Страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

40.9 a) $6x^5y - 24xy^3$;

б) $0.1x^4y - 2.7xy^4$;

в) $0.3y^2 - 2.7y^6$;

г) $3a^4b^2 + 24ab^5$.

а) $6x^5y - 24xy^3$

Чтобы разложить данный многочлен на множители, необходимо вынести за скобки общий множитель.
1. Находим наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 6 и 24. НОД(6, 24) = 6.
2. Находим общие переменные с наименьшей степенью. Для переменной $x$ это $x^1$ (или просто $x$), для переменной $y$ это $y^1$ (или $y$).
3. Таким образом, общий множитель для вынесения за скобки — это $6xy$.
4. Выносим $6xy$ за скобки, разделив каждый член исходного многочлена на этот общий множитель:
$6x^5y - 24xy^3 = 6xy \cdot (\frac{6x^5y}{6xy} - \frac{24xy^3}{6xy}) = 6xy(x^{5-1}y^{1-1} - 4x^{1-1}y^{3-1}) = 6xy(x^4 - 4y^2)$.
Стоит заметить, что выражение в скобках $x^4 - 4y^2$ само по себе является разностью квадратов и может быть разложено дальше по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ как $(x^2-2y)(x^2+2y)$. Однако, в рамках задачи по вынесению общего множителя, полученный результат является достаточным.
Ответ: $6xy(x^4 - 4y^2)$.

б) $0,1x^4y - 2,7xy^4$

1. Находим общий делитель для коэффициентов 0,1 и 2,7. Наибольший общий делитель для этих чисел — 0,1.
2. Находим общие переменные в наименьших степенях: $x$ и $y$.
3. Общий множитель, который можно вынести за скобки, — это $0,1xy$.
4. Выполняем вынесение за скобки:
$0,1x^4y - 2,7xy^4 = 0,1xy \cdot (\frac{0,1x^4y}{0,1xy} - \frac{2,7xy^4}{0,1xy}) = 0,1xy(x^3 - 27y^3)$.
Выражение в скобках $x^3 - 27y^3$ является разностью кубов, которую можно разложить по формуле $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Ответ: $0,1xy(x^3 - 27y^3)$.

в) $0,3y^2 - 2,7y^6$

1. Находим общий делитель для коэффициентов 0,3 и 2,7, который равен 0,3.
2. Единственная переменная — $y$. Ее наименьшая степень в данном выражении — $y^2$.
3. Общий множитель — $0,3y^2$.
4. Выносим его за скобки:
$0,3y^2 - 2,7y^6 = 0,3y^2 \cdot (\frac{0,3y^2}{0,3y^2} - \frac{2,7y^6}{0,3y^2}) = 0,3y^2(1 - 9y^{6-2}) = 0,3y^2(1 - 9y^4)$.
Выражение в скобках $1 - 9y^4$ является разностью квадратов и может быть разложено дальше.
Ответ: $0,3y^2(1 - 9y^4)$.

г) $3a^4b^2 + 24ab^5$

1. Находим НОД для коэффициентов 3 и 24. НОД(3, 24) = 3.
2. Находим общие переменные в наименьших степенях: для $a$ это $a$, для $b$ это $b^2$.
3. Общий множитель для вынесения за скобки — $3ab^2$.
4. Выносим его за скобки:
$3a^4b^2 + 24ab^5 = 3ab^2 \cdot (\frac{3a^4b^2}{3ab^2} + \frac{24ab^5}{3ab^2}) = 3ab^2(a^{4-1}b^{2-2} + 8a^{1-1}b^{5-2}) = 3ab^2(a^3 + 8b^3)$.
Выражение в скобках $a^3 + 8b^3$ является суммой кубов, которую можно разложить по формуле $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$.
Ответ: $3ab^2(a^3 + 8b^3)$.

40.10 a) $(m+3)^3 - 8;$

Б) $(c-1)^3 + 27;$

В) $(a-12)^3 - 125;$

Г) $(b+4)^3 + 64.$

а) Для разложения на множители выражения $(m + 3)^3 - 8$ применим формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
Сначала представим число $8$ в виде куба: $8 = 2^3$. Выражение примет вид: $(m + 3)^3 - 2^3$.
В данном случае $x = m + 3$, а $y = 2$.
Подставим эти значения в формулу разности кубов:
$((m + 3) - 2)((m + 3)^2 + (m + 3) \cdot 2 + 2^2)$
Упростим первый множитель:
$m + 3 - 2 = m + 1$
Упростим второй множитель, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$(m^2 + 2 \cdot m \cdot 3 + 3^2) + (2m + 6) + 4 = m^2 + 6m + 9 + 2m + 6 + 4 = m^2 + 8m + 19$
В результате получаем произведение:
$(m + 1)(m^2 + 8m + 19)$
Ответ: $(m + 1)(m^2 + 8m + 19)$

