2y)^2 = (x - 2y)(x + 2y) = 0$

Уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

$\left[ \begin{array}{l} x-2y=0, \\ x+2y=0. \end{array} \right.$

Выразим $y$ в каждом уравнении:

$\left[ \begin{array}{l} 2y=x, \\ 2y=-x. \end{array} \right. \implies \left[ \begin{array}{l} y=\frac{1}{2}x, \\ y=-\frac{1}{2}x. \end{array} \right.$

Каждое из этих уравнений задает прямую, проходящую через начало координат. Для построения каждой прямой достаточно одной точки, кроме начала координат.

Для прямой $y=\frac{1}{2}x$: если $x=2$, то $y=1$.

Для прямой $y=-\frac{1}{2}x$: если $x=2$, то $y=-1$.

График исходного уравнения — это объединение двух прямых $y=\frac{1}{2}x$ и $y=-\frac{1}{2}x$.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся в начале координат прямых $y=\frac{1}{2}x$ и $y=-\frac{1}{2}x$.

в) $y^2 = 9x^2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$y^2 - 9x^2 = 0$

Используем формулу разности квадратов, где $9x^2 = (3x)^2$:

$y^2 - (3x)^2 = (y - 3x)(y + 3x) = 0$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$\left[ \begin{array}{l} y-3x=0, \\ y+3x=0. \end{array} \right.$

Выразим $y$ в каждом уравнении:

$\left[ \begin{array}{l} y=3x, \\ y=-3x. \end{array} \right.$

Графиком каждого из этих уравнений является прямая, проходящая через начало координат.

Для прямой $y=3x$: если $x=1$, то $y=3$.

Для прямой $y=-3x$: если $x=1$, то $y=-3$.

Искомый график — это объединение двух прямых $y=3x$ и $y=-3x$.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся в начале координат прямых $y=3x$ и $y=-3x$.

г) $16x^2 - 25y^2 = 0$

Уравнение уже представлено в виде разности. Применим формулу разности квадратов, заметив, что $16x^2 = (4x)^2$ и $25y^2 = (5y)^2$:

$(4x)^2 - (5y)^2 = (4x - 5y)(4x + 5y) = 0$

Уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

$\left[ \begin{array}{l} 4x-5y=0, \\ 4x+5y=0. \end{array} \right.$

Выразим $y$ в каждом уравнении:

$\left[ \begin{array}{l} 5y=4x, \\ 5y=-4x. \end{array} \right. \implies \left[ \begin{array}{l} y=\frac{4}{5}x, \\ y=-\frac{4}{5}x. \end{array} \right.$

Каждое из этих уравнений является уравнением прямой, проходящей через начало координат.

Для прямой $y=\frac{4}{5}x$: если $x=5$, то $y=4$.

Для прямой $y=-\frac{4}{5}x$: если $x=5$, то $y=-4$.

График исходного уравнения состоит из двух прямых $y=\frac{4}{5}x$ и $y=-\frac{4}{5}x$.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся в начале координат прямых $y=\frac{4}{5}x$ и $y=-\frac{4}{5}x$.

39.38 a) $(x+1)^2 - y^2 = 0;$

Б) $(x-3)^2 - (y+2)^2 = 0;$

В) $x^2 - (y-2)^2 = 0;$

Г) $(x+4)^2 - (y-1)^2 = 0.$

а) Для решения уравнения $(x+1)^2 - y^2 = 0$ воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В данном случае, пусть $a = x+1$ и $b = y$. Разложим левую часть уравнения на множители:

$((x+1) - y)((x+1) + y) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

$x+1-y = 0$ или $x+1+y = 0$

Из первого уравнения находим $y = x+1$.

Из второго уравнения находим $y = -x-1$.

Таким образом, решением является пара прямых.

Ответ: $y = x+1$; $y = -x-1$.

б) Для решения уравнения $(x-3)^2 - (y+2)^2 = 0$ используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Здесь $a = x-3$ и $b = y+2$. Подставляем в формулу:

$((x-3) - (y+2))((x-3) + (y+2)) = 0$

Упростим выражения в скобках:

$(x-3-y-2)(x-3+y+2) = 0$

$(x-y-5)(x+y-1) = 0$

Это уравнение распадается на два:

$x-y-5 = 0$, откуда $y = x-5$.

$x+y-1 = 0$, откуда $y = -x+1$.

Ответ: $y = x-5$; $y = -x+1$.

в) Для решения уравнения $x^2 - (y-2)^2 = 0$ снова применяем формулу разности квадратов.

В этом случае $a = x$ и $b = y-2$. Получаем:

$(x - (y-2))(x + (y-2)) = 0$

Раскрываем внутренние скобки:

$(x-y+2)(x+y-2) = 0$

Получаем два линейных уравнения:

$x-y+2 = 0$, откуда $y = x+2$.

$x+y-2 = 0$, откуда $y = -x+2$.

Ответ: $y = x+2$; $y = -x+2$.

г) Для решения уравнения $(x+4)^2 - (y-1)^2 = 0$ воспользуемся формулой разности квадратов.

