Страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

39.17 a) $a^3b^3 - 1$;

б) $8 + c^3d^3$;

в) $m^3n^3 - 27$;

г) $p^3q^3 + 64.

а) Данное выражение $a^3b^3 - 1$ является разностью кубов. Его можно переписать, используя свойство степеней $(xy)^n=x^ny^n$, как $(ab)^3 - 1^3$. Для разложения на множители применим формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$. В нашем случае $x=ab$ и $y=1$. Подставив эти значения в формулу, получаем: $(ab)^3 - 1^3 = (ab - 1)((ab)^2 + ab \cdot 1 + 1^2) = (ab - 1)(a^2b^2 + ab + 1)$.
Ответ: $(ab - 1)(a^2b^2 + ab + 1)$

б) Данное выражение $8 + c^3d^3$ является суммой кубов. Его можно переписать, представив 8 как $2^3$ и $c^3d^3$ как $(cd)^3$, в виде $2^3 + (cd)^3$. Для разложения на множители применим формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$. В нашем случае $x=2$ и $y=cd$. Подставив эти значения в формулу, получаем: $2^3 + (cd)^3 = (2 + cd)(2^2 - 2 \cdot cd + (cd)^2) = (2 + cd)(4 - 2cd + c^2d^2)$.
Ответ: $(2 + cd)(4 - 2cd + c^2d^2)$

в) Данное выражение $m^3n^3 - 27$ является разностью кубов. Его можно переписать, представив $m^3n^3$ как $(mn)^3$ и 27 как $3^3$, в виде $(mn)^3 - 3^3$. Для разложения на множители применим формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$. В нашем случае $x=mn$ и $y=3$. Подставив эти значения в формулу, получаем: $(mn)^3 - 3^3 = (mn - 3)((mn)^2 + mn \cdot 3 + 3^2) = (mn - 3)(m^2n^2 + 3mn + 9)$.
Ответ: $(mn - 3)(m^2n^2 + 3mn + 9)$

г) Данное выражение $p^3q^3 + 64$ является суммой кубов. Его можно переписать, представив $p^3q^3$ как $(pq)^3$ и 64 как $4^3$, в виде $(pq)^3 + 4^3$. Для разложения на множители применим формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$. В нашем случае $x=pq$ и $y=4$. Подставив эти значения в формулу, получаем: $(pq)^3 + 4^3 = (pq + 4)((pq)^2 - pq \cdot 4 + 4^2) = (pq + 4)(p^2q^2 - 4pq + 16)$.
Ответ: $(pq + 4)(p^2q^2 - 4pq + 16)$

39.18 a) $8a^3 + b^3$;

б) $64a^3 - 125c^3$;

В) $216x^3 - y^3$;

Г) $27x^3 + 343t^3$.

а)

Для разложения на множители выражения $8a^3 + b^3$ воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Сначала представим каждый член выражения в виде куба:

$8a^3 = (2a)^3$

$b^3 = b^3$

Таким образом, наше выражение принимает вид $(2a)^3 + b^3$.

Подставим $x = 2a$ и $y = b$ в формулу суммы кубов:

$(2a + b)((2a)^2 - (2a)(b) + b^2) = (2a + b)(4a^2 - 2ab + b^2)$.

Ответ: $(2a + b)(4a^2 - 2ab + b^2)$.

б)

Для разложения на множители выражения $64a^3 - 125c^3$ воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба:

$64a^3 = (4a)^3$

$125c^3 = (5c)^3$

Таким образом, наше выражение принимает вид $(4a)^3 - (5c)^3$.

Подставим $x = 4a$ и $y = 5c$ в формулу разности кубов:

$(4a - 5c)((4a)^2 + (4a)(5c) + (5c)^2) = (4a - 5c)(16a^2 + 20ac + 25c^2)$.

Ответ: $(4a - 5c)(16a^2 + 20ac + 25c^2)$.

в)

Для разложения на множители выражения $216x^3 - y^3$ воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба:

$216x^3 = (6x)^3$

$y^3 = y^3$

Таким образом, наше выражение принимает вид $(6x)^3 - y^3$.

Подставим $a = 6x$ и $b = y$ в формулу разности кубов:

$(6x - y)((6x)^2 + (6x)(y) + y^2) = (6x - y)(36x^2 + 6xy + y^2)$.

Ответ: $(6x - y)(36x^2 + 6xy + y^2)$.