б) Для разложения на множители выражения $(c - 1)^3 + 27$ используем формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
Представим число $27$ в виде куба: $27 = 3^3$. Выражение примет вид: $(c - 1)^3 + 3^3$.
Здесь $x = c - 1$, а $y = 3$.
Подставим значения в формулу суммы кубов:
$((c - 1) + 3)((c - 1)^2 - (c - 1) \cdot 3 + 3^2)$
Упростим первый множитель:
$c - 1 + 3 = c + 2$
Упростим второй множитель:
$(c^2 - 2c + 1) - (3c - 3) + 9 = c^2 - 2c + 1 - 3c + 3 + 9 = c^2 - 5c + 13$
В результате получаем произведение:
$(c + 2)(c^2 - 5c + 13)$
Ответ: $(c + 2)(c^2 - 5c + 13)$

в) Для разложения на множители выражения $(a - 12)^3 - 125$ применим формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
Представим число $125$ в виде куба: $125 = 5^3$. Выражение примет вид: $(a - 12)^3 - 5^3$.
Здесь $x = a - 12$, а $y = 5$.
Подставим значения в формулу разности кубов:
$((a - 12) - 5)((a - 12)^2 + (a - 12) \cdot 5 + 5^2)$
Упростим первый множитель:
$a - 12 - 5 = a - 17$
Упростим второй множитель:
$(a^2 - 24a + 144) + (5a - 60) + 25 = a^2 - 24a + 144 + 5a - 60 + 25 = a^2 - 19a + 109$
В результате получаем произведение:
$(a - 17)(a^2 - 19a + 109)$
Ответ: $(a - 17)(a^2 - 19a + 109)$

г) Для разложения на множители выражения $(b + 4)^3 + 64$ используем формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
Представим число $64$ в виде куба: $64 = 4^3$. Выражение примет вид: $(b + 4)^3 + 4^3$.
Здесь $x = b + 4$, а $y = 4$.
Подставим значения в формулу суммы кубов:
$((b + 4) + 4)((b + 4)^2 - (b + 4) \cdot 4 + 4^2)$
Упростим первый множитель:
$b + 4 + 4 = b + 8$
Упростим второй множитель:
$(b^2 + 8b + 16) - (4b + 16) + 16 = b^2 + 8b + 16 - 4b - 16 + 16 = b^2 + 4b + 16$
В результате получаем произведение:
$(b + 8)(b^2 + 4b + 16)$
Ответ: $(b + 8)(b^2 + 4b + 16)$

40.11 a) $(x^2 + 1)^2 - 4x^2;$

б) $(y^2 + 2y)^2 - 1;$

в) $81 - (c^2 + 6c)^2;$

г) $16m^2 - (m - n)^2.$

а)

Исходное выражение: $(x^2 + 1)^2 - 4x^2$.

Это выражение является разностью квадратов, так как $4x^2$ можно представить в виде $(2x)^2$. Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x^2 + 1$ и $b = 2x$.

$(x^2 + 1)^2 - (2x)^2 = ((x^2 + 1) - 2x)((x^2 + 1) + 2x)$

Теперь раскроем внутренние скобки и перегруппируем слагаемые, чтобы получить стандартные квадратные трехчлены:

$(x^2 - 2x + 1)(x^2 + 2x + 1)$

Каждый из полученных множителей является полным квадратом. Применим формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$

$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$

Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид:

$(x - 1)^2(x + 1)^2$

Ответ: $(x - 1)^2(x + 1)^2$

б)

Исходное выражение: $(y^2 + 2y)^2 - 1$.

Это также разность квадратов, так как $1$ можно представить как $1^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = y^2 + 2y$ и $b = 1$.

$(y^2 + 2y)^2 - 1^2 = ((y^2 + 2y) - 1)((y^2 + 2y) + 1)$

Рассмотрим множители в скобках:

$(y^2 + 2y - 1)(y^2 + 2y + 1)$

Второй множитель, $y^2 + 2y + 1$, является полным квадратом суммы: $(y + 1)^2$.

Первый множитель, $y^2 + 2y - 1$, не раскладывается на множители с целыми коэффициентами, поэтому мы оставляем его в этом виде.