Пусть $a = x+4$ и $b = y-1$. Тогда:

$((x+4) - (y-1))((x+4) + (y-1)) = 0$

Упрощаем выражения в скобках:

$(x+4-y+1)(x+4+y-1) = 0$

$(x-y+5)(x+y+3) = 0$

Данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

$x-y+5 = 0$, откуда $y = x+5$.

$x+y+3 = 0$, откуда $y = -x-3$.

Ответ: $y = x+5$; $y = -x-3$.

Разложите многочлен на множители:

39.39 а) $\frac{1}{8}a^3 - \frac{8}{27}b^3;$

б) $\frac{64}{343}c^3 + \frac{729}{1000}d^3;$

в) $\frac{125}{512}x^3 - \frac{216}{343}y^3;$

г) $\frac{1}{729}m^3 + \frac{125}{216}n^3.$

а) Чтобы разложить многочлен $\frac{1}{8}a^3 - \frac{8}{27}b^3$ на множители, применим формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Сначала представим каждый член многочлена в виде куба:

$\frac{1}{8}a^3 = (\frac{1}{2})^3 a^3 = (\frac{1}{2}a)^3$

$\frac{8}{27}b^3 = (\frac{2}{3})^3 b^3 = (\frac{2}{3}b)^3$

Таким образом, исходное выражение можно записать в виде: $(\frac{1}{2}a)^3 - (\frac{2}{3}b)^3$.

В данном случае $x = \frac{1}{2}a$ и $y = \frac{2}{3}b$.

Подставим эти значения в формулу разности кубов:

$(\frac{1}{2}a - \frac{2}{3}b)((\frac{1}{2}a)^2 + (\frac{1}{2}a)(\frac{2}{3}b) + (\frac{2}{3}b)^2)$

Теперь упростим выражение во второй скобке, выполнив возведение в квадрат и умножение:

$(\frac{1}{2}a - \frac{2}{3}b)(\frac{1}{4}a^2 + \frac{2}{6}ab + \frac{4}{9}b^2)$

Сократим дробь $\frac{2}{6}$ до $\frac{1}{3}$ и получим окончательное разложение:

$(\frac{1}{2}a - \frac{2}{3}b)(\frac{1}{4}a^2 + \frac{1}{3}ab + \frac{4}{9}b^2)$

Ответ: $(\frac{1}{2}a - \frac{2}{3}b)(\frac{1}{4}a^2 + \frac{1}{3}ab + \frac{4}{9}b^2)$.

б) Для разложения многочлена $\frac{64}{343}c^3 + \frac{729}{1000}d^3$ на множители, воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Представим каждый член многочлена в виде куба:

$\frac{64}{343}c^3 = (\frac{4}{7})^3 c^3 = (\frac{4}{7}c)^3$, так как $4^3 = 64$ и $7^3 = 343$.

$\frac{729}{1000}d^3 = (\frac{9}{10})^3 d^3 = (\frac{9}{10}d)^3$, так как $9^3 = 729$ и $10^3 = 1000$.

Выражение принимает вид: $(\frac{4}{7}c)^3 + (\frac{9}{10}d)^3$.

Здесь $x = \frac{4}{7}c$ и $y = \frac{9}{10}d$.

Подставим эти значения в формулу суммы кубов:

$(\frac{4}{7}c + \frac{9}{10}d)((\frac{4}{7}c)^2 - (\frac{4}{7}c)(\frac{9}{10}d) + (\frac{9}{10}d)^2)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(\frac{4}{7}c + \frac{9}{10}d)(\frac{16}{49}c^2 - \frac{36}{70}cd + \frac{81}{100}d^2)$

Сократим дробь $\frac{36}{70}$ на 2, получим $\frac{18}{35}$.

Итоговое разложение:

$(\frac{4}{7}c + \frac{9}{10}d)(\frac{16}{49}c^2 - \frac{18}{35}cd + \frac{81}{100}d^2)$

Ответ: $(\frac{4}{7}c + \frac{9}{10}d)(\frac{16}{49}c^2 - \frac{18}{35}cd + \frac{81}{100}d^2)$.

в) Для разложения многочлена $\frac{125}{512}x^3 - \frac{216}{343}y^3$ на множители, снова применим формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Представим каждый член многочлена в виде куба:

$\frac{125}{512}x^3 = (\frac{5}{8})^3 x^3 = (\frac{5}{8}x)^3$, так как $5^3=125$ и $8^3=512$.

$\frac{216}{343}y^3 = (\frac{6}{7})^3 y^3 = (\frac{6}{7}y)^3$, так как $6^3=216$ и $7^3=343$.

Выражение принимает вид: $(\frac{5}{8}x)^3 - (\frac{6}{7}y)^3$.

Здесь $a = \frac{5}{8}x$ и $b = \frac{6}{7}y$.

Подставим эти значения в формулу разности кубов:

$(\frac{5}{8}x - \frac{6}{7}y)((\frac{5}{8}x)^2 + (\frac{5}{8}x)(\frac{6}{7}y) + (\frac{6}{7}y)^2)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(\frac{5}{8}x - \frac{6}{7}y)(\frac{25}{64}x^2 + \frac{30}{56}xy + \frac{36}{49}y^2)$

Сократим дробь $\frac{30}{56}$ на 2, получим $\frac{15}{28}$.

