Номер 40.22, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

40.22 а) $4a^2 - 12ab + 5b^2;$

б) $9c^2 - 24cd + 7d^2;$

в) $25a^2 - 20ab - 12b^2;$

г) $9m^2 - 30mk + 16k^2.$

а) Чтобы разложить на множители выражение $4a^2 - 12ab + 5b^2$, применим метод выделения полного квадрата. Первый член $4a^2$ является квадратом выражения $(2a)$. Удвоенное произведение первого члена на второй должно равняться $-12ab$. Найдем второй член: $2 \cdot 2a \cdot (3b) = 12ab$.
Для получения полного квадрата разности $(2a - 3b)^2 = 4a^2 - 12ab + 9b^2$, нам необходимо иметь член $9b^2$.
Представим исходное выражение, добавив и вычтя $9b^2$:
$4a^2 - 12ab + 5b^2 = (4a^2 - 12ab + 9b^2) - 9b^2 + 5b^2$
Теперь сгруппируем члены, чтобы выделить полный квадрат:
$(4a^2 - 12ab + 9b^2) - 4b^2 = (2a - 3b)^2 - (2b)^2$
Мы получили разность квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$((2a - 3b) - 2b)((2a - 3b) + 2b) = (2a - 3b - 2b)(2a - 3b + 2b) = (2a - 5b)(2a - b)$
Ответ: $(2a - 5b)(2a - b)$

б) Чтобы разложить на множители выражение $9c^2 - 24cd + 7d^2$, выделим полный квадрат. Первый член $9c^2$ — это $(3c)^2$. Удвоенное произведение первого члена на второй равно $-24cd$, то есть $2 \cdot 3c \cdot (4d) = 24cd$.
Для полного квадрата $(3c - 4d)^2 = 9c^2 - 24cd + 16d^2$, нам нужен член $16d^2$.
Добавим и вычтем $16d^2$ в исходном выражении:
$9c^2 - 24cd + 7d^2 = (9c^2 - 24cd + 16d^2) - 16d^2 + 7d^2$
Сгруппируем члены:
$(9c^2 - 24cd + 16d^2) - 9d^2 = (3c - 4d)^2 - (3d)^2$
Применим формулу разности квадратов:
$((3c - 4d) - 3d)((3c - 4d) + 3d) = (3c - 4d - 3d)(3c - 4d + 3d) = (3c - 7d)(3c - d)$
Ответ: $(3c - 7d)(3c - d)$

в) Чтобы разложить на множители выражение $25a^2 - 20ab - 12b^2$, выделим полный квадрат. Первый член $25a^2$ — это $(5a)^2$. Удвоенное произведение первого члена на второй равно $-20ab$, то есть $2 \cdot 5a \cdot (2b) = 20ab$.
Для полного квадрата $(5a - 2b)^2 = 25a^2 - 20ab + 4b^2$, нам нужен член $4b^2$.
Добавим и вычтем $4b^2$:
$25a^2 - 20ab - 12b^2 = (25a^2 - 20ab + 4b^2) - 4b^2 - 12b^2$
Сгруппируем члены:
$(25a^2 - 20ab + 4b^2) - 16b^2 = (5a - 2b)^2 - (4b)^2$
Применим формулу разности квадратов:
$((5a - 2b) - 4b)((5a - 2b) + 4b) = (5a - 2b - 4b)(5a - 2b + 4b) = (5a - 6b)(5a + 2b)$
Ответ: $(5a - 6b)(5a + 2b)$

г) Чтобы разложить на множители выражение $9m^2 - 30mk + 16k^2$, выделим полный квадрат. Первый член $9m^2$ — это $(3m)^2$. Удвоенное произведение первого члена на второй равно $-30mk$, то есть $2 \cdot 3m \cdot (5k) = 30mk$.
Для полного квадрата $(3m - 5k)^2 = 9m^2 - 30mk + 25k^2$, нам нужен член $25k^2$.
Добавим и вычтем $25k^2$:
$9m^2 - 30mk + 16k^2 = (9m^2 - 30mk + 25k^2) - 25k^2 + 16k^2$
Сгруппируем члены:
$(9m^2 - 30mk + 25k^2) - 9k^2 = (3m - 5k)^2 - (3k)^2$
Применим формулу разности квадратов:
$((3m - 5k) - 3k)((3m - 5k) + 3k) = (3m - 5k - 3k)(3m - 5k + 3k) = (3m - 8k)(3m - 2k)$
Ответ: $(3m - 8k)(3m - 2k)$