Номер 40.5, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

40.5 а) $5a^2 + 10ab + 5b^2$;

б) $2x^2 + 4x + 2$;

в) $3m^2 + 3n^2 - 6mn$;

г) $8n^2 - 16n + 8$.

а)

Чтобы разложить на множители выражение $5a^2 + 10ab + 5b^2$, сначала вынесем общий числовой множитель за скобки. Общим множителем для коэффициентов 5, 10 и 5 является 5.

$5a^2 + 10ab + 5b^2 = 5(a^2 + 2ab + b^2)$

Теперь обратим внимание на выражение в скобках: $a^2 + 2ab + b^2$. Это формула квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В нашем случае $x=a$ и $y=b$.

Следовательно, мы можем свернуть выражение в скобках в полный квадрат:

$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$

Подставив это обратно, получаем окончательный результат:

$5(a+b)^2$

Ответ: $5(a+b)^2$

б)

Рассмотрим выражение $2x^2 + 4x + 2$. Вынесем общий множитель 2 за скобки.

$2x^2 + 4x + 2 = 2(x^2 + 2x + 1)$

Выражение в скобках, $x^2 + 2x + 1$, представляет собой полный квадрат. Это соответствует формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=1$.

Проверим: $(x+1)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1$.

Таким образом, выражение можно записать в виде:

$2(x+1)^2$

Ответ: $2(x+1)^2$

в)

Рассмотрим выражение $3m^2 + 3n^2 - 6mn$. Для удобства переставим слагаемые, чтобы привести его к стандартному виду формулы сокращенного умножения: $3m^2 - 6mn + 3n^2$.

Вынесем общий множитель 3 за скобки.

$3m^2 - 6mn + 3n^2 = 3(m^2 - 2mn + n^2)$

Выражение в скобках, $m^2 - 2mn + n^2$, является формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном случае $x=m$ и $y=n$.

Следовательно, выражение в скобках можно свернуть:

$m^2 - 2mn + n^2 = (m-n)^2$

Итоговый результат:

$3(m-n)^2$

Ответ: $3(m-n)^2$

г)

Рассмотрим выражение $8n^2 - 16n + 8$. Вынесем общий множитель 8 за скобки.

$8n^2 - 16n + 8 = 8(n^2 - 2n + 1)$

Выражение в скобках, $n^2 - 2n + 1$, является полным квадратом. Это соответствует формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=n$ и $b=1$.

Проверим: $(n-1)^2 = n^2 - 2 \cdot n \cdot 1 + 1^2 = n^2 - 2n + 1$.

Таким образом, выражение можно записать в виде:

$8(n-1)^2$

Ответ: $8(n-1)^2$