г)

Для разложения на множители выражения $27x^3 + 343t^3$ воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба:

$27x^3 = (3x)^3$

$343t^3 = (7t)^3$

Таким образом, наше выражение принимает вид $(3x)^3 + (7t)^3$.

Подставим $a = 3x$ и $b = 7t$ в формулу суммы кубов:

$(3x + 7t)((3x)^2 - (3x)(7t) + (7t)^2) = (3x + 7t)(9x^2 - 21xt + 49t^2)$.

Ответ: $(3x + 7t)(9x^2 - 21xt + 49t^2)$.

Представьте выражение в виде квадрата двучлена:

39.19 a) $a^2 - 2ab + b^2$;

б) $x^2 + 2xy + y^2$;

в) $z^2 + 2zt + t^2$;

г) $m^2 - 2mn + n^2$.

а) Для того чтобы представить выражение $a^2 - 2ab + b^2$ в виде квадрата двучлена, необходимо использовать формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В данном выражении мы видим, что первый член — это квадрат переменной $a$ ($a^2$), третий член — это квадрат переменной $b$ ($b^2$), а второй член — это их удвоенное произведение со знаком минус ($-2ab$).
Следовательно, выражение $a^2 - 2ab + b^2$ является полным квадратом разности двучлена $(a - b)$.
$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.
Ответ: $(a - b)^2$.

б) Чтобы представить выражение $x^2 + 2xy + y^2$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Сравнивая наше выражение с формулой, мы видим, что $a=x$ и $b=y$.
Первый член $x^2$ — это квадрат $x$.
Третий член $y^2$ — это квадрат $y$.
Второй член $2xy$ — это удвоенное произведение $x$ и $y$.
Таким образом, выражение $x^2 + 2xy + y^2$ является квадратом суммы двучлена $(x + y)$.
$x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$.
Ответ: $(x + y)^2$.

в) Выражение $z^2 + 2zt + t^2$ нужно представить в виде квадрата двучлена. Это выражение соответствует формуле квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В нашем случае, роль $a$ играет $z$, а роль $b$ играет $t$.
Первый член $z^2$ — это квадрат первого слагаемого $z$.
Третий член $t^2$ — это квадрат второго слагаемого $t$.
Средний член $2zt$ — это удвоенное произведение первого и второго слагаемых.
Значит, данное выражение можно свернуть в квадрат суммы.
$z^2 + 2zt + t^2 = (z + t)^2$.
Ответ: $(z + t)^2$.

г) Для представления выражения $m^2 - 2mn + n^2$ в виде квадрата двучлена, мы снова используем формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Сопоставим данное выражение с формулой, где $a=m$ и $b=n$.
Первый член $m^2$ — это квадрат $m$.
Третий член $n^2$ — это квадрат $n$.
Второй член $-2mn$ — это удвоенное произведение $m$ и $n$ со знаком "минус".
Это полностью соответствует формуле, следовательно, выражение является квадратом разности.
$m^2 - 2mn + n^2 = (m - n)^2$.
Ответ: $(m - n)^2$.

39.20 a) $m^2 + 4m + 4$;

б) $a^2 - 12a + 36$;

в) $1 - 2b + b^2$;

г) $81 + 18y + y^2$.

а) $m^2 + 4m + 4$

Для разложения данного многочлена на множители воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В нашем выражении $m^2 + 4m + 4$ первый член $m^2$ является квадратом переменной $m$, а последний член $4$ является квадратом числа $2$.
Теперь необходимо проверить, соответствует ли средний член $4m$ удвоенному произведению $m$ и $2$.
Вычисляем удвоенное произведение: $2 \cdot m \cdot 2 = 4m$.
Так как вычисленное значение совпадает со средним членом исходного многочлена, мы можем применить формулу квадрата суммы.
Следовательно, $m^2 + 4m + 4 = (m + 2)^2$.

Ответ: $(m + 2)^2$

б) $a^2 - 12a + 36$

Для разложения данного многочлена на множители воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В нашем выражении $a^2 - 12a + 36$ первый член $a^2$ является квадратом переменной $a$, а последний член $36$ является квадратом числа $6$.
Проверим, соответствует ли средний член $-12a$ удвоенному произведению $a$ и $6$ со знаком минус.
Вычисляем удвоенное произведение со знаком минус: $-2 \cdot a \cdot 6 = -12a$.
Полученное значение совпадает со средним членом исходного многочлена, поэтому мы можем применить формулу квадрата разности.
Следовательно, $a^2 - 12a + 36 = (a - 6)^2$.

