Номер 40.11, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

40.11 a) $(x^2 + 1)^2 - 4x^2;$

б) $(y^2 + 2y)^2 - 1;$

в) $81 - (c^2 + 6c)^2;$

г) $16m^2 - (m - n)^2.$

а)

Исходное выражение: $(x^2 + 1)^2 - 4x^2$.

Это выражение является разностью квадратов, так как $4x^2$ можно представить в виде $(2x)^2$. Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x^2 + 1$ и $b = 2x$.

$(x^2 + 1)^2 - (2x)^2 = ((x^2 + 1) - 2x)((x^2 + 1) + 2x)$

Теперь раскроем внутренние скобки и перегруппируем слагаемые, чтобы получить стандартные квадратные трехчлены:

$(x^2 - 2x + 1)(x^2 + 2x + 1)$

Каждый из полученных множителей является полным квадратом. Применим формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$

$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$

Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид:

$(x - 1)^2(x + 1)^2$

Ответ: $(x - 1)^2(x + 1)^2$

б)

Исходное выражение: $(y^2 + 2y)^2 - 1$.

Это также разность квадратов, так как $1$ можно представить как $1^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = y^2 + 2y$ и $b = 1$.

$(y^2 + 2y)^2 - 1^2 = ((y^2 + 2y) - 1)((y^2 + 2y) + 1)$

Рассмотрим множители в скобках:

$(y^2 + 2y - 1)(y^2 + 2y + 1)$

Второй множитель, $y^2 + 2y + 1$, является полным квадратом суммы: $(y + 1)^2$.

Первый множитель, $y^2 + 2y - 1$, не раскладывается на множители с целыми коэффициентами, поэтому мы оставляем его в этом виде.

Итоговое разложение на множители:

$(y^2 + 2y - 1)(y + 1)^2$

Ответ: $(y^2 + 2y - 1)(y + 1)^2$

в)

Исходное выражение: $81 - (c^2 + 6c)^2$.

Это разность квадратов, где $81 = 9^2$. Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 9$ и $b = c^2 + 6c$.

$9^2 - (c^2 + 6c)^2 = (9 - (c^2 + 6c))(9 + (c^2 + 6c))$

Раскроем внутренние скобки, обращая внимание на знак минус в первом множителе:

$(9 - c^2 - 6c)(9 + c^2 + 6c)$

Рассмотрим второй множитель $c^2 + 6c + 9$. Это полный квадрат суммы: $c^2 + 2 \cdot c \cdot 3 + 3^2 = (c + 3)^2$.

Первый множитель $9 - c^2 - 6c$ оставим без изменений.

Окончательное разложение:

$(9 - c^2 - 6c)(c + 3)^2$

Ответ: $(9 - c^2 - 6c)(c + 3)^2$

г)

Исходное выражение: $16m^2 - (m - n)^2$.

Это разность квадратов, так как $16m^2 = (4m)^2$. Используем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 4m$ и $b = m - n$.

$(4m)^2 - (m - n)^2 = (4m - (m - n))(4m + (m - n))$

Раскроем внутренние скобки:

$(4m - m + n)(4m + m - n)$

Приведем подобные слагаемые в каждой из скобок:

$(3m + n)(5m - n)$

Это окончательный вид разложения.

Ответ: $(3m + n)(5m - n)$