Номер 40.12, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Разложите многочлен на множители:

40.12 а) $(a^2 + 2ab + b^2) - c^2;

б) $1 - m^2 - 2mn - n^2;

в) $16 - (x^2 - 2xy + y^2);

г) $4 - p^2 - 2pq - q^2.$

а) В выражении $(a^2 + 2ab + b^2) - c^2$ заметим, что часть в скобках является формулой квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.

Подставив это в исходное выражение, получим:

$(a+b)^2 - c^2$

Это выражение представляет собой разность квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = a+b$ и $y = c$:

$(a+b)^2 - c^2 = ((a+b) - c)((a+b) + c) = (a+b-c)(a+b+c)$.

Ответ: $(a+b-c)(a+b+c)$

б) В многочлене $1 - m^2 - 2mn - n^2$ сгруппируем последние три члена и вынесем знак минус за скобку:

$1 - (m^2 + 2mn + n^2)$

Выражение в скобках является квадратом суммы: $m^2 + 2mn + n^2 = (m+n)^2$.

Теперь исходное выражение можно записать как $1 - (m+n)^2$, или $1^2 - (m+n)^2$. Это разность квадратов.

Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = 1$ и $y = m+n$:

$1^2 - (m+n)^2 = (1 - (m+n))(1 + (m+n)) = (1-m-n)(1+m+n)$.

Ответ: $(1-m-n)(1+m+n)$

в) В выражении $16 - (x^2 - 2xy + y^2)$ часть в скобках является формулой квадрата разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$.

Подставим это в исходное выражение:

$16 - (x-y)^2$

Представим 16 как $4^2$, чтобы получить разность квадратов: $4^2 - (x-y)^2$.

Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = 4$ и $y = x-y$:

$4^2 - (x-y)^2 = (4 - (x-y))(4 + (x-y)) = (4-x+y)(4+x-y)$.

Ответ: $(4-x+y)(4+x-y)$

г) В многочлене $4 - p^2 - 2pq - q^2$ вынесем знак минус за скобку у последних трех членов:

$4 - (p^2 + 2pq + q^2)$

Выражение в скобках является квадратом суммы: $p^2 + 2pq + q^2 = (p+q)^2$.

Исходное выражение принимает вид: $4 - (p+q)^2$. Представим 4 как $2^2$ и получим разность квадратов $2^2 - (p+q)^2$.

Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = 2$ и $y = p+q$:

$2^2 - (p+q)^2 = (2 - (p+q))(2 + (p+q)) = (2-p-q)(2+p+q)$.

Ответ: $(2-p-q)(2+p+q)$