Номер 39.44, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 7. Разложение многочленов на множители. Параграф 39. Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращённого умножения - номер 39.44, страница 172.

Условие.

39.44 а) $(6b+8)^3 - 125b^3;$

Б) $1000p^3 + (3q-2p)^3;$

В) $8x^3 - (5x-3)^3;$

Г) $(3x+2y)^3 + 729y^3.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а)

Для разложения на множители выражения $(6b + 8)^3 - 125b^3$ воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

В нашем случае $a = 6b + 8$ и $b = \sqrt[3]{125b^3} = 5b$.

Подставим эти значения в формулу.

Первый множитель (разность $a-b$):

$(6b + 8) - 5b = b + 8$

Второй множитель (неполный квадрат суммы $a^2+ab+b^2$):

$(6b+8)^2 + (6b+8)(5b) + (5b)^2$

Вычислим каждый член этого выражения:

$a^2 = (6b+8)^2 = (6b)^2 + 2 \cdot 6b \cdot 8 + 8^2 = 36b^2 + 96b + 64$

$ab = (6b+8)(5b) = 30b^2 + 40b$

$b^2 = (5b)^2 = 25b^2$

Теперь сложим их:

$(36b^2 + 96b + 64) + (30b^2 + 40b) + 25b^2 = (36+30+25)b^2 + (96+40)b + 64 = 91b^2 + 136b + 64$

Собираем все вместе:

$(6b + 8)^3 - 125b^3 = (b+8)(91b^2 + 136b + 64)$

Ответ: $(b+8)(91b^2 + 136b + 64)$

б)

Для разложения на множители выражения $1000p^3 + (3q - 2p)^3$ воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

В нашем случае $a = \sqrt[3]{1000p^3} = 10p$ и $b = 3q - 2p$.

Подставим эти значения в формулу.

Первый множитель (сумма $a+b$):

$10p + (3q - 2p) = 8p + 3q$

Второй множитель (неполный квадрат разности $a^2-ab+b^2$):

$(10p)^2 - (10p)(3q - 2p) + (3q - 2p)^2$

Вычислим каждый член этого выражения:

$a^2 = (10p)^2 = 100p^2$

$-ab = -(10p)(3q - 2p) = -(30pq - 20p^2) = -30pq + 20p^2$

$b^2 = (3q - 2p)^2 = (3q)^2 - 2 \cdot 3q \cdot 2p + (2p)^2 = 9q^2 - 12pq + 4p^2$

Теперь сложим их:

$100p^2 - 30pq + 20p^2 + 9q^2 - 12pq + 4p^2 = (100+20+4)p^2 + (-30-12)pq + 9q^2 = 124p^2 - 42pq + 9q^2$

Собираем все вместе:

$1000p^3 + (3q - 2p)^3 = (8p + 3q)(124p^2 - 42pq + 9q^2)$

Ответ: $(8p + 3q)(124p^2 - 42pq + 9q^2)$

в)

Для разложения на множители выражения $8x^3 - (5x - 3)^3$ воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

В нашем случае $a = \sqrt[3]{8x^3} = 2x$ и $b = 5x - 3$.

Подставим эти значения в формулу.

Первый множитель (разность $a-b$):

$2x - (5x - 3) = 2x - 5x + 3 = 3 - 3x$

Второй множитель (неполный квадрат суммы $a^2+ab+b^2$):

$(2x)^2 + (2x)(5x-3) + (5x-3)^2$

Вычислим каждый член этого выражения:

$a^2 = (2x)^2 = 4x^2$

$ab = (2x)(5x-3) = 10x^2 - 6x$

$b^2 = (5x-3)^2 = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 3 + 3^2 = 25x^2 - 30x + 9$

Теперь сложим их:

$4x^2 + (10x^2 - 6x) + (25x^2 - 30x + 9) = (4+10+25)x^2 + (-6-30)x + 9 = 39x^2 - 36x + 9$

Таким образом, исходное выражение равно $(3 - 3x)(39x^2 - 36x + 9)$.

Для упрощения вынесем общий множитель из каждой скобки: $3(1-x)$ и $3(13x^2-12x+3)$. Перемножив их, получим:

$3(1-x) \cdot 3(13x^2-12x+3) = 9(1-x)(13x^2-12x+3)$

Ответ: $9(1-x)(13x^2-12x+3)$

г)

Для разложения на множители выражения $(3x + 2y)^3 + 729y^3$ воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

В нашем случае $a = 3x + 2y$ и $b = \sqrt[3]{729y^3} = 9y$.

Подставим эти значения в формулу.

Первый множитель (сумма $a+b$):

$(3x + 2y) + 9y = 3x + 11y$

Второй множитель (неполный квадрат разности $a^2-ab+b^2$):

$(3x+2y)^2 - (3x+2y)(9y) + (9y)^2$

Вычислим каждый член этого выражения:

$a^2 = (3x+2y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2 = 9x^2 + 12xy + 4y^2$

$-ab = -(3x+2y)(9y) = -(27xy + 18y^2) = -27xy - 18y^2$

$b^2 = (9y)^2 = 81y^2$

Теперь сложим их:

$(9x^2 + 12xy + 4y^2) - 27xy - 18y^2 + 81y^2 = 9x^2 + (12-27)xy + (4-18+81)y^2 = 9x^2 - 15xy + 67y^2$

Собираем все вместе:

$(3x + 2y)^3 + 729y^3 = (3x + 11y)(9x^2 - 15xy + 67y^2)$

Ответ: $(3x + 11y)(9x^2 - 15xy + 67y^2)$