Итоговое разложение на множители:

$(y^2 + 2y - 1)(y + 1)^2$

Ответ: $(y^2 + 2y - 1)(y + 1)^2$

в)

Исходное выражение: $81 - (c^2 + 6c)^2$.

Это разность квадратов, где $81 = 9^2$. Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 9$ и $b = c^2 + 6c$.

$9^2 - (c^2 + 6c)^2 = (9 - (c^2 + 6c))(9 + (c^2 + 6c))$

Раскроем внутренние скобки, обращая внимание на знак минус в первом множителе:

$(9 - c^2 - 6c)(9 + c^2 + 6c)$

Рассмотрим второй множитель $c^2 + 6c + 9$. Это полный квадрат суммы: $c^2 + 2 \cdot c \cdot 3 + 3^2 = (c + 3)^2$.

Первый множитель $9 - c^2 - 6c$ оставим без изменений.

Окончательное разложение:

$(9 - c^2 - 6c)(c + 3)^2$

Ответ: $(9 - c^2 - 6c)(c + 3)^2$

г)

Исходное выражение: $16m^2 - (m - n)^2$.

Это разность квадратов, так как $16m^2 = (4m)^2$. Используем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 4m$ и $b = m - n$.

$(4m)^2 - (m - n)^2 = (4m - (m - n))(4m + (m - n))$

Раскроем внутренние скобки:

$(4m - m + n)(4m + m - n)$

Приведем подобные слагаемые в каждой из скобок:

$(3m + n)(5m - n)$

Это окончательный вид разложения.

Ответ: $(3m + n)(5m - n)$

Разложите многочлен на множители:

40.12 а) $(a^2 + 2ab + b^2) - c^2;

б) $1 - m^2 - 2mn - n^2;

в) $16 - (x^2 - 2xy + y^2);

г) $4 - p^2 - 2pq - q^2.$

а) В выражении $(a^2 + 2ab + b^2) - c^2$ заметим, что часть в скобках является формулой квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.

Подставив это в исходное выражение, получим:

$(a+b)^2 - c^2$

Это выражение представляет собой разность квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = a+b$ и $y = c$:

$(a+b)^2 - c^2 = ((a+b) - c)((a+b) + c) = (a+b-c)(a+b+c)$.

Ответ: $(a+b-c)(a+b+c)$

б) В многочлене $1 - m^2 - 2mn - n^2$ сгруппируем последние три члена и вынесем знак минус за скобку:

$1 - (m^2 + 2mn + n^2)$

Выражение в скобках является квадратом суммы: $m^2 + 2mn + n^2 = (m+n)^2$.

Теперь исходное выражение можно записать как $1 - (m+n)^2$, или $1^2 - (m+n)^2$. Это разность квадратов.

Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = 1$ и $y = m+n$:

$1^2 - (m+n)^2 = (1 - (m+n))(1 + (m+n)) = (1-m-n)(1+m+n)$.

Ответ: $(1-m-n)(1+m+n)$

в) В выражении $16 - (x^2 - 2xy + y^2)$ часть в скобках является формулой квадрата разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$.

Подставим это в исходное выражение:

$16 - (x-y)^2$

Представим 16 как $4^2$, чтобы получить разность квадратов: $4^2 - (x-y)^2$.

Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = 4$ и $y = x-y$:

$4^2 - (x-y)^2 = (4 - (x-y))(4 + (x-y)) = (4-x+y)(4+x-y)$.

Ответ: $(4-x+y)(4+x-y)$

г) В многочлене $4 - p^2 - 2pq - q^2$ вынесем знак минус за скобку у последних трех членов:

$4 - (p^2 + 2pq + q^2)$

Выражение в скобках является квадратом суммы: $p^2 + 2pq + q^2 = (p+q)^2$.

Исходное выражение принимает вид: $4 - (p+q)^2$. Представим 4 как $2^2$ и получим разность квадратов $2^2 - (p+q)^2$.

Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = 2$ и $y = p+q$:

$2^2 - (p+q)^2 = (2 - (p+q))(2 + (p+q)) = (2-p-q)(2+p+q)$.

Ответ: $(2-p-q)(2+p+q)$

40.13 а) $x^2 - 2xc + c^2 - d^2$;

Б) $a^2 + 2a - b^2 + 1$;

В) $c^2 - d^2 + 6c + 9$;

Г) $r^2 - s^2 - 10s - 25$.

а) $x^2 - 2xc + c^2 - d^2$

Для разложения на множители данного выражения сгруппируем первые три члена: $(x^2 - 2xc + c^2)$. Эта группа представляет собой формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=c$.