Итоговое разложение:

$(\frac{5}{8}x - \frac{6}{7}y)(\frac{25}{64}x^2 + \frac{15}{28}xy + \frac{36}{49}y^2)$

Ответ: $(\frac{5}{8}x - \frac{6}{7}y)(\frac{25}{64}x^2 + \frac{15}{28}xy + \frac{36}{49}y^2)$.

г) Для разложения многочлена $\frac{1}{729}m^3 + \frac{125}{216}n^3$ на множители, снова применим формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Представим каждый член многочлена в виде куба:

$\frac{1}{729}m^3 = (\frac{1}{9})^3 m^3 = (\frac{1}{9}m)^3$, так как $9^3 = 729$.

$\frac{125}{216}n^3 = (\frac{5}{6})^3 n^3 = (\frac{5}{6}n)^3$, так как $5^3=125$ и $6^3=216$.

Выражение принимает вид: $(\frac{1}{9}m)^3 + (\frac{5}{6}n)^3$.

Здесь $a = \frac{1}{9}m$ и $b = \frac{5}{6}n$.

Подставим эти значения в формулу суммы кубов:

$(\frac{1}{9}m + \frac{5}{6}n)((\frac{1}{9}m)^2 - (\frac{1}{9}m)(\frac{5}{6}n) + (\frac{5}{6}n)^2)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(\frac{1}{9}m + \frac{5}{6}n)(\frac{1}{81}m^2 - \frac{5}{54}mn + \frac{25}{36}n^2)$

Дробь $\frac{5}{54}$ является несократимой. Таким образом, это и есть окончательный вид.

Ответ: $(\frac{1}{9}m + \frac{5}{6}n)(\frac{1}{81}m^2 - \frac{5}{54}mn + \frac{25}{36}n^2)$.

39.40 a) $a^6 - 8;$

б) $-x^6 + \frac{1}{8};$

в) $27 + b^9;$

г) $-\frac{1}{64} - y^6.$

а) Чтобы разложить на множители выражение $a^6 - 8$, представим его в виде разности кубов.
Заметим, что $a^6 = (a^2)^3$ и $8 = 2^3$. Таким образом, выражение принимает вид:
$a^6 - 8 = (a^2)^3 - 2^3$
Теперь применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x = a^2$ и $y = 2$.
$(a^2 - 2)((a^2)^2 + a^2 \cdot 2 + 2^2) = (a^2 - 2)(a^4 + 2a^2 + 4)$
Ответ: $(a^2 - 2)(a^4 + 2a^2 + 4)$.

б) Для разложения на множители выражения $-x^6 + \frac{1}{8}$ сначала переставим слагаемые для удобства:
$\frac{1}{8} - x^6$
Представим это выражение как разность кубов. Заметим, что $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$ и $x^6 = (x^2)^3$.
Получаем: $(\frac{1}{2})^3 - (x^2)^3$.
Применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x = \frac{1}{2}$ и $y = x^2$.
$(\frac{1}{2} - x^2)((\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} \cdot x^2 + (x^2)^2) = (\frac{1}{2} - x^2)(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}x^2 + x^4)$
Ответ: $(\frac{1}{2} - x^2)(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}x^2 + x^4)$.

в) Чтобы разложить на множители выражение $27 + b^9$, представим его в виде суммы кубов.
Заметим, что $27 = 3^3$ и $b^9 = (b^3)^3$. Таким образом, выражение принимает вид:
$3^3 + (b^3)^3$
Теперь применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x = 3$ и $y = b^3$.
$(3 + b^3)(3^2 - 3 \cdot b^3 + (b^3)^2) = (3 + b^3)(9 - 3b^3 + b^6)$
Ответ: $(3 + b^3)(9 - 3b^3 + b^6)$.

г) Для разложения на множители выражения $-\frac{1}{64} - y^6$ вынесем за скобки знак минус:
$-(\frac{1}{64} + y^6)$
Теперь разложим на множители выражение в скобках, представив его как сумму кубов. Заметим, что $\frac{1}{64} = (\frac{1}{4})^3$ и $y^6 = (y^2)^3$.
Выражение в скобках: $(\frac{1}{4})^3 + (y^2)^3$.
Применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x = \frac{1}{4}$ и $y = y^2$.
$(\frac{1}{4} + y^2)((\frac{1}{4})^2 - \frac{1}{4} \cdot y^2 + (y^2)^2) = (\frac{1}{4} + y^2)(\frac{1}{16} - \frac{1}{4}y^2 + y^4)$
Не забываем про знак минус, который мы вынесли вначале.
Ответ: $-(\frac{1}{4} + y^2)(\frac{1}{16} - \frac{1}{4}y^2 + y^4)$.

39.41 а) $x^3y^3 - c^3;$

б) $m^6n^3 + p^{12};$

В) $a^3 + m^3n^9;$

Г) $q^3 - c^{15}d^{18}.$

а) Чтобы разложить на множители выражение $x^3y^3 - c^3$, необходимо применить формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.

