Номер 39.50, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

39.50 а) $b^2 - 20b + * = (* - 10)^2;$

б) $* - 42pq + 49q^2 = (3p - *)^2;$

в) $25a^2 + * + \frac{1}{4}b^2 = (* + \frac{1}{2}b)^2;$

г) $0.01b^2 + * + 100c^2 = (0.1b + *)^2.$

а) Заданное равенство: $b^2 - 20b + * = (* - 10)^2$.
Это равенство основано на формуле квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Рассмотрим правую часть равенства: $(* - 10)^2$. Сравнивая ее с формулой, видим, что второй член в скобках $y = 10$.
Теперь раскроем скобки в правой части: $(* - 10)^2 = (*)^2 - 2 \cdot (*) \cdot 10 + 10^2 = (*)^2 - 20(*) + 100$.
Приравняем левую и правую части исходного выражения: $b^2 - 20b + * = (*)^2 - 20(*) + 100$.
Сравнивая соответствующие члены, видим, что:
- Первый член слева $b^2$ соответствует первому члену справа $(*)^2$, значит, первая звездочка (в скобках справа) - это $b$.
- Второй член слева $-20b$ соответствует второму члену справа $-20(*)$, что также подтверждает, что звездочка в скобках - это $b$.
- Третий член слева $*$ соответствует третьему члену справа $100$. Значит, вторая звездочка (в левой части выражения) - это $100$.
Таким образом, получаем верное тождество: $b^2 - 20b + 100 = (b - 10)^2$.
Ответ: $b^2 - 20b + 100 = (b - 10)^2$.

б) Заданное равенство: $* - 42pq + 49q^2 = (3p - *)^2$.
Это также формула квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Рассмотрим правую часть: $(3p - *)^2$. Здесь первый член в скобках $x = 3p$. Раскроем скобки: $(3p - *)^2 = (3p)^2 - 2 \cdot 3p \cdot (*) + (*)^2 = 9p^2 - 6p(*) + (*)^2$.
Теперь приравняем левую и правую части: $* - 42pq + 49q^2 = 9p^2 - 6p(*) + (*)^2$.
Сравнивая члены равенства, получаем:
- Последний член слева $49q^2$ соответствует последнему члену справа $(*)^2$. Отсюда находим, что звездочка в скобках справа равна $\sqrt{49q^2} = 7q$.
- Средний член слева $-42pq$ должен быть равен среднему члену справа $-6p(*)$. Подставив найденное значение $7q$ вместо звездочки, получаем: $-6p(7q) = -42pq$. Равенство выполняется.
- Первый член слева $*$ соответствует первому члену справа $9p^2$. Значит, первая звездочка (в левой части выражения) равна $9p^2$.
Получаем тождество: $9p^2 - 42pq + 49q^2 = (3p - 7q)^2$.
Ответ: $9p^2 - 42pq + 49q^2 = (3p - 7q)^2$.

в) Заданное равенство: $25a^2 + * + \frac{1}{4}b^2 = (* + \frac{1}{2}b)^2$.
Это равенство основано на формуле квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Рассмотрим правую часть: $(* + \frac{1}{2}b)^2$. Здесь второй член в скобках $y = \frac{1}{2}b$. Раскроем скобки: $(* + \frac{1}{2}b)^2 = (*)^2 + 2 \cdot (*) \cdot \frac{1}{2}b + (\frac{1}{2}b)^2 = (*)^2 + (*)b + \frac{1}{4}b^2$.
Приравняем левую и правую части: $25a^2 + * + \frac{1}{4}b^2 = (*)^2 + (*)b + \frac{1}{4}b^2$.
Сравнивая члены равенства:
- Первый член слева $25a^2$ соответствует первому члену справа $(*)^2$. Отсюда звездочка в скобках справа равна $\sqrt{25a^2} = 5a$.
- Последние члены $\frac{1}{4}b^2$ в обеих частях совпадают.
- Средний член слева $*$ соответствует среднему члену справа $(*)b$. Подставив найденное значение $5a$ вместо звездочки в скобках, получаем средний член $5a \cdot b = 5ab$. Значит, звездочка в левой части равна $5ab$.
Получаем тождество: $25a^2 + 5ab + \frac{1}{4}b^2 = (5a + \frac{1}{2}b)^2$.
Ответ: $25a^2 + 5ab + \frac{1}{4}b^2 = (5a + \frac{1}{2}b)^2$.

г) Заданное равенство: $0,01b^2 + * + 100c^2 = (0,1b + *)^2$.
Это формула квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В правой части $(0,1b + *)^2$ имеем первый член $x=0,1b$. Раскрываем скобки: $(0,1b + *)^2 = (0,1b)^2 + 2 \cdot 0,1b \cdot (*) + (*)^2 = 0,01b^2 + 0,2b(*) + (*)^2$.
Приравняем левую и правую части: $0,01b^2 + * + 100c^2 = 0,01b^2 + 0,2b(*) + (*)^2$.
Сравнивая члены равенства:
- Первые члены $0,01b^2$ в обеих частях совпадают.
- Последний член слева $100c^2$ соответствует последнему члену справа $(*)^2$. Отсюда звездочка в скобках справа равна $\sqrt{100c^2} = 10c$.
- Средний член слева $*$ соответствует среднему члену справа $0,2b(*)$. Подставив найденное значение $10c$ вместо звездочки, получаем средний член $0,2b(10c) = 2bc$. Значит, звездочка в левой части равна $2bc$.
Получаем тождество: $0,01b^2 + 2bc + 100c^2 = (0,1b + 10c)^2$.
Ответ: $0,01b^2 + 2bc + 100c^2 = (0,1b + 10c)^2$.