Номер 39.37, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 7. Разложение многочленов на множители. Параграф 39. Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращённого умножения - номер 39.37, страница 172.

Условие.

Постройте график уравнения:

39.37 а) $x^2 - y^2 = 0$;

б) $x^2 = 4y^2$;

в) $y^2 = 9x^2$;

г) $16x^2 - 25y^2 = 0$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а) $x^2 - y^2 = 0$

Данное уравнение можно преобразовать, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

$\left[ \begin{array}{l} x-y=0, \\ x+y=0. \end{array} \right.$

Выразим $y$ в каждом уравнении:

$\left[ \begin{array}{l} y=x, \\ y=-x. \end{array} \right.$

Графиком уравнения $y=x$ является прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Графиком уравнения $y=-x$ является прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой второго и четвертого координатных углов.

Следовательно, график исходного уравнения представляет собой объединение этих двух прямых.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся в начале координат прямых $y=x$ и $y=-x$.

б) $x^2 = 4y^2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$x^2 - 4y^2 = 0$

Применим формулу разности квадратов, представив $4y^2$ как $(2y)^2$:

$x^2 - (2y)^2 = (x - 2y)(x + 2y) = 0$

Уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

$\left[ \begin{array}{l} x-2y=0, \\ x+2y=0. \end{array} \right.$

Выразим $y$ в каждом уравнении:

$\left[ \begin{array}{l} 2y=x, \\ 2y=-x. \end{array} \right. \implies \left[ \begin{array}{l} y=\frac{1}{2}x, \\ y=-\frac{1}{2}x. \end{array} \right.$

Каждое из этих уравнений задает прямую, проходящую через начало координат. Для построения каждой прямой достаточно одной точки, кроме начала координат.

Для прямой $y=\frac{1}{2}x$: если $x=2$, то $y=1$.

Для прямой $y=-\frac{1}{2}x$: если $x=2$, то $y=-1$.

График исходного уравнения — это объединение двух прямых $y=\frac{1}{2}x$ и $y=-\frac{1}{2}x$.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся в начале координат прямых $y=\frac{1}{2}x$ и $y=-\frac{1}{2}x$.

в) $y^2 = 9x^2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$y^2 - 9x^2 = 0$

Используем формулу разности квадратов, где $9x^2 = (3x)^2$:

$y^2 - (3x)^2 = (y - 3x)(y + 3x) = 0$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$\left[ \begin{array}{l} y-3x=0, \\ y+3x=0. \end{array} \right.$

Выразим $y$ в каждом уравнении:

$\left[ \begin{array}{l} y=3x, \\ y=-3x. \end{array} \right.$

Графиком каждого из этих уравнений является прямая, проходящая через начало координат.

Для прямой $y=3x$: если $x=1$, то $y=3$.

Для прямой $y=-3x$: если $x=1$, то $y=-3$.

Искомый график — это объединение двух прямых $y=3x$ и $y=-3x$.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся в начале координат прямых $y=3x$ и $y=-3x$.

г) $16x^2 - 25y^2 = 0$

Уравнение уже представлено в виде разности. Применим формулу разности квадратов, заметив, что $16x^2 = (4x)^2$ и $25y^2 = (5y)^2$:

$(4x)^2 - (5y)^2 = (4x - 5y)(4x + 5y) = 0$

Уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

$\left[ \begin{array}{l} 4x-5y=0, \\ 4x+5y=0. \end{array} \right.$

Выразим $y$ в каждом уравнении:

$\left[ \begin{array}{l} 5y=4x, \\ 5y=-4x. \end{array} \right. \implies \left[ \begin{array}{l} y=\frac{4}{5}x, \\ y=-\frac{4}{5}x. \end{array} \right.$

Каждое из этих уравнений является уравнением прямой, проходящей через начало координат.

Для прямой $y=\frac{4}{5}x$: если $x=5$, то $y=4$.

Для прямой $y=-\frac{4}{5}x$: если $x=5$, то $y=-4$.

График исходного уравнения состоит из двух прямых $y=\frac{4}{5}x$ и $y=-\frac{4}{5}x$.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся в начале координат прямых $y=\frac{4}{5}x$ и $y=-\frac{4}{5}x$.