Номер 40.25, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Решите уравнение:

40.25

а) $x^3 - x = 0;$

б) $16y - y^3 = 0;$

в) $c^3 + c^2 = 0;$

г) $d^3 + d = 0.$

а) Решим уравнение $x^3 - x = 0$.

Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 1) = 0$

Выражение в скобках, $x^2 - 1$, является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, чтобы разложить его на множители:

$x(x - 1)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы можем приравнять каждый множитель к нулю, чтобы найти все корни уравнения:

$x = 0$ или $x - 1 = 0$ или $x + 1 = 0$

Решая эти простые уравнения, получаем три корня:

$x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$

Ответ: $-1; 0; 1$.

б) Решим уравнение $16y - y^3 = 0$.

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(16 - y^2) = 0$

Выражение в скобках, $16 - y^2$, является разностью квадратов, так как $16 = 4^2$. Разложим его на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$y(4 - y)(4 + y) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:

$y = 0$ или $4 - y = 0$ или $4 + y = 0$

Решая каждое из уравнений, находим корни:

$y_1 = 0$, $y_2 = 4$, $y_3 = -4$

Ответ: $-4; 0; 4$.

в) Решим уравнение $c^3 + c^2 = 0$.

Вынесем за скобки общий множитель с наименьшей степенью, то есть $c^2$:

$c^2(c + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

$c^2 = 0$ или $c + 1 = 0$

Решая эти уравнения, находим два корня:

Из $c^2 = 0$ следует, что $c_1 = 0$.

Из $c + 1 = 0$ следует, что $c_2 = -1$.

Ответ: $-1; 0$.

г) Решим уравнение $d^3 + d = 0$.

Вынесем общий множитель $d$ за скобки:

$d(d^2 + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом:

$d = 0$ или $d^2 + 1 = 0$

Рассмотрим второе уравнение: $d^2 + 1 = 0$, которое можно переписать как $d^2 = -1$.

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной ($d^2 \ge 0$). Следовательно, уравнение $d^2 = -1$ не имеет решений в множестве действительных чисел.

Таким образом, исходное уравнение имеет только один действительный корень.

$d = 0$

Ответ: $0$.