Номер 40.27, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

40.27 Постройте график уравнения:

a) $x^2 - 6xy + 8y^2 = 0;$

б) $2x^2 + 5xy + 2y^2 = 0;$

в) $x^2 + xy - 2y^2 = 0;$

г) $3x^2 - 10xy + 3y^2 = 0.$

Данные уравнения являются однородными уравнениями второй степени. Графиком каждого такого уравнения (если оно имеет решения, отличные от $(0,0)$) является пара прямых, проходящих через начало координат. Чтобы найти эти прямые, можно решить уравнение как квадратное относительно одной из переменных или, что удобнее, разделить его на $y^2$ (или $x^2$), получив квадратное уравнение относительно дроби $\frac{x}{y}$ (или $\frac{y}{x}$).

а) $x^2 - 6xy + 8y^2 = 0$

Рассмотрим два случая.

1. Если $y = 0$, уравнение принимает вид $x^2 = 0$, откуда $x = 0$. Таким образом, точка $(0, 0)$ является решением.

2. Если $y \neq 0$, разделим обе части уравнения на $y^2$:

$\frac{x^2}{y^2} - \frac{6xy}{y^2} + \frac{8y^2}{y^2} = 0$

$(\frac{x}{y})^2 - 6(\frac{x}{y}) + 8 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. Получим квадратное уравнение:

$t^2 - 6t + 8 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.

Возвращаемся к замене:

$\frac{x}{y} = 2$ или $\frac{x}{y} = 4$.

Из этих соотношений получаем уравнения двух прямых:

$x = 2y$, то есть $y = \frac{1}{2}x$

$x = 4y$, то есть $y = \frac{1}{4}x$

Графиком исходного уравнения является объединение этих двух прямых. Обе прямые проходят через точку $(0,0)$, которая является решением из первого случая.

Ответ: Графиком уравнения является пара прямых $y = \frac{1}{2}x$ и $y = \frac{1}{4}x$.

б) $2x^2 + 5xy + 2y^2 = 0$

1. Если $y = 0$, то $2x^2 = 0$, откуда $x=0$. Точка $(0, 0)$ — решение.

2. Если $y \neq 0$, разделим уравнение на $y^2$:

$2(\frac{x}{y})^2 + 5(\frac{x}{y}) + 2 = 0$

Пусть $t = \frac{x}{y}$, тогда:

$2t^2 + 5t + 2 = 0$

Найдём корни через дискриминант:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$

$t = \frac{-5 \pm 3}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 3}{4}$

$t_1 = \frac{-5 - 3}{4} = -2$

$t_2 = \frac{-5 + 3}{4} = -\frac{1}{2}$

Возвращаемся к замене:

$\frac{x}{y} = -2 \implies y = -\frac{1}{2}x$

$\frac{x}{y} = -\frac{1}{2} \implies y = -2x$

Графиком является пара этих прямых.

Ответ: Графиком уравнения является пара прямых $y = -2x$ и $y = -\frac{1}{2}x$.

в) $x^2 + xy - 2y^2 = 0$

1. Если $y = 0$, то $x^2 = 0$, откуда $x=0$. Точка $(0, 0)$ — решение.

2. Если $y \neq 0$, разделим уравнение на $y^2$:

$(\frac{x}{y})^2 + (\frac{x}{y}) - 2 = 0$

Пусть $t = \frac{x}{y}$, тогда:

$t^2 + t - 2 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Возвращаемся к замене:

$\frac{x}{y} = 1 \implies y = x$

$\frac{x}{y} = -2 \implies y = -\frac{1}{2}x$

Графиком является пара этих прямых.

Ответ: Графиком уравнения является пара прямых $y = x$ и $y = -\frac{1}{2}x$.

г) $3x^2 - 10xy + 3y^2 = 0$

1. Если $y = 0$, то $3x^2 = 0$, откуда $x=0$. Точка $(0, 0)$ — решение.

2. Если $y \neq 0$, разделим уравнение на $y^2$:

$3(\frac{x}{y})^2 - 10(\frac{x}{y}) + 3 = 0$

Пусть $t = \frac{x}{y}$, тогда:

$3t^2 - 10t + 3 = 0$

Найдём корни через дискриминант:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$

$t = \frac{10 \pm 8}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$

$t_1 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$t_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Возвращаемся к замене:

$\frac{x}{y} = 3 \implies y = \frac{1}{3}x$

$\frac{x}{y} = \frac{1}{3} \implies y = 3x$

Графиком является пара этих прямых.

Ответ: Графиком уравнения является пара прямых $y = 3x$ и $y = \frac{1}{3}x$.