Таким образом, выражение можно переписать в виде:

$(x-c)^2 - d^2$

Теперь мы имеем разность квадратов, которая раскладывается по формуле $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$. В нашем случае $A = (x-c)$ и $B = d$.

Применяя эту формулу, получаем:

$((x-c) - d)((x-c) + d) = (x-c-d)(x-c+d)$

Ответ: $(x-c-d)(x-c+d)$

б) $a^2 + 2a - b^2 + 1$

Перегруппируем члены выражения, чтобы выделить полный квадрат: $(a^2 + 2a + 1) - b^2$.

Выражение в скобках $a^2 + 2a + 1$ является квадратом суммы: $(a+1)^2$.

Подставим это в наше выражение:

$(a+1)^2 - b^2$

Теперь это разность квадратов, где $A = (a+1)$ и $B = b$. Раскладываем по формуле $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$:

$((a+1) - b)((a+1) + b) = (a-b+1)(a+b+1)$

Ответ: $(a-b+1)(a+b+1)$

в) $c^2 - d^2 + 6c + 9$

Сначала сгруппируем члены, содержащие переменную $c$, с числом 9: $(c^2 + 6c + 9) - d^2$.

Выражение в скобках $c^2 + 6c + 9$ является полным квадратом суммы: $(c+3)^2$, так как $c^2 + 2 \cdot c \cdot 3 + 3^2 = (c+3)^2$.

Теперь исходное выражение можно записать как:

$(c+3)^2 - d^2$

Это разность квадратов, где $A = (c+3)$ и $B = d$. Применяем формулу $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$:

$((c+3) - d)((c+3) + d) = (c-d+3)(c+d+3)$

Ответ: $(c-d+3)(c+d+3)$

г) $r^2 - s^2 - 10s - 25$

Чтобы разложить это выражение на множители, сгруппируем последние три члена и вынесем знак минус за скобку:

$r^2 - (s^2 + 10s + 25)$

Выражение в скобках $s^2 + 10s + 25$ является полным квадратом суммы: $(s+5)^2$, так как $s^2 + 2 \cdot s \cdot 5 + 5^2 = (s+5)^2$.

Подставим это обратно в выражение:

$r^2 - (s+5)^2$

Мы получили разность квадратов, где $A = r$ и $B = (s+5)$. Раскладываем по формуле $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$:

$(r - (s+5))(r + (s+5)) = (r-s-5)(r+s+5)$

Ответ: $(r-s-5)(r+s+5)$

40.14 а) $x^2 + 2xy - m^2 + y^2$;

б) $c^2 - a^2 + 2ab - b^2$;

В) $m^2 - n^2 - 8m + 16$;

Г) $9 - p^2 + q^2 - 6q$.

а) $x^2 + 2xy - m^2 + y^2$

Для решения сгруппируем слагаемые, содержащие переменные $x$ и $y$. Заметим, что $x^2$, $2xy$ и $y^2$ образуют формулу сокращенного умножения, а именно квадрат суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.

Перепишем исходное выражение, сгруппировав эти слагаемые:

$(x^2 + 2xy + y^2) - m^2 = (x+y)^2 - m^2$.

Теперь мы получили выражение вида "разность квадратов", которое раскладывается на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В нашем случае $a = (x+y)$ и $b = m$.

Применим формулу:

$(x+y)^2 - m^2 = ( (x+y) - m )( (x+y) + m ) = (x+y-m)(x+y+m)$.

Ответ: $(x+y-m)(x+y+m)$.

б) $c^2 - a^2 + 2ab - b^2$

В этом выражении сгруппируем слагаемые с переменными $a$ и $b$. Вынесем знак минус за скобку, чтобы получить стандартный вид формулы сокращенного умножения:

$c^2 - (a^2 - 2ab + b^2)$.

Выражение в скобках представляет собой квадрат разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

Подставим это в наше выражение:

$c^2 - (a-b)^2$.

Теперь мы снова можем применить формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=c$ и $y=(a-b)$.

$c^2 - (a-b)^2 = (c - (a-b))(c + (a-b)) = (c-a+b)(c+a-b)$.

Ответ: $(c-a+b)(c+a-b)$.

в) $m^2 - n^2 - 8m + 16$

Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $m$ и константу: $m^2 - 8m + 16$. Это выражение является полным квадратом разности, так как $m^2 - 2 \cdot m \cdot 4 + 4^2 = (m-4)^2$.

Перепишем исходное выражение:

$(m^2 - 8m + 16) - n^2 = (m-4)^2 - n^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = (m-4)$ и $b = n$.