Ответ: $(a - 6)^2$

в) $1 - 2b + b^2$

Для разложения данного многочлена на множители воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В выражении $1 - 2b + b^2$ первый член $1$ является квадратом числа $1$, а последний член $b^2$ является квадратом переменной $b$.
Проверим, соответствует ли средний член $-2b$ удвоенному произведению $1$ и $b$ со знаком минус.
Вычисляем удвоенное произведение со знаком минус: $-2 \cdot 1 \cdot b = -2b$.
Значение совпадает со средним членом, значит, мы можем применить формулу квадрата разности.
Следовательно, $1 - 2b + b^2 = (1 - b)^2$.

Ответ: $(1 - b)^2$

г) $81 + 18y + y^2$

Для разложения данного многочлена на множители воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В выражении $81 + 18y + y^2$ первый член $81$ является квадратом числа $9$, а последний член $y^2$ является квадратом переменной $y$.
Проверим, соответствует ли средний член $18y$ удвоенному произведению $9$ и $y$.
Вычисляем удвоенное произведение: $2 \cdot 9 \cdot y = 18y$.
Значение совпадает со средним членом, поэтому мы можем применить формулу квадрата суммы.
Следовательно, $81 + 18y + y^2 = (9 + y)^2$.

Ответ: $(9 + y)^2$

39.21 a) $4y^2 - 12y + 9;$

Б) $9p^2 + 48p + 64;$

В) $9m^2 + 24m + 16;$

Г) $9a^2 - 30a + 25.$

а) Чтобы разложить на множители выражение $4y^2 - 12y + 9$, необходимо использовать формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
В данном выражении можно определить $a$ и $b$.
Первый член $4y^2$ можно представить как $(2y)^2$, следовательно, $a = 2y$.
Третий член $9$ можно представить как $3^2$, следовательно, $b = 3$.
Теперь проверим, соответствует ли средний член $-12y$ удвоенному произведению $-2ab$:
$-2ab = -2 \cdot 2y \cdot 3 = -12y$.
Поскольку средний член совпадает, выражение является полным квадратом разности.
$4y^2 - 12y + 9 = (2y)^2 - 2 \cdot 2y \cdot 3 + 3^2 = (2y - 3)^2$.
Ответ: $(2y - 3)^2$.

б) Для разложения на множители выражения $9p^2 + 48p + 64$ воспользуемся формулой квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
Определим $a$ и $b$ для нашего выражения.
Первый член $9p^2$ можно представить как $(3p)^2$, значит, $a = 3p$.
Третий член $64$ можно представить как $8^2$, значит, $b = 8$.
Проверим средний член $48p$ на соответствие удвоенному произведению $2ab$:
$2ab = 2 \cdot 3p \cdot 8 = 48p$.
Средний член совпадает, следовательно, выражение является полным квадратом суммы.
$9p^2 + 48p + 64 = (3p)^2 + 2 \cdot 3p \cdot 8 + 8^2 = (3p + 8)^2$.
Ответ: $(3p + 8)^2$.

в) Для разложения на множители выражения $9m^2 + 24m + 16$ применим формулу квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
Определим $a$ и $b$.
Первый член $9m^2$ можно представить как $(3m)^2$, откуда $a = 3m$.
Третий член $16$ можно представить как $4^2$, откуда $b = 4$.
Проверим соответствие среднего члена $24m$ удвоенному произведению $2ab$:
$2ab = 2 \cdot 3m \cdot 4 = 24m$.
Выражение является полным квадратом суммы, так как все условия формулы выполняются.
$9m^2 + 24m + 16 = (3m)^2 + 2 \cdot 3m \cdot 4 + 4^2 = (3m + 4)^2$.
Ответ: $(3m + 4)^2$.

г) Чтобы разложить на множители выражение $9a^2 - 30a + 25$, используем формулу квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
Определим $a$ и $b$.
Первый член $9a^2$ можно представить как $(3a)^2$, соответственно $a = 3a$.
Третий член $25$ можно представить как $5^2$, соответственно $b = 5$.
Проверим, соответствует ли средний член $-30a$ удвоенному произведению $-2ab$:
$-2ab = -2 \cdot 3a \cdot 5 = -30a$.
Средний член совпадает, значит, выражение является полным квадратом разности.
$9a^2 - 30a + 25 = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot 5 + 5^2 = (3a - 5)^2$.
Ответ: $(3a - 5)^2$.

