Номер 39.43, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 7. Разложение многочленов на множители. Параграф 39. Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращённого умножения - номер 39.43, страница 172.

Условие.

39.43 а) $(2c + 1)^3 - 64$;

Б) $p^3 + (3p - 4)^3$;

В) $8 - (3 - k)^3$;

Г) $(5a + 4)^3 - a^3$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а) Чтобы разложить на множители выражение $(2c + 1)^3 - 64$, воспользуемся формулой разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
Представим $64$ как $4^3$. Тогда выражение примет вид $(2c + 1)^3 - 4^3$.
В данном случае $x = 2c + 1$, а $y = 4$.
Подставим эти значения в формулу:
$((2c + 1) - 4)((2c + 1)^2 + (2c + 1) \cdot 4 + 4^2)$
Упростим каждый множитель.
Первый множитель: $2c + 1 - 4 = 2c - 3$.
Второй множитель: $(2c + 1)^2 + 4(2c + 1) + 16 = (4c^2 + 4c + 1) + (8c + 4) + 16 = 4c^2 + 4c + 8c + 1 + 4 + 16 = 4c^2 + 12c + 21$.
Таким образом, исходное выражение равно:
$(2c - 3)(4c^2 + 12c + 21)$.
Ответ: $(2c - 3)(4c^2 + 12c + 21)$

б) Для разложения выражения $p^3 + (3p - 4)^3$ применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
Здесь $x = p$, а $y = 3p - 4$.
Подставляем в формулу:
$(p + (3p - 4))(p^2 - p(3p - 4) + (3p - 4)^2)$
Упрощаем каждый множитель.
Первый множитель: $p + 3p - 4 = 4p - 4 = 4(p - 1)$.
Второй множитель: $p^2 - (3p^2 - 4p) + (9p^2 - 24p + 16) = p^2 - 3p^2 + 4p + 9p^2 - 24p + 16 = (1 - 3 + 9)p^2 + (4 - 24)p + 16 = 7p^2 - 20p + 16$.
Собираем выражение:
$4(p - 1)(7p^2 - 20p + 16)$.
Ответ: $4(p - 1)(7p^2 - 20p + 16)$

в) Чтобы разложить на множители выражение $8 - (3 - k)^3$, используем формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
Представим $8$ как $2^3$. Выражение примет вид $2^3 - (3 - k)^3$.
Здесь $x = 2$, а $y = 3 - k$.
Подставляем в формулу:
$(2 - (3 - k))(2^2 + 2(3 - k) + (3 - k)^2)$
Упрощаем каждый множитель.
Первый множитель: $2 - 3 + k = k - 1$.
Второй множитель: $4 + 2(3 - k) + (9 - 6k + k^2) = 4 + 6 - 2k + 9 - 6k + k^2 = k^2 - 8k + 19$.
Итоговое выражение:
$(k - 1)(k^2 - 8k + 19)$.
Ответ: $(k - 1)(k^2 - 8k + 19)$

г) Для разложения выражения $(5a + 4)^3 - a^3$ используем формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
В данном случае $x = 5a + 4$, а $y = a$.
Подставляем в формулу:
$((5a + 4) - a)((5a + 4)^2 + (5a + 4)a + a^2)$
Упрощаем каждый множитель.
Первый множитель: $5a + 4 - a = 4a + 4 = 4(a + 1)$.
Второй множитель: $(25a^2 + 40a + 16) + (5a^2 + 4a) + a^2 = (25 + 5 + 1)a^2 + (40 + 4)a + 16 = 31a^2 + 44a + 16$.
Собираем выражение:
$4(a + 1)(31a^2 + 44a + 16)$.
Ответ: $4(a + 1)(31a^2 + 44a + 16)$