Номер 40.18, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

40.18 а) $x^3 + 8y^3 + x^2 + 4xy + 4y^2$;

б) $8p^3 - q^3 + 4p^2 - 4pq + q^2$.

а) Для того чтобы разложить на множители выражение $x^3 + 8y^3 + x^2 + 4xy + 4y^2$, сгруппируем его члены. Заметим, что первые два члена образуют сумму кубов, а последние три — полный квадрат.

$(x^3 + 8y^3) + (x^2 + 4xy + 4y^2)$

Разложим первую группу, используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$. В нашем случае $a=x$ и $b=2y$.

$x^3 + (2y)^3 = (x + 2y)(x^2 - x(2y) + (2y)^2) = (x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2)$

Разложим вторую группу, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=2y$.

$x^2 + 4xy + 4y^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot (2y) + (2y)^2 = (x + 2y)^2$

Теперь подставим полученные разложения в исходное сгруппированное выражение:

$(x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2) + (x + 2y)^2$

Мы видим общий множитель $(x + 2y)$, который можно вынести за скобки:

$(x + 2y) \cdot [(x^2 - 2xy + 4y^2) + (x + 2y)]$

Упростим выражение во вторых скобках:

$(x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2 + x + 2y)$

Ответ: $(x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2 + x + 2y)$.

б) Для того чтобы разложить на множители выражение $8p^3 - q^3 + 4p^2 - 4pq + q^2$, применим метод группировки. Первые два члена представляют собой разность кубов, а последние три — полный квадрат разности.

$(8p^3 - q^3) + (4p^2 - 4pq + q^2)$

Разложим первую группу, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$. В данном случае $a=2p$ и $b=q$.

$(2p)^3 - q^3 = (2p - q)((2p)^2 + (2p)q + q^2) = (2p - q)(4p^2 + 2pq + q^2)$

Разложим вторую группу, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a=2p$ и $b=q$.

$4p^2 - 4pq + q^2 = (2p)^2 - 2 \cdot (2p) \cdot q + q^2 = (2p - q)^2$

Подставим разложения обратно в выражение:

$(2p - q)(4p^2 + 2pq + q^2) + (2p - q)^2$

Вынесем общий множитель $(2p - q)$ за скобки:

$(2p - q) \cdot [(4p^2 + 2pq + q^2) + (2p - q)]$

Упростим выражение во вторых скобках:

$(2p - q)(4p^2 + 2pq + q^2 + 2p - q)$

Ответ: $(2p - q)(4p^2 + 2p + 2pq - q + q^2)$.