Номер 40.26, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

40.26 a) $x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0;$

Б) $y^3 + 2y^2 - 4y - 8 = 0;$

В) $9z + 9 - z^3 - z^2 = 0;$

Г) $p^3 - p^2 - 4p + 4 = 0.$

а) Для решения уравнения $x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0$ применим метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два: $(x^3 + x^2) - (4x + 4) = 0$. Вынесем общие множители из каждой группы: $x^2(x + 1) - 4(x + 1) = 0$. Теперь вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки: $(x+1)(x^2 - 4) = 0$. Второй множитель, $x^2 - 4$, является разностью квадратов, которую можно разложить как $(x - 2)(x + 2)$. Уравнение принимает вид: $(x + 1)(x - 2)(x + 2) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем три корня: $x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$; $x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$; $x + 2 = 0 \Rightarrow x_3 = -2$.
Ответ: $-2; -1; 2$.

б) Решим уравнение $y^3 + 2y^2 - 4y - 8 = 0$ методом группировки. Сгруппируем слагаемые: $(y^3 + 2y^2) - (4y + 8) = 0$. Вынесем общие множители из каждой скобки: $y^2(y + 2) - 4(y + 2) = 0$. Вынесем общий множитель $(y+2)$ за скобки: $(y + 2)(y^2 - 4) = 0$. Разложим $y^2 - 4$ на множители как разность квадратов: $(y+2)(y-2)(y+2) = 0$, что можно записать как $(y + 2)^2(y - 2) = 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда находим корни: $y + 2 = 0 \Rightarrow y_1 = -2$; $y - 2 = 0 \Rightarrow y_2 = 2$.
Ответ: $-2; 2$.

в) Рассмотрим уравнение $9z + 9 - z^3 - z^2 = 0$. Для удобства перегруппируем члены: $(9z + 9) - (z^3 + z^2) = 0$. Вынесем общие множители: $9(z + 1) - z^2(z + 1) = 0$. Вынесем общий множитель $(z+1)$: $(z + 1)(9 - z^2) = 0$. Выражение $9 - z^2$ является разностью квадратов и раскладывается на $(3 - z)(3 + z)$. Уравнение примет вид: $(z + 1)(3 - z)(3 + z) = 0$. Приравнивая каждый множитель к нулю, находим корни: $z + 1 = 0 \Rightarrow z_1 = -1$; $3 - z = 0 \Rightarrow z_2 = 3$; $3 + z = 0 \Rightarrow z_3 = -3$.
Ответ: $-3; -1; 3$.

г) Решим уравнение $p^3 - p^2 - 4p + 4 = 0$. Сгруппируем слагаемые: $(p^3 - p^2) - (4p - 4) = 0$. Вынесем общие множители из каждой группы: $p^2(p - 1) - 4(p - 1) = 0$. Вынесем общий множитель $(p-1)$ за скобки: $(p - 1)(p^2 - 4) = 0$. Разложим $p^2 - 4$ как разность квадратов на $(p - 2)(p + 2)$. Получаем уравнение: $(p - 1)(p - 2)(p + 2) = 0$. Корни уравнения находятся приравниванием каждого множителя к нулю: $p - 1 = 0 \Rightarrow p_1 = 1$; $p - 2 = 0 \Rightarrow p_2 = 2$; $p + 2 = 0 \Rightarrow p_3 = -2$.
Ответ: $-2; 1; 2$.