Номер 40.4, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

40.4 a) $\frac{16}{49} p^2q - q^3;$

Б) $2\frac{7}{9}a^3b - \frac{ab^3}{4};$

В) $c^3 - \frac{25}{36} cd^2;$

Г) $\frac{mn^5}{9} - 3\frac{1}{16}m^3n.$

а)

Исходное выражение: $\frac{16}{49}p^2q - q^3$.

Сначала вынесем общий множитель $q$ за скобки:

$q \left( \frac{16}{49}p^2 - q^2 \right)$

Выражение в скобках представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В данном случае $a^2 = \frac{16}{49}p^2 = \left(\frac{4}{7}p\right)^2$ и $b^2 = q^2$. Следовательно, $a = \frac{4}{7}p$ и $b = q$.

Подставим эти значения в формулу:

$\frac{16}{49}p^2 - q^2 = \left(\frac{4}{7}p - q\right) \left(\frac{4}{7}p + q\right)$

Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так:

$q \left(\frac{4}{7}p - q\right) \left(\frac{4}{7}p + q\right)$

Ответ: $q \left(\frac{4}{7}p - q\right) \left(\frac{4}{7}p + q\right)$

б)

Исходное выражение: $2\frac{7}{9}a^3b - \frac{ab^3}{4}$.

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{7}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{25}{9}$.

Выражение примет вид: $\frac{25}{9}a^3b - \frac{1}{4}ab^3$.

Вынесем общий множитель $ab$ за скобки:

$ab \left( \frac{25}{9}a^2 - \frac{1}{4}b^2 \right)$

Выражение в скобках является разностью квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

Здесь $x^2 = \frac{25}{9}a^2 = \left(\frac{5}{3}a\right)^2$ и $y^2 = \frac{1}{4}b^2 = \left(\frac{1}{2}b\right)^2$. Значит, $x = \frac{5}{3}a$ и $y = \frac{1}{2}b$.

Применим формулу разности квадратов:

$\frac{25}{9}a^2 - \frac{1}{4}b^2 = \left(\frac{5}{3}a - \frac{1}{2}b\right) \left(\frac{5}{3}a + \frac{1}{2}b\right)$

Итоговое разложение на множители:

$ab \left(\frac{5}{3}a - \frac{1}{2}b\right) \left(\frac{5}{3}a + \frac{1}{2}b\right)$

Ответ: $ab \left(\frac{5}{3}a - \frac{1}{2}b\right) \left(\frac{5}{3}a + \frac{1}{2}b\right)$

в)

Исходное выражение: $c^3 - \frac{25}{36}cd^2$.

Вынесем за скобки общий множитель $c$:

$c \left( c^2 - \frac{25}{36}d^2 \right)$

Выражение в скобках — это разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В нашем случае $a^2 = c^2$ и $b^2 = \frac{25}{36}d^2 = \left(\frac{5}{6}d\right)^2$. Отсюда $a = c$ и $b = \frac{5}{6}d$.

Разложим выражение в скобках на множители:

$c^2 - \frac{25}{36}d^2 = \left(c - \frac{5}{6}d\right) \left(c + \frac{5}{6}d\right)$

Таким образом, получаем:

$c \left(c - \frac{5}{6}d\right) \left(c + \frac{5}{6}d\right)$

Ответ: $c \left(c - \frac{5}{6}d\right) \left(c + \frac{5}{6}d\right)$

г)

Исходное выражение: $\frac{mn^5}{9} - 3\frac{1}{16}m^3n$.

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{1}{16} = \frac{3 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{49}{16}$.

Получаем выражение: $\frac{1}{9}mn^5 - \frac{49}{16}m^3n$.

Вынесем общий множитель $mn$ за скобки:

$mn \left( \frac{1}{9}n^4 - \frac{49}{16}m^2 \right)$

Выражение в скобках является разностью квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Здесь $a^2 = \frac{1}{9}n^4 = \left(\frac{1}{3}n^2\right)^2$ и $b^2 = \frac{49}{16}m^2 = \left(\frac{7}{4}m\right)^2$. Следовательно, $a = \frac{1}{3}n^2$ и $b = \frac{7}{4}m$.

Применяем формулу:

$\frac{1}{9}n^4 - \frac{49}{16}m^2 = \left(\frac{1}{3}n^2 - \frac{7}{4}m\right) \left(\frac{1}{3}n^2 + \frac{7}{4}m\right)$

Полное разложение на множители имеет вид:

$mn \left(\frac{1}{3}n^2 - \frac{7}{4}m\right) \left(\frac{1}{3}n^2 + \frac{7}{4}m\right)$

Ответ: $mn \left(\frac{1}{3}n^2 - \frac{7}{4}m\right) \left(\frac{1}{3}n^2 + \frac{7}{4}m\right)$