39.22 a) $p^2 + 10pq + 25q^2$;

Б) $225x^2 - 30xy + y^2$;

В) $x^2 - 14xy + 49y^2$;

Г) $64t^2 - 16tz + z^2$.

а) Для того чтобы разложить на множители выражение $p^2 + 10pq + 25q^2$, необходимо применить формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Определим, что в данном выражении может соответствовать $a$ и $b$.
Первый член $p^2$ — это квадрат переменной $p$, значит, можно предположить, что $a = p$.
Третий член $25q^2$ — это квадрат выражения $5q$, так как $(5q)^2 = 25q^2$. Значит, можно предположить, что $b = 5q$.
Теперь проверим, равен ли средний член $10pq$ удвоенному произведению $a$ и $b$.
$2ab = 2 \cdot p \cdot (5q) = 10pq$.
Поскольку все условия формулы выполняются, исходное выражение является полным квадратом суммы $p$ и $5q$.
$p^2 + 10pq + 25q^2 = (p + 5q)^2$.
Ответ: $(p + 5q)^2$.

б) Для разложения на множители выражения $225x^2 - 30xy + y^2$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Определим $a$ и $b$ для нашего случая.
Первый член $225x^2$ — это квадрат выражения $15x$, так как $(15x)^2 = 225x^2$. Значит, $a = 15x$.
Третий член $y^2$ — это квадрат переменной $y$. Значит, $b = y$.
Проверим средний член. Он должен быть равен $-2ab$.
$-2ab = -2 \cdot (15x) \cdot y = -30xy$.
Средний член совпадает, следовательно, выражение можно представить в виде квадрата разности.
$225x^2 - 30xy + y^2 = (15x - y)^2$.
Ответ: $(15x - y)^2$.

в) Для разложения на множители выражения $x^2 - 14xy + 49y^2$ применим формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Определим $a$ и $b$.
Первый член $x^2$ является квадратом $x$, то есть $a = x$.
Третий член $49y^2$ является квадратом $7y$, так как $(7y)^2 = 49y^2$. То есть $b = 7y$.
Проверим средний член $-14xy$.
$-2ab = -2 \cdot x \cdot (7y) = -14xy$.
Так как средний член соответствует формуле, мы можем свернуть выражение в квадрат разности.
$x^2 - 14xy + 49y^2 = (x - 7y)^2$.
Ответ: $(x - 7y)^2$.

г) Для разложения на множители выражения $64t^2 - 16tz + z^2$ снова используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Определим $a$ и $b$.
Первый член $64t^2$ является квадратом $8t$, то есть $a = 8t$.
Третий член $z^2$ является квадратом $z$, то есть $b = z$.
Проверим, соответствует ли средний член $-16tz$ выражению $-2ab$.
$-2ab = -2 \cdot (8t) \cdot z = -16tz$.
Условие выполняется, поэтому выражение является полным квадратом разности.
$64t^2 - 16tz + z^2 = (8t - z)^2$.
Ответ: $(8t - z)^2$.

39.23 a) $9x^2 + 24xy + 16y^2$;

б) $2.25a^2 - 9ab + 9b^2$;

в) $4m^2 - 28mn + 49n^2$;

г) $0.25x^2 + 3xy + 9y^2$.

а) Данный трехчлен $9x^2 + 24xy + 16y^2$ необходимо представить в виде квадрата двучлена. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Представим первый и третий члены в виде квадратов:
$9x^2 = (3x)^2$
$16y^2 = (4y)^2$
Теперь проверим, равен ли средний член удвоенному произведению оснований этих квадратов:
$2 \cdot (3x) \cdot (4y) = 24xy$.
Так как средний член совпадает, то исходный трехчлен является полным квадратом суммы.
$9x^2 + 24xy + 16y^2 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot (4y) + (4y)^2 = (3x + 4y)^2$.
Ответ: $(3x + 4y)^2$.

б) Рассмотрим трехчлен $2,25a^2 - 9ab + 9b^2$. Будем использовать формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Представим первый и третий члены в виде квадратов:
$2,25a^2 = (1,5a)^2$
$9b^2 = (3b)^2$
Проверим средний член. Он должен быть равен удвоенному произведению оснований квадратов со знаком минус:
$2 \cdot (1,5a) \cdot (3b) = 2 \cdot 4,5ab = 9ab$.
Средний член в выражении равен $-9ab$, что соответствует формуле.
Следовательно, $2,25a^2 - 9ab + 9b^2 = (1,5a)^2 - 2 \cdot (1,5a) \cdot (3b) + (3b)^2 = (1,5a - 3b)^2$.
Ответ: $(1,5a - 3b)^2$.

