Номер 39.34, страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 39. Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращённого умножения. Глава 7. Разложение многочленов на множители. Часть 2 - номер 39.34, страница 171.

Условие.

Решите уравнение:

39.34 а) $ \frac{1}{16}a^2 - \frac{1}{25} = 0; $

б) $ \frac{4}{49}b^2 - \frac{16}{121} = 0; $

в) $ \frac{9}{16}c^2 - \frac{81}{100} = 0; $

г) $ \frac{36}{1225}d^2 - \frac{64}{441} = 0. $

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а)

Исходное уравнение: $ \frac{1}{16}a^2 - \frac{1}{25} = 0 $.

Данное уравнение представляет собой разность квадратов, так как оба члена уравнения можно представить в виде квадратов:

$ \frac{1}{16}a^2 = (\frac{1}{4}a)^2 $

$ \frac{1}{25} = (\frac{1}{5})^2 $

Перепишем уравнение в виде:

$ (\frac{1}{4}a)^2 - (\frac{1}{5})^2 = 0 $

Воспользуемся формулой разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $ для разложения левой части уравнения на множители:

$ (\frac{1}{4}a - \frac{1}{5})(\frac{1}{4}a + \frac{1}{5}) = 0 $

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных случая:

1) $ \frac{1}{4}a - \frac{1}{5} = 0 \implies \frac{1}{4}a = \frac{1}{5} \implies a = \frac{4}{5} $

2) $ \frac{1}{4}a + \frac{1}{5} = 0 \implies \frac{1}{4}a = -\frac{1}{5} \implies a = -\frac{4}{5} $

Ответ: $ a_1 = \frac{4}{5}, a_2 = -\frac{4}{5} $.

б)

Исходное уравнение: $ \frac{4}{49}b^2 - \frac{16}{121} = 0 $.

Представим уравнение как разность квадратов:

$ (\frac{2}{7}b)^2 - (\frac{4}{11})^2 = 0 $

Разложим левую часть на множители:

$ (\frac{2}{7}b - \frac{4}{11})(\frac{2}{7}b + \frac{4}{11}) = 0 $

Приравниваем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни:

1) $ \frac{2}{7}b - \frac{4}{11} = 0 \implies \frac{2}{7}b = \frac{4}{11} \implies b = \frac{4}{11} \cdot \frac{7}{2} = \frac{2 \cdot 7}{11} = \frac{14}{11} $

2) $ \frac{2}{7}b + \frac{4}{11} = 0 \implies \frac{2}{7}b = -\frac{4}{11} \implies b = -\frac{4}{11} \cdot \frac{7}{2} = -\frac{14}{11} $

Ответ: $ b_1 = \frac{14}{11}, b_2 = -\frac{14}{11} $.

в)

Исходное уравнение: $ \frac{9}{16}c^2 - \frac{81}{100} = 0 $.

Представим уравнение как разность квадратов:

$ (\frac{3}{4}c)^2 - (\frac{9}{10})^2 = 0 $

Разложим на множители:

$ (\frac{3}{4}c - \frac{9}{10})(\frac{3}{4}c + \frac{9}{10}) = 0 $

Найдем корни уравнения, приравняв каждый множитель к нулю:

1) $ \frac{3}{4}c - \frac{9}{10} = 0 \implies \frac{3}{4}c = \frac{9}{10} \implies c = \frac{9}{10} \cdot \frac{4}{3} = \frac{3 \cdot 2}{5} = \frac{6}{5} $

2) $ \frac{3}{4}c + \frac{9}{10} = 0 \implies \frac{3}{4}c = -\frac{9}{10} \implies c = -\frac{9}{10} \cdot \frac{4}{3} = -\frac{6}{5} $

Ответ: $ c_1 = \frac{6}{5}, c_2 = -\frac{6}{5} $.

г)

Исходное уравнение: $ \frac{36}{1225}d^2 - \frac{64}{441} = 0 $.

Для решения найдем квадратные корни из числителей и знаменателей: $ \sqrt{36}=6, \sqrt{1225}=35, \sqrt{64}=8, \sqrt{441}=21 $.

Теперь представим уравнение как разность квадратов:

$ (\frac{6}{35}d)^2 - (\frac{8}{21})^2 = 0 $

Разложим на множители, используя соответствующую формулу:

$ (\frac{6}{35}d - \frac{8}{21})(\frac{6}{35}d + \frac{8}{21}) = 0 $

Найдем корни, решая два простых линейных уравнения:

1) $ \frac{6}{35}d - \frac{8}{21} = 0 \implies \frac{6}{35}d = \frac{8}{21} \implies d = \frac{8}{21} \cdot \frac{35}{6} $

Сократим дробь: $ d = \frac{8 \cdot 35}{21 \cdot 6} = \frac{(4 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 7)}{(3 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 2)} = \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 3} = \frac{20}{9} $

2) $ \frac{6}{35}d + \frac{8}{21} = 0 \implies \frac{6}{35}d = -\frac{8}{21} \implies d = -\frac{8}{21} \cdot \frac{35}{6} = -\frac{20}{9} $

Ответ: $ d_1 = \frac{20}{9}, d_2 = -\frac{20}{9} $.