$(m-4)^2 - n^2 = ( (m-4) - n )( (m-4) + n ) = (m-4-n)(m-4+n)$.

Ответ: $(m-n-4)(m+n-4)$.

г) $9 - p^2 + q^2 - 6q$

Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $q$ и константу: $q^2 - 6q + 9$. Это выражение является полным квадратом разности: $q^2 - 2 \cdot q \cdot 3 + 3^2 = (q-3)^2$.

Переставим слагаемые в исходном выражении для наглядности:

$(q^2 - 6q + 9) - p^2 = (q-3)^2 - p^2$.

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = (q-3)$ и $b = p$.

$(q-3)^2 - p^2 = ( (q-3) - p )( (q-3) + p ) = (q-3-p)(q-3+p)$.

Ответ: $(q-p-3)(q+p-3)$.

40.15 а) $x^3 - x^2y - xy^2 + y^3;$

Б) $c^2 + 2c - d^2 + 2d;$

В) $a^3 + a^2b - ab^2 - b^3;$

Г) $m^2 - 2n - m - 4n^2.$

а) Для того чтобы разложить на множители многочлен $x^3 - x^2y - xy^2 + y^3$, применим метод группировки. Сгруппируем первый член со вторым, а третий с четвертым:

$(x^3 - x^2y) - (xy^2 - y^3)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x^2$, а во второй — $y^2$. Обратите внимание, что при вынесении знака "минус" перед второй скобкой знаки слагаемых в ней изменились на противоположные.

$x^2(x - y) - y^2(x - y)$

Теперь мы видим общий для обоих слагаемых множитель $(x - y)$, который также можно вынести за скобки:

$(x - y)(x^2 - y^2)$

Выражение во второй скобке $(x^2 - y^2)$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(x - y)(x - y)(x + y)$

Запишем полученное выражение в более компактном виде:

$(x - y)^2(x + y)$

Ответ: $(x-y)^2(x+y)$

б) Чтобы разложить на множители многочлен $c^2 + 2c - d^2 + 2d$, перегруппируем его члены. Удобнее всего сгруппировать члены с квадратами и члены первой степени:

$(c^2 - d^2) + (2c + 2d)$

Первая группа $(c^2 - d^2)$ — это разность квадратов. Разложим ее по формуле:

$(c - d)(c + d)$

Во второй группе $(2c + 2d)$ вынесем за скобки общий множитель 2:

$2(c + d)$

Теперь исходное выражение можно записать в виде:

$(c - d)(c + d) + 2(c + d)$

Общим множителем является скобка $(c + d)$. Вынесем ее за скобки:

$(c + d)((c - d) + 2)$

Раскрыв внутренние скобки, получим окончательный результат:

$(c + d)(c - d + 2)$

Ответ: $(c+d)(c-d+2)$

в) Разложим на множители многочлен $a^3 + a^2b - ab^2 - b^3$ методом группировки. Сгруппируем первые два члена и последние два:

$(a^3 + a^2b) - (ab^2 + b^3)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $a^2$, а во второй — $b^2$:

$a^2(a + b) - b^2(a + b)$

Теперь у нас есть общий множитель $(a + b)$, который мы выносим за скобки:

$(a + b)(a^2 - b^2)$

Выражение $(a^2 - b^2)$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле:

$(a + b)(a - b)(a + b)$

Запишем результат в более компактном виде:

$(a + b)^2(a - b)$

Ответ: $(a+b)^2(a-b)$

г) Для разложения на множители многочлена $m^2 - 2n - m - 4n^2$ перегруппируем его члены. Сгруппируем члены, содержащие квадраты, и оставшиеся члены:

$(m^2 - 4n^2) - (m + 2n)$

Выражение в первой скобке $(m^2 - 4n^2)$ является разностью квадратов, так как $4n^2 = (2n)^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(m - 2n)(m + 2n)$

Теперь всё выражение выглядит так:

$(m - 2n)(m + 2n) - (m + 2n)$

Мы видим общий множитель $(m + 2n)$. Вынесем его за скобки. От первого слагаемого останется $(m - 2n)$, а от второго $-1$:

$(m + 2n)((m - 2n) - 1)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(m + 2n)(m - 2n - 1)$

Ответ: $(m+2n)(m-2n-1)$

Разложите многочлен на множители:

40.16 a) $x^2(x - 3) - 2x(x - 3) + x - 3$;

б) $(1 - a)^2 - 4a(1 - a)^2 + 4a^2(1 - a)^2$.