в) Рассмотрим выражение $4m^2 - 28mn + 49n^2$. Применим формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Представим первый и третий члены в виде квадратов:
$4m^2 = (2m)^2$
$49n^2 = (7n)^2$
Проверим, соответствует ли средний член удвоенному произведению $2m$ и $7n$ со знаком минус:
$2 \cdot (2m) \cdot (7n) = 28mn$.
Средний член в исходном выражении $-28mn$, что совпадает с формулой.
Таким образом, $4m^2 - 28mn + 49n^2 = (2m)^2 - 2 \cdot (2m) \cdot (7n) + (7n)^2 = (2m - 7n)^2$.
Ответ: $(2m - 7n)^2$.

г) Дан трехчлен $0,25x^2 + 3xy + 9y^2$. Используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Представим первый и третий члены в виде квадратов:
$0,25x^2 = (0,5x)^2$
$9y^2 = (3y)^2$
Проверим средний член. Он должен быть равен удвоенному произведению оснований этих квадратов:
$2 \cdot (0,5x) \cdot (3y) = 1x \cdot 3y = 3xy$.
Средний член совпадает с полученным результатом.
Значит, $0,25x^2 + 3xy + 9y^2 = (0,5x)^2 + 2 \cdot (0,5x) \cdot (3y) + (3y)^2 = (0,5x + 3y)^2$.
Ответ: $(0,5x + 3y)^2$.

39.24 Представьте выражение в виде квадрата двучлена и определите его знак:

a) $a^2 - 10a + 25$;

б) $-a^2 - 4a - 4$;

в) $49 + 14a + a^2$;

г) $-a^2 + 12a - 36$.

а) Для того чтобы представить выражение $a^2 - 10a + 25$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В данном выражении мы можем отождествить:
$x^2 = a^2$, что означает $x=a$.
$y^2 = 25$, что означает $y=5$.
Проверим удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot a \cdot 5 = 10a$.
Таким образом, выражение полностью соответствует формуле: $a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = (a-5)^2$.
Теперь определим знак выражения. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Следовательно, $(a-5)^2 \ge 0$ при любом значении $a$.
Ответ: $(a-5)^2$; выражение неотрицательное (больше или равно 0).

б) Рассмотрим выражение $-a^2 - 4a - 4$. Сначала вынесем знак минус за скобки:
$-(a^2 + 4a + 4)$.
Теперь проанализируем выражение в скобках $a^2 + 4a + 4$. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В этом выражении:
$x^2 = a^2$, значит $x=a$.
$y^2 = 4$, значит $y=2$.
Удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot a \cdot 2 = 4a$.
Выражение в скобках соответствует формуле: $a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a+2)^2$.
Следовательно, исходное выражение равно $-(a+2)^2$.
Определим знак. Выражение $(a+2)^2$ всегда неотрицательно ($\ge 0$). Так как перед скобкой стоит знак минус, все выражение $-(a+2)^2$ будет неположительным, то есть меньше или равно нулю при любом значении $a$.
Ответ: $-(a+2)^2$; выражение неположительное (меньше или равно 0).

в) Рассмотрим выражение $49 + 14a + a^2$. Переставим члены для удобства: $a^2 + 14a + 49$.
Используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В данном выражении:
$x^2 = a^2$, значит $x=a$.
$y^2 = 49$, значит $y=7$.
Проверим удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot a \cdot 7 = 14a$.
Выражение соответствует формуле: $a^2 + 2 \cdot a \cdot 7 + 7^2 = (a+7)^2$.
Знак выражения. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому $(a+7)^2 \ge 0$ при любом значении $a$.
Ответ: $(a+7)^2$; выражение неотрицательное (больше или равно 0).

г) Рассмотрим выражение $-a^2 + 12a - 36$. Вынесем знак минус за скобки:
$-(a^2 - 12a + 36)$.
Теперь проанализируем выражение в скобках $a^2 - 12a + 36$. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В этом выражении:
$x^2 = a^2$, значит $x=a$.
$y^2 = 36$, значит $y=6$.
Удвоенное произведение со знаком минус: $-2xy = -2 \cdot a \cdot 6 = -12a$.
Выражение в скобках соответствует формуле: $a^2 - 2 \cdot a \cdot 6 + 6^2 = (a-6)^2$.
Следовательно, исходное выражение равно $-(a-6)^2$.
Определим знак. Выражение $(a-6)^2$ всегда неотрицательно ($\ge 0$). Из-за знака минус перед скобкой все выражение $-(a-6)^2$ будет неположительным, то есть меньше или равно нулю при любом значении $a$.
Ответ: $-(a-6)^2$; выражение неположительное (меньше или равно 0).