В данном выражении $A^3 = x^3y^3 = (xy)^3$, следовательно, $A = xy$. Второй член $B^3 = c^3$, следовательно, $B = c$.

Подставим $A$ и $B$ в формулу:

$x^3y^3 - c^3 = (xy - c)((xy)^2 + (xy)c + c^2) = (xy - c)(x^2y^2 + xyc + c^2)$.

Ответ: $(xy - c)(x^2y^2 + xyc + c^2)$.

б) Выражение $m^6n^3 + p^{12}$ представляет собой сумму кубов. Для его разложения на множители используем формулу суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.

Представим каждое слагаемое в виде куба. Первое слагаемое: $A^3 = m^6n^3 = (m^2)^3n^3 = (m^2n)^3$, отсюда $A = m^2n$. Второе слагаемое: $B^3 = p^{12} = (p^4)^3$, отсюда $B = p^4$.

Подставим $A$ и $B$ в формулу:

$m^6n^3 + p^{12} = (m^2n + p^4)((m^2n)^2 - (m^2n)p^4 + (p^4)^2) = (m^2n + p^4)(m^4n^2 - m^2np^4 + p^8)$.

Ответ: $(m^2n + p^4)(m^4n^2 - m^2np^4 + p^8)$.

в) Выражение $a^3 + m^3n^9$ является суммой кубов. Применим формулу суммы кубов для разложения на множители: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.

Представим каждое слагаемое в виде куба. Первое слагаемое: $A^3 = a^3$, значит $A = a$. Второе слагаемое: $B^3 = m^3n^9 = m^3(n^3)^3 = (mn^3)^3$, значит $B = mn^3$.

Подставим $A$ и $B$ в формулу:

$a^3 + m^3n^9 = (a + mn^3)(a^2 - a(mn^3) + (mn^3)^2) = (a + mn^3)(a^2 - amn^3 + m^2n^6)$.

Ответ: $(a + mn^3)(a^2 - amn^3 + m^2n^6)$.

г) Выражение $q^3 - c^{15}d^{18}$ является разностью кубов. Для разложения на множители используем формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба. Первый член: $A^3 = q^3$, следовательно, $A = q$. Второй член: $B^3 = c^{15}d^{18} = (c^5)^3(d^6)^3 = (c^5d^6)^3$, следовательно, $B = c^5d^6$.

Подставим $A$ и $B$ в формулу:

$q^3 - c^{15}d^{18} = (q - c^5d^6)(q^2 + q(c^5d^6) + (c^5d^6)^2) = (q - c^5d^6)(q^2 + qc^5d^6 + c^{10}d^{12})$.

Ответ: $(q - c^5d^6)(q^2 + qc^5d^6 + c^{10}d^{12})$.

39.42 a) $ \frac{1}{8}a^6 - b^9; $

б) $ \frac{8}{27}a^3 + \frac{1}{64}x^9; $

В) $ \frac{1}{125}x^3 + y^6; $

Г) $ \frac{64}{729}m^3 - \frac{343}{1000}n^6. $

а) Чтобы разложить на множители выражение $\frac{1}{8}a^6 - b^9$, представим его в виде разности кубов.
Первый член: $\frac{1}{8}a^6 = \frac{1}{2^3}(a^2)^3 = (\frac{1}{2}a^2)^3$.
Второй член: $b^9 = (b^3)^3$.
Таким образом, выражение принимает вид: $(\frac{1}{2}a^2)^3 - (b^3)^3$.
Применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x = \frac{1}{2}a^2$ и $y = b^3$.
$(\frac{1}{2}a^2 - b^3)((\frac{1}{2}a^2)^2 + (\frac{1}{2}a^2)(b^3) + (b^3)^2)$
Упростим выражение во второй скобке:
$(\frac{1}{2}a^2 - b^3)(\frac{1}{4}a^4 + \frac{1}{2}a^2b^3 + b^6)$
Ответ: $(\frac{1}{2}a^2 - b^3)(\frac{1}{4}a^4 + \frac{1}{2}a^2b^3 + b^6)$.

б) Чтобы разложить на множители выражение $\frac{8}{27}a^3 + \frac{1}{64}x^9$, представим его в виде суммы кубов.
Первый член: $\frac{8}{27}a^3 = \frac{2^3}{3^3}a^3 = (\frac{2}{3}a)^3$.
Второй член: $\frac{1}{64}x^9 = \frac{1}{4^3}(x^3)^3 = (\frac{1}{4}x^3)^3$.
Таким образом, выражение принимает вид: $(\frac{2}{3}a)^3 + (\frac{1}{4}x^3)^3$.
Применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x = \frac{2}{3}a$ и $y = \frac{1}{4}x^3$.
$(\frac{2}{3}a + \frac{1}{4}x^3)((\frac{2}{3}a)^2 - (\frac{2}{3}a)(\frac{1}{4}x^3) + (\frac{1}{4}x^3)^2)$
Упростим выражение во второй скобке:
$(\frac{2}{3}a + \frac{1}{4}x^3)(\frac{4}{9}a^2 - \frac{2}{12}ax^3 + \frac{1}{16}x^6)$
Сократим дробь $\frac{2}{12}$ до $\frac{1}{6}$:
$(\frac{2}{3}a + \frac{1}{4}x^3)(\frac{4}{9}a^2 - \frac{1}{6}ax^3 + \frac{1}{16}x^6)$
Ответ: $(\frac{2}{3}a + \frac{1}{4}x^3)(\frac{4}{9}a^2 - \frac{1}{6}ax^3 + \frac{1}{16}x^6)$.

