Номер 40.29, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

40.29 Пусть $x_1 + x_2 = 5$, $x_1 x_2 = -3$. Вычислите:

а) $x_1^4 + x_2^4$;

б) $(x_1 - x_2)^2$;

в) $x_1^3 x_2^2 + x_1^2 x_2^3$;

г) $x_1^2 x_2^4 + x_1^4 x_2^2$.

а) Чтобы вычислить $x_1^4 + x_2^4$, сначала найдем значение выражения $x_1^2 + x_2^2$.
Используем формулу квадрата суммы: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$. Отсюда можно выразить сумму квадратов:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.
Подставив данные из условия ($x_1 + x_2 = 5$, $x_1x_2 = -3$), получаем:
$x_1^2 + x_2^2 = 5^2 - 2(-3) = 25 + 6 = 31$.
Теперь мы можем вычислить $x_1^4 + x_2^4$, которое можно представить как $(x_1^2)^2 + (x_2^2)^2$. Применим ту же логику:
$x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2x_1^2x_2^2 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1x_2)^2$.
Подставляем найденное значение $x_1^2 + x_2^2 = 31$ и данное $x_1x_2 = -3$:
$x_1^4 + x_2^4 = 31^2 - 2(-3)^2 = 961 - 2 \cdot 9 = 961 - 18 = 943$.
Ответ: 943

б) Для вычисления $(x_1 - x_2)^2$ раскроем скобки по формуле квадрата разности: $x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2$.
Чтобы выразить это через известные нам величины, преобразуем выражение:
$(x_1 - x_2)^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - 4x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$.
Подставляем известные значения $x_1 + x_2 = 5$ и $x_1x_2 = -3$:
$(x_1 - x_2)^2 = 5^2 - 4(-3) = 25 + 12 = 37$.
Ответ: 37

в) Рассмотрим выражение $x_1^3 x_2^2 + x_1^2 x_2^3$. Вынесем общий множитель $x_1^2 x_2^2$ за скобки:
$x_1^3 x_2^2 + x_1^2 x_2^3 = x_1^2 x_2^2 (x_1 + x_2) = (x_1x_2)^2 (x_1 + x_2)$.
Подставляем известные значения $x_1 + x_2 = 5$ и $x_1x_2 = -3$:
$(-3)^2 \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45$.
Ответ: 45

г) Рассмотрим выражение $x_1^2 x_2^4 + x_1^4 x_2^2$. Вынесем общий множитель $x_1^2 x_2^2$ за скобки:
$x_1^2 x_2^4 + x_1^4 x_2^2 = x_1^2 x_2^2 (x_2^2 + x_1^2) = (x_1x_2)^2 (x_1^2 + x_2^2)$.
Значение $x_1^2 + x_2^2$ было найдено в пункте а): $x_1^2 + x_2^2 = 31$.
Подставляем известные и ранее вычисленные значения:
$(x_1x_2)^2 (x_1^2 + x_2^2) = (-3)^2 \cdot 31 = 9 \cdot 31 = 279$.
Ответ: 279