Вычислите наиболее рациональным способом:

39.25 a) $34^2 + 2 \cdot 34 \cdot 36 + 36^2$;

б) $27^2 - 2 \cdot 27 \cdot 13 + 13^2$;

в) $98^2 - 2 \cdot 98 \cdot 8 + 8^2$;

г) $76,4^2 + 13,6^2 + 2 \cdot 76,4 \cdot 13,6$.

а) Данное выражение $34^2 + 2 \cdot 34 \cdot 36 + 36^2$ является развернутой формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В этом примере $a=34$ и $b=36$.
Следовательно, мы можем свернуть выражение и вычислить:
$34^2 + 2 \cdot 34 \cdot 36 + 36^2 = (34 + 36)^2 = 70^2 = 4900$.
Ответ: 4900

б) Данное выражение $27^2 - 2 \cdot 27 \cdot 13 + 13^2$ является развернутой формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В этом примере $a=27$ и $b=13$.
Следовательно, мы можем свернуть выражение и вычислить:
$27^2 - 2 \cdot 27 \cdot 13 + 13^2 = (27 - 13)^2 = 14^2 = 196$.
Ответ: 196

в) Данное выражение $98^2 - 2 \cdot 98 \cdot 8 + 8^2$ также является формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a=98$ и $b=8$.
Применяя формулу, получаем:
$98^2 - 2 \cdot 98 \cdot 8 + 8^2 = (98 - 8)^2 = 90^2 = 8100$.
Ответ: 8100

г) Перегруппируем слагаемые в выражении для наглядности: $76,4^2 + 2 \cdot 76,4 \cdot 13,6 + 13,6^2$. Это формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В данном случае $a=76,4$ и $b=13,6$.
Сворачиваем выражение и вычисляем:
$76,4^2 + 13,6^2 + 2 \cdot 76,4 \cdot 13,6 = (76,4 + 13,6)^2 = 90^2 = 8100$.
Ответ: 8100

39.26 a) $257^2 - 143^2$;

б) $73,6^2 - 26,4^2$;

в) $165^2 - 65^2$;

г) $72,5^2 - 47,5^2$.

а) Для вычисления выражения $257^2 - 143^2$ воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно разностью квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В данном случае $a = 257$ и $b = 143$.

Подставим значения в формулу:

$257^2 - 143^2 = (257 - 143)(257 + 143)$

Сначала выполним вычитание в первой скобке:

$257 - 143 = 114$

Затем выполним сложение во второй скобке:

$257 + 143 = 400$

Теперь перемножим полученные результаты:

$114 \times 400 = 45600$

Ответ: 45600

б) Для вычисления выражения $73,6^2 - 26,4^2$ также используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Здесь $a = 73,6$ и $b = 26,4$.

Подставим значения в формулу:

$73,6^2 - 26,4^2 = (73,6 - 26,4)(73,6 + 26,4)$

Выполним вычисления в скобках:

$73,6 - 26,4 = 47,2$

$73,6 + 26,4 = 100$

Перемножим полученные результаты:

$47,2 \times 100 = 4720$

Ответ: 4720

в) Вычислим выражение $165^2 - 65^2$, применяя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В этом примере $a = 165$ и $b = 65$.

Подставим значения:

$165^2 - 65^2 = (165 - 65)(165 + 65)$

Вычислим значения в скобках:

$165 - 65 = 100$

$165 + 65 = 230$

Перемножим полученные числа:

$100 \times 230 = 23000$

Ответ: 23000

г) Для вычисления выражения $72,5^2 - 47,5^2$ снова используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Здесь $a = 72,5$ и $b = 47,5$.

Подставим значения в формулу:

$72,5^2 - 47,5^2 = (72,5 - 47,5)(72,5 + 47,5)$

Выполним вычисления в скобках:

$72,5 - 47,5 = 25$

$72,5 + 47,5 = 120$

Перемножим полученные результаты:

$25 \times 120 = 3000$

Ответ: 3000