а) $x^2(x - 3) - 2x(x - 3) + x - 3$

Для разложения данного многочлена на множители, заметим, что выражение $(x - 3)$ является общим для всех трёх слагаемых. Представим многочлен в виде, где этот общий множитель виден явно:

$x^2 \cdot (x - 3) - 2x \cdot (x - 3) + 1 \cdot (x - 3)$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки:

$(x - 3)(x^2 - 2x + 1)$

Выражение во второй скобке, $x^2 - 2x + 1$, является полным квадратом разности. Его можно свернуть, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = x$ и $b = 1$.

$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$

Подставляя полученное выражение обратно, мы получаем окончательное разложение на множители:

$(x - 3)(x - 1)^2$

Ответ: $(x - 3)(x - 1)^2$.

б) $(1 - a)^2 - 4a(1 - a)^2 + 4a^2(1 - a)^2$

В этом выражении мы видим, что $(1 - a)^2$ является общим множителем для всех слагаемых. Вынесем его за скобки:

$(1 - a)^2(1 - 4a + 4a^2)$

Рассмотрим многочлен во второй скобке: $1 - 4a + 4a^2$. Это выражение также является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой $(X - Y)^2 = X^2 - 2XY + Y^2$.

В нашем случае $X = 1$ и $Y = 2a$. Проверим: $X^2 = 1^2 = 1$, $Y^2 = (2a)^2 = 4a^2$, и $2XY = 2 \cdot 1 \cdot 2a = 4a$.

Таким образом, $1 - 4a + 4a^2 = (1 - 2a)^2$.

Теперь мы можем записать исходное выражение в разложенном на множители виде:

$(1 - a)^2(1 - 2a)^2$

Ответ: $(1 - a)^2(1 - 2a)^2$.

40.17 а) $a^3 + 8b^3 + a^2 - 2ab + 4b^2$;

б) $8c^3 - d^3 + 4c^2 + 2cd + d^2$.

а) $a^3 + 8b^3 + a^2 - 2ab + 4b^2$

Для решения сгруппируем слагаемые. Заметим, что выражение $a^3 + 8b^3$ является суммой кубов, а выражение $a^2 - 2ab + 4b^2$ является неполным квадратом разности, который появляется при разложении суммы кубов.

Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(a^3 + 8b^3) + (a^2 - 2ab + 4b^2)$.

Разложим первую группу, используя формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

В данном случае $x = a$ и $y = 2b$, так как $8b^3 = (2b)^3$.

$a^3 + (2b)^3 = (a + 2b)(a^2 - a \cdot 2b + (2b)^2) = (a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)$.

Теперь подставим полученное разложение в сгруппированное выражение:

$(a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2) + (a^2 - 2ab + 4b^2)$.

Мы видим, что $(a^2 - 2ab + 4b^2)$ является общим множителем. Вынесем его за скобки:

$(a^2 - 2ab + 4b^2)((a + 2b) + 1) = (a^2 - 2ab + 4b^2)(a + 2b + 1)$.

Ответ: $(a^2 - 2ab + 4b^2)(a + 2b + 1)$.

б) $8c^3 - d^3 + 4c^2 + 2cd + d^2$

Сгруппируем слагаемые. Выражение $8c^3 - d^3$ является разностью кубов, а $4c^2 + 2cd + d^2$ — неполным квадратом суммы.

Сгруппируем слагаемые: $(8c^3 - d^3) + (4c^2 + 2cd + d^2)$.

Разложим первую группу по формуле разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$.

В данном случае $x = 2c$ и $y = d$, так как $8c^3 = (2c)^3$.

$(2c)^3 - d^3 = (2c - d)((2c)^2 + 2c \cdot d + d^2) = (2c - d)(4c^2 + 2cd + d^2)$.

Подставим результат в исходное сгруппированное выражение:

$(2c - d)(4c^2 + 2cd + d^2) + (4c^2 + 2cd + d^2)$.

Общий множитель здесь — $(4c^2 + 2cd + d^2)$. Вынесем его за скобки:

$(4c^2 + 2cd + d^2)((2c - d) + 1) = (4c^2 + 2cd + d^2)(2c - d + 1)$.

Ответ: $(4c^2 + 2cd + d^2)(2c - d + 1)$.

40.18 а) $x^3 + 8y^3 + x^2 + 4xy + 4y^2$;

б) $8p^3 - q^3 + 4p^2 - 4pq + q^2$.

а) Для того чтобы разложить на множители выражение $x^3 + 8y^3 + x^2 + 4xy + 4y^2$, сгруппируем его члены. Заметим, что первые два члена образуют сумму кубов, а последние три — полный квадрат.

