Номер 39.40, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 7. Разложение многочленов на множители. Параграф 39. Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращённого умножения - номер 39.40, страница 172.

Условие.

39.40 a) $a^6 - 8;$

б) $-x^6 + \frac{1}{8};$

в) $27 + b^9;$

г) $-\frac{1}{64} - y^6.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а) Чтобы разложить на множители выражение $a^6 - 8$, представим его в виде разности кубов.
Заметим, что $a^6 = (a^2)^3$ и $8 = 2^3$. Таким образом, выражение принимает вид:
$a^6 - 8 = (a^2)^3 - 2^3$
Теперь применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x = a^2$ и $y = 2$.
$(a^2 - 2)((a^2)^2 + a^2 \cdot 2 + 2^2) = (a^2 - 2)(a^4 + 2a^2 + 4)$
Ответ: $(a^2 - 2)(a^4 + 2a^2 + 4)$.

б) Для разложения на множители выражения $-x^6 + \frac{1}{8}$ сначала переставим слагаемые для удобства:
$\frac{1}{8} - x^6$
Представим это выражение как разность кубов. Заметим, что $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$ и $x^6 = (x^2)^3$.
Получаем: $(\frac{1}{2})^3 - (x^2)^3$.
Применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x = \frac{1}{2}$ и $y = x^2$.
$(\frac{1}{2} - x^2)((\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} \cdot x^2 + (x^2)^2) = (\frac{1}{2} - x^2)(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}x^2 + x^4)$
Ответ: $(\frac{1}{2} - x^2)(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}x^2 + x^4)$.

в) Чтобы разложить на множители выражение $27 + b^9$, представим его в виде суммы кубов.
Заметим, что $27 = 3^3$ и $b^9 = (b^3)^3$. Таким образом, выражение принимает вид:
$3^3 + (b^3)^3$
Теперь применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x = 3$ и $y = b^3$.
$(3 + b^3)(3^2 - 3 \cdot b^3 + (b^3)^2) = (3 + b^3)(9 - 3b^3 + b^6)$
Ответ: $(3 + b^3)(9 - 3b^3 + b^6)$.

г) Для разложения на множители выражения $-\frac{1}{64} - y^6$ вынесем за скобки знак минус:
$-(\frac{1}{64} + y^6)$
Теперь разложим на множители выражение в скобках, представив его как сумму кубов. Заметим, что $\frac{1}{64} = (\frac{1}{4})^3$ и $y^6 = (y^2)^3$.
Выражение в скобках: $(\frac{1}{4})^3 + (y^2)^3$.
Применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x = \frac{1}{4}$ и $y = y^2$.
$(\frac{1}{4} + y^2)((\frac{1}{4})^2 - \frac{1}{4} \cdot y^2 + (y^2)^2) = (\frac{1}{4} + y^2)(\frac{1}{16} - \frac{1}{4}y^2 + y^4)$
Не забываем про знак минус, который мы вынесли вначале.
Ответ: $-(\frac{1}{4} + y^2)(\frac{1}{16} - \frac{1}{4}y^2 + y^4)$.