Номер 40.17, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

40.17 а) $a^3 + 8b^3 + a^2 - 2ab + 4b^2$;

б) $8c^3 - d^3 + 4c^2 + 2cd + d^2$.

а) $a^3 + 8b^3 + a^2 - 2ab + 4b^2$

Для решения сгруппируем слагаемые. Заметим, что выражение $a^3 + 8b^3$ является суммой кубов, а выражение $a^2 - 2ab + 4b^2$ является неполным квадратом разности, который появляется при разложении суммы кубов.

Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(a^3 + 8b^3) + (a^2 - 2ab + 4b^2)$.

Разложим первую группу, используя формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

В данном случае $x = a$ и $y = 2b$, так как $8b^3 = (2b)^3$.

$a^3 + (2b)^3 = (a + 2b)(a^2 - a \cdot 2b + (2b)^2) = (a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)$.

Теперь подставим полученное разложение в сгруппированное выражение:

$(a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2) + (a^2 - 2ab + 4b^2)$.

Мы видим, что $(a^2 - 2ab + 4b^2)$ является общим множителем. Вынесем его за скобки:

$(a^2 - 2ab + 4b^2)((a + 2b) + 1) = (a^2 - 2ab + 4b^2)(a + 2b + 1)$.

Ответ: $(a^2 - 2ab + 4b^2)(a + 2b + 1)$.

б) $8c^3 - d^3 + 4c^2 + 2cd + d^2$

Сгруппируем слагаемые. Выражение $8c^3 - d^3$ является разностью кубов, а $4c^2 + 2cd + d^2$ — неполным квадратом суммы.

Сгруппируем слагаемые: $(8c^3 - d^3) + (4c^2 + 2cd + d^2)$.

Разложим первую группу по формуле разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$.

В данном случае $x = 2c$ и $y = d$, так как $8c^3 = (2c)^3$.

$(2c)^3 - d^3 = (2c - d)((2c)^2 + 2c \cdot d + d^2) = (2c - d)(4c^2 + 2cd + d^2)$.

Подставим результат в исходное сгруппированное выражение:

$(2c - d)(4c^2 + 2cd + d^2) + (4c^2 + 2cd + d^2)$.

Общий множитель здесь — $(4c^2 + 2cd + d^2)$. Вынесем его за скобки:

$(4c^2 + 2cd + d^2)((2c - d) + 1) = (4c^2 + 2cd + d^2)(2c - d + 1)$.

Ответ: $(4c^2 + 2cd + d^2)(2c - d + 1)$.