Номер 40.23, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Разложите многочлен на множители, представив один из членов многочлена в виде суммы подобных слагаемых:

40.23 а) $a^2 + 7a + 10;$

в) $b^2 - 3b - 4;$

б) $x^4 + 7x^2 + 12;$

г) $y^4 - 5y^2 + 4.$

а)

Чтобы разложить на множители многочлен $a^2 + 7a + 10$, необходимо представить средний член $7a$ в виде суммы подобных слагаемых. Для этого ищем два числа, сумма которых равна коэффициенту при $a$ (число 7), а произведение равно свободному члену (число 10). Этими числами являются 2 и 5, поскольку $2 + 5 = 7$ и $2 \cdot 5 = 10$.

Заменим $7a$ на сумму $2a + 5a$ в исходном многочлене и выполним разложение методом группировки:

$a^2 + 7a + 10 = a^2 + 2a + 5a + 10$

Сгруппируем слагаемые: $(a^2 + 2a) + (5a + 10)$.

Вынесем общий множитель из каждой группы: $a(a + 2) + 5(a + 2)$.

Теперь вынесем общий множитель $(a + 2)$ за скобки, чтобы получить итоговое разложение:

$(a + 2)(a + 5)$

Ответ: $(a + 2)(a + 5)$

б)

Для разложения многочлена $x^4 + 7x^2 + 12$ представим член $7x^2$ в виде суммы. Ищем два числа, сумма которых равна 7, а произведение — 12. Это числа 3 и 4, так как $3+4=7$ и $3 \cdot 4=12$.

Представим $7x^2$ как $3x^2+4x^2$ и выполним группировку:

$x^4 + 7x^2 + 12 = x^4 + 3x^2 + 4x^2 + 12 = (x^4 + 3x^2) + (4x^2 + 12)$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$x^2(x^2 + 3) + 4(x^2 + 3)$

Вынесем общий множитель $(x^2+3)$:

$(x^2 + 3)(x^2 + 4)$

Ответ: $(x^2 + 3)(x^2 + 4)$

в)

В многочлене $b^2 - 3b - 4$ представим средний член $-3b$ в виде суммы. Нам нужны два числа, сумма которых равна -3, а произведение — $1 \cdot (-4) = -4$. Эти числа 1 и -4, так как $1 + (-4) = -3$ и $1 \cdot (-4)=-4$.

Запишем $-3b$ как $b - 4b$ (или $-4b + b$) и сгруппируем слагаемые:

$b^2 - 3b - 4 = b^2 - 4b + b - 4 = (b^2 - 4b) + (b - 4)$

Вынесем общие множители:

$b(b - 4) + 1(b - 4)$

Вынесем общий множитель $(b-4)$:

$(b - 4)(b + 1)$

Ответ: $(b - 4)(b + 1)$

г)

Чтобы разложить многочлен $y^4 - 5y^2 + 4$, представим $-5y^2$ в виде суммы. Нужно найти два числа, сумма которых равна -5, а произведение — 4. Это числа -1 и -4, так как $(-1) + (-4) = -5$ и $(-1) \cdot (-4) = 4$.

Представим $-5y^2$ как $-y^2 - 4y^2$ и сгруппируем слагаемые:

$y^4 - 5y^2 + 4 = y^4 - y^2 - 4y^2 + 4 = (y^4 - y^2) - (4y^2 - 4)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$y^2(y^2 - 1) - 4(y^2 - 1)$

Вынесем за скобки общий множитель $(y^2-1)$:

$(y^2 - 1)(y^2 - 4)$

Оба множителя в полученном выражении являются разностью квадратов. Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ для дальнейшего разложения:

$y^2 - 1 = (y-1)(y+1)$

$y^2 - 4 = y^2 - 2^2 = (y-2)(y+2)$

Итоговое разложение имеет вид:

$(y-1)(y+1)(y-2)(y+2)$

Ответ: $(y-1)(y+1)(y-2)(y+2)$