Номер 40.19, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

40.19 a) $a^3 - a^2 - 2a + 8;$

б) $b^3 - 6b^2 - 6b + 1.$

а) Чтобы разложить на множители многочлен $a^3 - a^2 - 2a + 8$, применим метод группировки слагаемых. Сгруппируем первый член с четвертым, а второй с третьим.

$a^3 - a^2 - 2a + 8 = (a^3 + 8) + (-a^2 - 2a) = (a^3 + 2^3) - (a^2 + 2a)$

Первую скобку $(a^3 + 2^3)$ разложим по формуле суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$:

$(a^3 + 2^3) = (a+2)(a^2 - 2a + 4)$

Во второй скобке $(a^2 + 2a)$ вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$(a^2 + 2a) = a(a+2)$

Теперь подставим полученные разложения обратно в выражение:

$(a+2)(a^2 - 2a + 4) - a(a+2)$

Мы видим общий множитель $(a+2)$, который можно вынести за скобки:

$(a+2)((a^2 - 2a + 4) - a)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(a+2)(a^2 - 2a - a + 4) = (a+2)(a^2 - 3a + 4)$

Чтобы проверить, можно ли разложить квадратный трехчлен $a^2 - 3a + 4$, найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), этот квадратный трехчлен не имеет действительных корней и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами. Следовательно, полученное выражение является окончательным разложением.

Ответ: $(a+2)(a^2 - 3a + 4)$

б) Для разложения на множители многочлена $b^3 - 6b^2 - 6b + 1$ также воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первый член с четвертым, а второй с третьим.

$b^3 - 6b^2 - 6b + 1 = (b^3 + 1) + (-6b^2 - 6b) = (b^3 + 1^3) - (6b^2 + 6b)$

Первую скобку $(b^3 + 1^3)$ разложим по формуле суммы кубов:

$(b^3 + 1^3) = (b+1)(b^2 - b \cdot 1 + 1^2) = (b+1)(b^2 - b + 1)$

Во второй скобке $(6b^2 + 6b)$ вынесем общий множитель $6b$:

$(6b^2 + 6b) = 6b(b+1)$

Подставим разложения обратно в выражение:

$(b+1)(b^2 - b + 1) - 6b(b+1)$

Вынесем общий множитель $(b+1)$ за скобки:

$(b+1)((b^2 - b + 1) - 6b)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(b+1)(b^2 - b - 6b + 1) = (b+1)(b^2 - 7b + 1)$

Проверим дискриминант квадратного трехчлена $b^2 - 7b + 1$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 49 - 4 = 45$

Дискриминант положителен, но не является полным квадратом, поэтому трехчлен $b^2 - 7b + 1$ не раскладывается на множители с целыми коэффициентами. Таким образом, разложение завершено.

Ответ: $(b+1)(b^2 - 7b + 1)$