в) Чтобы разложить на множители выражение $\frac{1}{125}x^3 + y^6$, представим его в виде суммы кубов.
Первый член: $\frac{1}{125}x^3 = \frac{1}{5^3}x^3 = (\frac{1}{5}x)^3$.
Второй член: $y^6 = (y^2)^3$.
Таким образом, выражение принимает вид: $(\frac{1}{5}x)^3 + (y^2)^3$.
Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = \frac{1}{5}x$ и $b = y^2$.
$(\frac{1}{5}x + y^2)((\frac{1}{5}x)^2 - (\frac{1}{5}x)(y^2) + (y^2)^2)$
Упростим выражение во второй скобке:
$(\frac{1}{5}x + y^2)(\frac{1}{25}x^2 - \frac{1}{5}xy^2 + y^4)$
Ответ: $(\frac{1}{5}x + y^2)(\frac{1}{25}x^2 - \frac{1}{5}xy^2 + y^4)$.

г) Чтобы разложить на множители выражение $\frac{64}{729}m^3 - \frac{343}{1000}n^6$, представим его в виде разности кубов.
Первый член: $\frac{64}{729}m^3 = \frac{4^3}{9^3}m^3 = (\frac{4}{9}m)^3$.
Второй член: $\frac{343}{1000}n^6 = \frac{7^3}{10^3}(n^2)^3 = (\frac{7}{10}n^2)^3$.
Таким образом, выражение принимает вид: $(\frac{4}{9}m)^3 - (\frac{7}{10}n^2)^3$.
Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = \frac{4}{9}m$ и $b = \frac{7}{10}n^2$.
$(\frac{4}{9}m - \frac{7}{10}n^2)((\frac{4}{9}m)^2 + (\frac{4}{9}m)(\frac{7}{10}n^2) + (\frac{7}{10}n^2)^2)$
Упростим выражение во второй скобке:
$(\frac{4}{9}m - \frac{7}{10}n^2)(\frac{16}{81}m^2 + \frac{28}{90}mn^2 + \frac{49}{100}n^4)$
Сократим дробь $\frac{28}{90}$ до $\frac{14}{45}$:
$(\frac{4}{9}m - \frac{7}{10}n^2)(\frac{16}{81}m^2 + \frac{14}{45}mn^2 + \frac{49}{100}n^4)$
Ответ: $(\frac{4}{9}m - \frac{7}{10}n^2)(\frac{16}{81}m^2 + \frac{14}{45}mn^2 + \frac{49}{100}n^4)$.

39.43 а) $(2c + 1)^3 - 64$;

Б) $p^3 + (3p - 4)^3$;

В) $8 - (3 - k)^3$;

Г) $(5a + 4)^3 - a^3$.

а) Чтобы разложить на множители выражение $(2c + 1)^3 - 64$, воспользуемся формулой разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
Представим $64$ как $4^3$. Тогда выражение примет вид $(2c + 1)^3 - 4^3$.
В данном случае $x = 2c + 1$, а $y = 4$.
Подставим эти значения в формулу:
$((2c + 1) - 4)((2c + 1)^2 + (2c + 1) \cdot 4 + 4^2)$
Упростим каждый множитель.
Первый множитель: $2c + 1 - 4 = 2c - 3$.
Второй множитель: $(2c + 1)^2 + 4(2c + 1) + 16 = (4c^2 + 4c + 1) + (8c + 4) + 16 = 4c^2 + 4c + 8c + 1 + 4 + 16 = 4c^2 + 12c + 21$.
Таким образом, исходное выражение равно:
$(2c - 3)(4c^2 + 12c + 21)$.
Ответ: $(2c - 3)(4c^2 + 12c + 21)$

б) Для разложения выражения $p^3 + (3p - 4)^3$ применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
Здесь $x = p$, а $y = 3p - 4$.
Подставляем в формулу:
$(p + (3p - 4))(p^2 - p(3p - 4) + (3p - 4)^2)$
Упрощаем каждый множитель.
Первый множитель: $p + 3p - 4 = 4p - 4 = 4(p - 1)$.
Второй множитель: $p^2 - (3p^2 - 4p) + (9p^2 - 24p + 16) = p^2 - 3p^2 + 4p + 9p^2 - 24p + 16 = (1 - 3 + 9)p^2 + (4 - 24)p + 16 = 7p^2 - 20p + 16$.
Собираем выражение:
$4(p - 1)(7p^2 - 20p + 16)$.
Ответ: $4(p - 1)(7p^2 - 20p + 16)$

