Номер 40.28, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

40.28 Пусть $x_1 + x_2 = 7, x_1x_2 = 2$. Вычислите:

а) $x_1x_2^2 + x_1^2x_2$;

б) $x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2$;

в) $x_1^2 + x_2^2$;

г) $x_1^3 + x_2^3$.

Для решения этой задачи мы будем использовать данные нам значения суммы $x_1 + x_2 = 7$ и произведения $x_1 x_2 = 2$. Основная идея заключается в том, чтобы преобразовать каждое из предложенных выражений так, чтобы оно зависело только от $x_1 + x_2$ и $x_1 x_2$, а затем подставить известные значения.

а) $x_1 x_2^2 + x_1^2 x_2$
В этом выражении можно вынести за скобки общий множитель $x_1 x_2$:
$x_1 x_2^2 + x_1^2 x_2 = x_1 x_2 (x_2 + x_1)$
Теперь подставим известные нам значения: $x_1 x_2 = 2$ и $x_1 + x_2 = 7$.
$2 \cdot 7 = 14$
Ответ: 14.

б) $x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2$
Это выражение можно преобразовать, добавив и отняв $x_1 x_2$, чтобы использовать формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2) - x_1 x_2 = (x_1 + x_2)^2 - x_1 x_2$
Подставим известные значения $x_1 + x_2 = 7$ и $x_1 x_2 = 2$:
$7^2 - 2 = 49 - 2 = 47$
Ответ: 47.

в) $x_1^2 + x_2^2$
Для нахождения суммы квадратов воспользуемся формулой квадрата суммы $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2$. Выразим из неё искомую сумму:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$
Подставим известные значения $x_1 + x_2 = 7$ и $x_1 x_2 = 2$:
$7^2 - 2 \cdot 2 = 49 - 4 = 45$
Ответ: 45.

г) $x_1^3 + x_2^3$
Для вычисления суммы кубов удобно использовать тождество $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$. Применим его к нашему выражению:
$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1 x_2(x_1 + x_2)$
Подставим известные значения $x_1 + x_2 = 7$ и $x_1 x_2 = 2$ в эту формулу:
$7^3 - 3 \cdot 2 \cdot 7 = 343 - 42 = 301$
Ответ: 301.