Номер 40.9, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

40.9 a) $6x^5y - 24xy^3$;

б) $0.1x^4y - 2.7xy^4$;

в) $0.3y^2 - 2.7y^6$;

г) $3a^4b^2 + 24ab^5$.

а) $6x^5y - 24xy^3$

Чтобы разложить данный многочлен на множители, необходимо вынести за скобки общий множитель.
1. Находим наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 6 и 24. НОД(6, 24) = 6.
2. Находим общие переменные с наименьшей степенью. Для переменной $x$ это $x^1$ (или просто $x$), для переменной $y$ это $y^1$ (или $y$).
3. Таким образом, общий множитель для вынесения за скобки — это $6xy$.
4. Выносим $6xy$ за скобки, разделив каждый член исходного многочлена на этот общий множитель:
$6x^5y - 24xy^3 = 6xy \cdot (\frac{6x^5y}{6xy} - \frac{24xy^3}{6xy}) = 6xy(x^{5-1}y^{1-1} - 4x^{1-1}y^{3-1}) = 6xy(x^4 - 4y^2)$.
Стоит заметить, что выражение в скобках $x^4 - 4y^2$ само по себе является разностью квадратов и может быть разложено дальше по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ как $(x^2-2y)(x^2+2y)$. Однако, в рамках задачи по вынесению общего множителя, полученный результат является достаточным.
Ответ: $6xy(x^4 - 4y^2)$.

б) $0,1x^4y - 2,7xy^4$

1. Находим общий делитель для коэффициентов 0,1 и 2,7. Наибольший общий делитель для этих чисел — 0,1.
2. Находим общие переменные в наименьших степенях: $x$ и $y$.
3. Общий множитель, который можно вынести за скобки, — это $0,1xy$.
4. Выполняем вынесение за скобки:
$0,1x^4y - 2,7xy^4 = 0,1xy \cdot (\frac{0,1x^4y}{0,1xy} - \frac{2,7xy^4}{0,1xy}) = 0,1xy(x^3 - 27y^3)$.
Выражение в скобках $x^3 - 27y^3$ является разностью кубов, которую можно разложить по формуле $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Ответ: $0,1xy(x^3 - 27y^3)$.

в) $0,3y^2 - 2,7y^6$

1. Находим общий делитель для коэффициентов 0,3 и 2,7, который равен 0,3.
2. Единственная переменная — $y$. Ее наименьшая степень в данном выражении — $y^2$.
3. Общий множитель — $0,3y^2$.
4. Выносим его за скобки:
$0,3y^2 - 2,7y^6 = 0,3y^2 \cdot (\frac{0,3y^2}{0,3y^2} - \frac{2,7y^6}{0,3y^2}) = 0,3y^2(1 - 9y^{6-2}) = 0,3y^2(1 - 9y^4)$.
Выражение в скобках $1 - 9y^4$ является разностью квадратов и может быть разложено дальше.
Ответ: $0,3y^2(1 - 9y^4)$.

г) $3a^4b^2 + 24ab^5$

1. Находим НОД для коэффициентов 3 и 24. НОД(3, 24) = 3.
2. Находим общие переменные в наименьших степенях: для $a$ это $a$, для $b$ это $b^2$.
3. Общий множитель для вынесения за скобки — $3ab^2$.
4. Выносим его за скобки:
$3a^4b^2 + 24ab^5 = 3ab^2 \cdot (\frac{3a^4b^2}{3ab^2} + \frac{24ab^5}{3ab^2}) = 3ab^2(a^{4-1}b^{2-2} + 8a^{1-1}b^{5-2}) = 3ab^2(a^3 + 8b^3)$.
Выражение в скобках $a^3 + 8b^3$ является суммой кубов, которую можно разложить по формуле $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$.
Ответ: $3ab^2(a^3 + 8b^3)$.