в) Чтобы разложить на множители выражение $8 - (3 - k)^3$, используем формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
Представим $8$ как $2^3$. Выражение примет вид $2^3 - (3 - k)^3$.
Здесь $x = 2$, а $y = 3 - k$.
Подставляем в формулу:
$(2 - (3 - k))(2^2 + 2(3 - k) + (3 - k)^2)$
Упрощаем каждый множитель.
Первый множитель: $2 - 3 + k = k - 1$.
Второй множитель: $4 + 2(3 - k) + (9 - 6k + k^2) = 4 + 6 - 2k + 9 - 6k + k^2 = k^2 - 8k + 19$.
Итоговое выражение:
$(k - 1)(k^2 - 8k + 19)$.
Ответ: $(k - 1)(k^2 - 8k + 19)$

г) Для разложения выражения $(5a + 4)^3 - a^3$ используем формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
В данном случае $x = 5a + 4$, а $y = a$.
Подставляем в формулу:
$((5a + 4) - a)((5a + 4)^2 + (5a + 4)a + a^2)$
Упрощаем каждый множитель.
Первый множитель: $5a + 4 - a = 4a + 4 = 4(a + 1)$.
Второй множитель: $(25a^2 + 40a + 16) + (5a^2 + 4a) + a^2 = (25 + 5 + 1)a^2 + (40 + 4)a + 16 = 31a^2 + 44a + 16$.
Собираем выражение:
$4(a + 1)(31a^2 + 44a + 16)$.
Ответ: $4(a + 1)(31a^2 + 44a + 16)$

39.44 а) $(6b+8)^3 - 125b^3;$

Б) $1000p^3 + (3q-2p)^3;$

В) $8x^3 - (5x-3)^3;$

Г) $(3x+2y)^3 + 729y^3.$

а)

Для разложения на множители выражения $(6b + 8)^3 - 125b^3$ воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

В нашем случае $a = 6b + 8$ и $b = \sqrt[3]{125b^3} = 5b$.

Подставим эти значения в формулу.

Первый множитель (разность $a-b$):

$(6b + 8) - 5b = b + 8$

Второй множитель (неполный квадрат суммы $a^2+ab+b^2$):

$(6b+8)^2 + (6b+8)(5b) + (5b)^2$

Вычислим каждый член этого выражения:

$a^2 = (6b+8)^2 = (6b)^2 + 2 \cdot 6b \cdot 8 + 8^2 = 36b^2 + 96b + 64$

$ab = (6b+8)(5b) = 30b^2 + 40b$

$b^2 = (5b)^2 = 25b^2$

Теперь сложим их:

$(36b^2 + 96b + 64) + (30b^2 + 40b) + 25b^2 = (36+30+25)b^2 + (96+40)b + 64 = 91b^2 + 136b + 64$

Собираем все вместе:

$(6b + 8)^3 - 125b^3 = (b+8)(91b^2 + 136b + 64)$

Ответ: $(b+8)(91b^2 + 136b + 64)$

б)

Для разложения на множители выражения $1000p^3 + (3q - 2p)^3$ воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

В нашем случае $a = \sqrt[3]{1000p^3} = 10p$ и $b = 3q - 2p$.

Подставим эти значения в формулу.

Первый множитель (сумма $a+b$):

$10p + (3q - 2p) = 8p + 3q$

Второй множитель (неполный квадрат разности $a^2-ab+b^2$):

$(10p)^2 - (10p)(3q - 2p) + (3q - 2p)^2$

Вычислим каждый член этого выражения:

$a^2 = (10p)^2 = 100p^2$

$-ab = -(10p)(3q - 2p) = -(30pq - 20p^2) = -30pq + 20p^2$

$b^2 = (3q - 2p)^2 = (3q)^2 - 2 \cdot 3q \cdot 2p + (2p)^2 = 9q^2 - 12pq + 4p^2$

Теперь сложим их:

$100p^2 - 30pq + 20p^2 + 9q^2 - 12pq + 4p^2 = (100+20+4)p^2 + (-30-12)pq + 9q^2 = 124p^2 - 42pq + 9q^2$

Собираем все вместе:

$1000p^3 + (3q - 2p)^3 = (8p + 3q)(124p^2 - 42pq + 9q^2)$

Ответ: $(8p + 3q)(124p^2 - 42pq + 9q^2)$

в)

Для разложения на множители выражения $8x^3 - (5x - 3)^3$ воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

В нашем случае $a = \sqrt[3]{8x^3} = 2x$ и $b = 5x - 3$.

Подставим эти значения в формулу.

Первый множитель (разность $a-b$):

$2x - (5x - 3) = 2x - 5x + 3 = 3 - 3x$

Второй множитель (неполный квадрат суммы $a^2+ab+b^2$):

$(2x)^2 + (2x)(5x-3) + (5x-3)^2$

Вычислим каждый член этого выражения:

$a^2 = (2x)^2 = 4x^2$

$ab = (2x)(5x-3) = 10x^2 - 6x$

$b^2 = (5x-3)^2 = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 3 + 3^2 = 25x^2 - 30x + 9$

Теперь сложим их:

$4x^2 + (10x^2 - 6x) + (25x^2 - 30x + 9) = (4+10+25)x^2 + (-6-30)x + 9 = 39x^2 - 36x + 9$

Таким образом, исходное выражение равно $(3 - 3x)(39x^2 - 36x + 9)$.