$(x^3 + 8y^3) + (x^2 + 4xy + 4y^2)$

Разложим первую группу, используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$. В нашем случае $a=x$ и $b=2y$.

$x^3 + (2y)^3 = (x + 2y)(x^2 - x(2y) + (2y)^2) = (x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2)$

Разложим вторую группу, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=2y$.

$x^2 + 4xy + 4y^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot (2y) + (2y)^2 = (x + 2y)^2$

Теперь подставим полученные разложения в исходное сгруппированное выражение:

$(x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2) + (x + 2y)^2$

Мы видим общий множитель $(x + 2y)$, который можно вынести за скобки:

$(x + 2y) \cdot [(x^2 - 2xy + 4y^2) + (x + 2y)]$

Упростим выражение во вторых скобках:

$(x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2 + x + 2y)$

Ответ: $(x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2 + x + 2y)$.

б) Для того чтобы разложить на множители выражение $8p^3 - q^3 + 4p^2 - 4pq + q^2$, применим метод группировки. Первые два члена представляют собой разность кубов, а последние три — полный квадрат разности.

$(8p^3 - q^3) + (4p^2 - 4pq + q^2)$

Разложим первую группу, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$. В данном случае $a=2p$ и $b=q$.

$(2p)^3 - q^3 = (2p - q)((2p)^2 + (2p)q + q^2) = (2p - q)(4p^2 + 2pq + q^2)$

Разложим вторую группу, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a=2p$ и $b=q$.

$4p^2 - 4pq + q^2 = (2p)^2 - 2 \cdot (2p) \cdot q + q^2 = (2p - q)^2$

Подставим разложения обратно в выражение:

$(2p - q)(4p^2 + 2pq + q^2) + (2p - q)^2$

Вынесем общий множитель $(2p - q)$ за скобки:

$(2p - q) \cdot [(4p^2 + 2pq + q^2) + (2p - q)]$

Упростим выражение во вторых скобках:

$(2p - q)(4p^2 + 2pq + q^2 + 2p - q)$

Ответ: $(2p - q)(4p^2 + 2p + 2pq - q + q^2)$.

40.19 a) $a^3 - a^2 - 2a + 8;$

б) $b^3 - 6b^2 - 6b + 1.$

а) Чтобы разложить на множители многочлен $a^3 - a^2 - 2a + 8$, применим метод группировки слагаемых. Сгруппируем первый член с четвертым, а второй с третьим.

$a^3 - a^2 - 2a + 8 = (a^3 + 8) + (-a^2 - 2a) = (a^3 + 2^3) - (a^2 + 2a)$

Первую скобку $(a^3 + 2^3)$ разложим по формуле суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$:

$(a^3 + 2^3) = (a+2)(a^2 - 2a + 4)$

Во второй скобке $(a^2 + 2a)$ вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$(a^2 + 2a) = a(a+2)$

Теперь подставим полученные разложения обратно в выражение:

$(a+2)(a^2 - 2a + 4) - a(a+2)$

Мы видим общий множитель $(a+2)$, который можно вынести за скобки:

$(a+2)((a^2 - 2a + 4) - a)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(a+2)(a^2 - 2a - a + 4) = (a+2)(a^2 - 3a + 4)$

Чтобы проверить, можно ли разложить квадратный трехчлен $a^2 - 3a + 4$, найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), этот квадратный трехчлен не имеет действительных корней и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами. Следовательно, полученное выражение является окончательным разложением.

Ответ: $(a+2)(a^2 - 3a + 4)$

б) Для разложения на множители многочлена $b^3 - 6b^2 - 6b + 1$ также воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первый член с четвертым, а второй с третьим.

$b^3 - 6b^2 - 6b + 1 = (b^3 + 1) + (-6b^2 - 6b) = (b^3 + 1^3) - (6b^2 + 6b)$

Первую скобку $(b^3 + 1^3)$ разложим по формуле суммы кубов:

$(b^3 + 1^3) = (b+1)(b^2 - b \cdot 1 + 1^2) = (b+1)(b^2 - b + 1)$

Во второй скобке $(6b^2 + 6b)$ вынесем общий множитель $6b$:

$(6b^2 + 6b) = 6b(b+1)$

Подставим разложения обратно в выражение:

$(b+1)(b^2 - b + 1) - 6b(b+1)$

Вынесем общий множитель $(b+1)$ за скобки:

$(b+1)((b^2 - b + 1) - 6b)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(b+1)(b^2 - b - 6b + 1) = (b+1)(b^2 - 7b + 1)$

Проверим дискриминант квадратного трехчлена $b^2 - 7b + 1$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 49 - 4 = 45$

Дискриминант положителен, но не является полным квадратом, поэтому трехчлен $b^2 - 7b + 1$ не раскладывается на множители с целыми коэффициентами. Таким образом, разложение завершено.

