Номер 40.24, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

40.24 а) $x^2 + 5xy + 6y^2;$

б) $4m^2 - 5mn + n^2;$

В) $p^2 - pq - 2q^2;$

Г) $a^2 + 7ab + 6b^2.$

а) Для того чтобы разложить на множители выражение $x^2 + 5xy + 6y^2$, мы можем рассматривать его как квадратный трехчлен относительно переменной $x$. Нам необходимо найти два одночлена, произведение которых равно $6y^2$, а их сумма равна $5y$. Этими одночленами являются $2y$ и $3y$, поскольку $2y \cdot 3y = 6y^2$ и $2y + 3y = 5y$.
Теперь представим средний член $5xy$ в виде суммы $2xy + 3xy$:
$x^2 + 5xy + 6y^2 = x^2 + 2xy + 3xy + 6y^2$
Далее применим метод группировки слагаемых:
$(x^2 + 2xy) + (3xy + 6y^2)$
Вынесем общий множитель из каждой группы:
$x(x + 2y) + 3y(x + 2y)$
Теперь вынесем общий множитель $(x + 2y)$ за скобки:
$(x + 2y)(x + 3y)$
Ответ: $(x + 2y)(x + 3y)$

б) Чтобы разложить на множители выражение $4m^2 - 5mn + n^2$, необходимо представить средний член $-5mn$ в виде суммы двух слагаемых. Для этого найдем два числа, произведение которых равно произведению коэффициентов при $m^2$ и $n^2$ (то есть $4 \cdot 1 = 4$), а сумма равна коэффициенту при $mn$ (то есть $-5$). Такими числами являются $-4$ и $-1$.
Представим $-5mn$ как $-4mn - mn$:
$4m^2 - 5mn + n^2 = 4m^2 - 4mn - mn + n^2$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:
$(4m^2 - 4mn) - (mn - n^2) = 4m(m - n) - n(m - n)$
Вынесем общий множитель $(m - n)$:
$(4m - n)(m - n)$
Ответ: $(4m - n)(m - n)$

в) Для разложения на множители выражения $p^2 - pq - 2q^2$, рассмотрим его как квадратный трехчлен относительно переменной $p$. Нам нужно найти два одночлена, произведение которых равно $-2q^2$, а сумма равна $-q$. Этими одночленами являются $-2q$ и $q$, так как $(-2q) \cdot q = -2q^2$ и $-2q + q = -q$.
Представим средний член $-pq$ в виде суммы $-2pq + pq$:
$p^2 - pq - 2q^2 = p^2 - 2pq + pq - 2q^2$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:
$(p^2 - 2pq) + (pq - 2q^2) = p(p - 2q) + q(p - 2q)$
Вынесем общий множитель $(p - 2q)$:
$(p - 2q)(p + q)$
Ответ: $(p - 2q)(p + q)$

г) Чтобы разложить на множители выражение $a^2 + 7ab + 6b^2$, рассмотрим его как квадратный трехчлен относительно переменной $a$. Найдем два одночлена, произведение которых равно $6b^2$, а сумма равна $7b$. Такими одночленами являются $6b$ и $b$, поскольку $6b \cdot b = 6b^2$ и $6b + b = 7b$.
Представим средний член $7ab$ в виде суммы $6ab + ab$:
$a^2 + 7ab + 6b^2 = a^2 + 6ab + ab + 6b^2$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:
$(a^2 + 6ab) + (ab + 6b^2) = a(a + 6b) + b(a + 6b)$
Вынесем общий множитель $(a + 6b)$:
$(a + 6b)(a + b)$
Ответ: $(a + 6b)(a + b)$