Для упрощения вынесем общий множитель из каждой скобки: $3(1-x)$ и $3(13x^2-12x+3)$. Перемножив их, получим:

$3(1-x) \cdot 3(13x^2-12x+3) = 9(1-x)(13x^2-12x+3)$

Ответ: $9(1-x)(13x^2-12x+3)$

г)

Для разложения на множители выражения $(3x + 2y)^3 + 729y^3$ воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

В нашем случае $a = 3x + 2y$ и $b = \sqrt[3]{729y^3} = 9y$.

Подставим эти значения в формулу.

Первый множитель (сумма $a+b$):

$(3x + 2y) + 9y = 3x + 11y$

Второй множитель (неполный квадрат разности $a^2-ab+b^2$):

$(3x+2y)^2 - (3x+2y)(9y) + (9y)^2$

Вычислим каждый член этого выражения:

$a^2 = (3x+2y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2 = 9x^2 + 12xy + 4y^2$

$-ab = -(3x+2y)(9y) = -(27xy + 18y^2) = -27xy - 18y^2$

$b^2 = (9y)^2 = 81y^2$

Теперь сложим их:

$(9x^2 + 12xy + 4y^2) - 27xy - 18y^2 + 81y^2 = 9x^2 + (12-27)xy + (4-18+81)y^2 = 9x^2 - 15xy + 67y^2$

Собираем все вместе:

$(3x + 2y)^3 + 729y^3 = (3x + 11y)(9x^2 - 15xy + 67y^2)$

Ответ: $(3x + 11y)(9x^2 - 15xy + 67y^2)$

39.45 a) $\frac{9}{16}a^2 - 2ab + \frac{16}{9}b^2;$

б) $\frac{9}{25}a^6b^2 + a^4b^4 + \frac{25}{36}a^2b^6;$

В) $b^8 + a^2b^4 + \frac{1}{4}a^4;$

Г) $0,01x^4 + y^2 - 0,2x^2y.$

а)

Данное выражение $ \frac{9}{16}a^2 - 2ab + \frac{16}{9}b^2 $ является трехчленом. Попробуем представить его в виде квадрата разности, используя формулу $ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $.

Представим первый и третий члены выражения в виде квадратов:

$ x^2 = \frac{9}{16}a^2 = (\frac{3}{4}a)^2 $, следовательно, $ x = \frac{3}{4}a $.

$ y^2 = \frac{16}{9}b^2 = (\frac{4}{3}b)^2 $, следовательно, $ y = \frac{4}{3}b $.

Теперь проверим, равен ли средний член выражения удвоенному произведению $ x $ и $ y $:

$ 2xy = 2 \cdot \frac{3}{4}a \cdot \frac{4}{3}b = 2 \cdot \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 3}ab = 2ab $.

Средний член выражения равен $ -2ab $, что соответствует формуле квадрата разности.

Таким образом, $ \frac{9}{16}a^2 - 2ab + \frac{16}{9}b^2 = (\frac{3}{4}a)^2 - 2 \cdot (\frac{3}{4}a) \cdot (\frac{4}{3}b) + (\frac{4}{3}b)^2 = (\frac{3}{4}a - \frac{4}{3}b)^2 $.

Ответ: $ (\frac{3}{4}a - \frac{4}{3}b)^2 $

б)

Рассмотрим выражение $ \frac{9}{25}a^6b^2 + a^4b^4 + \frac{25}{36}a^2b^6 $. Попробуем представить его в виде квадрата суммы по формуле $ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $.

Представим первый и третий члены выражения в виде квадратов:

$ x^2 = \frac{9}{25}a^6b^2 = (\frac{3}{5}a^3b)^2 $, следовательно, $ x = \frac{3}{5}a^3b $.

$ y^2 = \frac{25}{36}a^2b^6 = (\frac{5}{6}ab^3)^2 $, следовательно, $ y = \frac{5}{6}ab^3 $.

Проверим, равен ли средний член $ a^4b^4 $ удвоенному произведению $ x $ и $ y $:

$ 2xy = 2 \cdot (\frac{3}{5}a^3b) \cdot (\frac{5}{6}ab^3) = 2 \cdot \frac{15}{30} a^{3+1}b^{1+3} = 2 \cdot \frac{1}{2} a^4b^4 = a^4b^4 $.

Средний член совпадает с удвоенным произведением. Так как все члены положительны, используем формулу квадрата суммы.

Следовательно, $ \frac{9}{25}a^6b^2 + a^4b^4 + \frac{25}{36}a^2b^6 = (\frac{3}{5}a^3b + \frac{5}{6}ab^3)^2 $.

Ответ: $ (\frac{3}{5}a^3b + \frac{5}{6}ab^3)^2 $

в)

Рассмотрим выражение $ b^8 + a^2b^4 + \frac{1}{4}a^4 $. Это трехчлен, который можно попробовать свернуть по формуле квадрата суммы $ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $.