Ответ: $(b+1)(b^2 - 7b + 1)$

40.20 Постройте график уравнения:

а) $xy^2 = 4x;$

б) $x^2 + 4x - xy - 2y + 4 = 0;$

в) $yx^2 + 9y = 0;$

г) $x^2 + xy - 2y - 4 = 0.$

а)

Дано уравнение $xy^2 = 4x$.
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
$xy^2 - 4x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(y^2 - 4) = 0$
Разложим выражение в скобках по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x(y - 2)(y + 2) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем совокупность трех уравнений:

1. $x = 0$ — это уравнение оси ординат (оси Y).

2. $y - 2 = 0$, откуда $y = 2$ — это уравнение прямой, параллельной оси абсцисс и проходящей через точку $(0, 2)$.

3. $y + 2 = 0$, откуда $y = -2$ — это уравнение прямой, параллельной оси абсцисс и проходящей через точку $(0, -2)$.

Следовательно, графиком исходного уравнения является объединение этих трех прямых.

Ответ: График уравнения представляет собой объединение трех прямых: оси OY ($x=0$), и двух горизонтальных прямых $y=2$ и $y=-2$.

б)

Дано уравнение $x^2 + 4x - xy - 2y + 4 = 0$.
Сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители. Сгруппируем первые два и последний член, а также третий и четвертый:
$(x^2 + 4x + 4) - (xy + 2y) = 0$
Первая скобка представляет собой полный квадрат суммы $(x+2)^2$. Из второй скобки вынесем общий множитель $y$:
$(x+2)^2 - y(x+2) = 0$
Теперь вынесем общий множитель $(x+2)$ за скобки:
$(x+2)(x+2 - y) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность двух уравнений:

1. $x + 2 = 0$, откуда $x = -2$ — это уравнение вертикальной прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку $(-2, 0)$.

2. $x + 2 - y = 0$, откуда $y = x + 2$ — это уравнение прямой. Для ее построения найдем две точки, например, если $x=0$, то $y=2$; если $y=0$, то $x=-2$. Прямая проходит через точки $(0, 2)$ и $(-2, 0)$.

Таким образом, графиком исходного уравнения является объединение этих двух прямых, которые пересекаются в точке $(-2, 0)$.

Ответ: График уравнения представляет собой объединение двух прямых: вертикальной прямой $x=-2$ и прямой $y=x+2$.

в)

Дано уравнение $yx^2 + 9y = 0$.
Вынесем общий множитель $y$ за скобки:
$y(x^2 + 9) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность двух уравнений:

1. $y = 0$ — это уравнение оси абсцисс (оси X).

2. $x^2 + 9 = 0$, откуда $x^2 = -9$. Это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, единственной линией, удовлетворяющей исходному уравнению в системе действительных координат, является прямая $y=0$.

Ответ: График уравнения представляет собой ось абсцисс (прямую $y=0$).

г)

Дано уравнение $x^2 + xy - 2y - 4 = 0$.
Сгруппируем слагаемые. Сгруппируем первый член с последним, а второй с третьим:
$(x^2 - 4) + (xy - 2y) = 0$
Первую скобку разложим по формуле разности квадратов. Из второй скобки вынесем общий множитель $y$:
$(x - 2)(x + 2) + y(x - 2) = 0$
Теперь вынесем общий множитель $(x-2)$ за скобки:
$(x - 2)((x + 2) + y) = 0$
$(x - 2)(x + y + 2) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность двух уравнений:

1. $x - 2 = 0$, откуда $x = 2$ — это уравнение вертикальной прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку $(2, 0)$.

2. $x + y + 2 = 0$, откуда $y = -x - 2$ — это уравнение прямой. Для ее построения найдем две точки, например, если $x=0$, то $y=-2$; если $y=0$, то $x=-2$. Прямая проходит через точки $(0, -2)$ и $(-2, 0)$.

Таким образом, графиком исходного уравнения является объединение этих двух прямых, которые пересекаются в точке $(2, -4)$, так как при $x=2$ из второго уравнения $y = -2 - 2 = -4$.

Ответ: График уравнения представляет собой объединение двух прямых: вертикальной прямой $x=2$ и прямой $y=-x-2$.