Представим первый и третий члены выражения в виде квадратов:

$ x^2 = b^8 = (b^4)^2 $, следовательно, $ x = b^4 $.

$ y^2 = \frac{1}{4}a^4 = (\frac{1}{2}a^2)^2 $, следовательно, $ y = \frac{1}{2}a^2 $.

Проверим средний член. Он должен быть равен удвоенному произведению $ x $ и $ y $:

$ 2xy = 2 \cdot b^4 \cdot (\frac{1}{2}a^2) = a^2b^4 $.

Средний член выражения $ a^2b^4 $ совпадает с вычисленным значением. Используем формулу квадрата суммы.

Таким образом, $ b^8 + a^2b^4 + \frac{1}{4}a^4 = (b^4)^2 + 2(b^4)(\frac{1}{2}a^2) + (\frac{1}{2}a^2)^2 = (b^4 + \frac{1}{2}a^2)^2 $.

Ответ: $ (b^4 + \frac{1}{2}a^2)^2 $

г)

Рассмотрим выражение $ 0,01x^4 + y^2 - 0,2x^2y $. Переставим члены для удобства, чтобы оно соответствовало виду формулы квадрата разности $ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $:

$ 0,01x^4 - 0,2x^2y + y^2 $.

Представим первый и третий члены в виде квадратов:

$ x_{new}^2 = 0,01x^4 = (0,1x^2)^2 $, следовательно, $ x_{new} = 0,1x^2 $.

$ y_{new}^2 = y^2 $, следовательно, $ y_{new} = y $.

Проверим, равен ли по модулю средний член выражения удвоенному произведению $ x_{new} $ и $ y_{new} $:

$ 2x_{new}y_{new} = 2 \cdot (0,1x^2) \cdot y = 0,2x^2y $.

Средний член выражения $ -0,2x^2y $ соответствует $ -2x_{new}y_{new} $. Следовательно, мы можем применить формулу квадрата разности.

Таким образом, $ 0,01x^4 - 0,2x^2y + y^2 = (0,1x^2)^2 - 2(0,1x^2)(y) + y^2 = (0,1x^2 - y)^2 $.

Ответ: $ (0,1x^2 - y)^2 $

39.46 Докажите, что:

а) $51^3 - 26^3$ делится на 25;

б) $43^3 + 17^3$ делится на 60;

в) $54^3 - 14^3$ делится на 40;

г) $38^3 + 37^3$ делится на 75.

а) Для доказательства воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Применим эту формулу к выражению $51^3 - 26^3$, где $a = 51$ и $b = 26$:
$51^3 - 26^3 = (51 - 26)(51^2 + 51 \cdot 26 + 26^2)$.
Вычислим значение первого множителя:
$51 - 26 = 25$.
Следовательно, исходное выражение можно представить в виде произведения:
$25 \cdot (51^2 + 51 \cdot 26 + 26^2)$.
Так как один из множителей равен 25, а второй множитель $(51^2 + 51 \cdot 26 + 26^2)$ является целым числом (как сумма произведений целых чисел), то все произведение делится на 25 без остатка.
Ответ: Доказано, что $51^3 - 26^3$ делится на 25.

б) Для доказательства воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Применим эту формулу к выражению $43^3 + 17^3$, где $a = 43$ и $b = 17$:
$43^3 + 17^3 = (43 + 17)(43^2 - 43 \cdot 17 + 17^2)$.
Вычислим значение первого множителя:
$43 + 17 = 60$.
Следовательно, исходное выражение можно представить в виде произведения:
$60 \cdot (43^2 - 43 \cdot 17 + 17^2)$.
Так как один из множителей равен 60, а второй множитель является целым числом, то все произведение делится на 60 без остатка.
Ответ: Доказано, что $43^3 + 17^3$ делится на 60.

в) Для доказательства воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Применим эту формулу к выражению $54^3 - 14^3$, где $a = 54$ и $b = 14$:
$54^3 - 14^3 = (54 - 14)(54^2 + 54 \cdot 14 + 14^2)$.
Вычислим значение первого множителя:
$54 - 14 = 40$.
Следовательно, исходное выражение можно представить в виде произведения:
$40 \cdot (54^2 + 54 \cdot 14 + 14^2)$.
Так как один из множителей равен 40, а второй множитель является целым числом, то все произведение делится на 40 без остатка.
Ответ: Доказано, что $54^3 - 14^3$ делится на 40.

г) Для доказательства воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Применим эту формулу к выражению $38^3 + 37^3$, где $a = 38$ и $b = 37$:
$38^3 + 37^3 = (38 + 37)(38^2 - 38 \cdot 37 + 37^2)$.
Вычислим значение первого множителя:
$38 + 37 = 75$.
Следовательно, исходное выражение можно представить в виде произведения:
$75 \cdot (38^2 - 38 \cdot 37 + 37^2)$.
Так как один из множителей равен 75, а второй множитель является целым числом, то все произведение делится на 75 без остатка.
Ответ: Доказано, что $38^3 + 37^3$ делится на 75.