Страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

40.30 Решите уравнение:

а) $x^2 - 5x + 6 = 0;$

б) $x^2 - 5x - 6 = 0;$

в) $x^2 + 5x + 6 = 0;$

г) $x^2 + 5x - 6 = 0.$

а) $x^2 - 5x + 6 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта. Общий вид уравнения: $ax^2 + bx + c = 0$. В данном случае коэффициенты равны: $a=1$, $b=-5$, $c=6$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2}$.

Вычисляем каждый корень:

$x_1 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

$x_2 = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Ответ: 2; 3.

б) $x^2 - 5x - 6 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=-5$, $c=-6$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 7}{2}$.

Вычисляем каждый корень:

$x_1 = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

$x_2 = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Ответ: -1; 6.

в) $x^2 + 5x + 6 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=5$, $c=6$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm 1}{2}$.

Вычисляем каждый корень:

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

$x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Ответ: -3; -2.

г) $x^2 + 5x - 6 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=5$, $c=-6$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm 7}{2}$.

Вычисляем каждый корень:

$x_1 = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

$x_2 = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.

Ответ: -6; 1.

41.1 Найдите общий делитель для данных одночленов:

а) $3a^2b^3$, $12a^3b^2$;

б) $15b^{12}c^2$, $25b^3c^4$;

в) $6x^2y$, $9y^5$;

г) $p^5q^2$, $12p^2q^5$.

а) Чтобы найти общий делитель одночленов $3a^{2}b^{3}$ и $12a^{3}b^{2}$, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для их числовых коэффициентов и для каждой переменной, взятой с наименьшим показателем степени, с которым она входит в оба одночлена.

1. Находим НОД коэффициентов 3 и 12. НОД(3, 12) = 3.

2. Для переменной $a$ сравниваем степени: $a^{2}$ и $a^{3}$. Наименьшая степень равна 2, поэтому берем $a^{2}$.

3. Для переменной $b$ сравниваем степени: $b^{3}$ и $b^{2}$. Наименьшая степень равна 2, поэтому берем $b^{2}$.

Перемножив полученные результаты, получаем общий делитель: $3 \cdot a^{2} \cdot b^{2} = 3a^{2}b^{2}$.

Ответ: $3a^{2}b^{2}$

б) Найдем общий делитель для одночленов $15b^{12}c^{2}$ и $25b^{3}c^{4}$.

1. Находим НОД коэффициентов 15 и 25. НОД(15, 25) = 5.

2. Для переменной $b$ сравниваем степени: $b^{12}$ и $b^{3}$. Наименьшая степень равна 3, поэтому берем $b^{3}$.

3. Для переменной $c$ сравниваем степени: $c^{2}$ и $c^{4}$. Наименьшая степень равна 2, поэтому берем $c^{2}$.

Общий делитель равен произведению: $5 \cdot b^{3} \cdot c^{2} = 5b^{3}c^{2}$.

Ответ: $5b^{3}c^{2}$

в) Найдем общий делитель для одночленов $6x^{2}y$ и $9y^{5}$.

1. Находим НОД коэффициентов 6 и 9. НОД(6, 9) = 3.

2. Переменная $x$ присутствует только в первом одночлене ($6x^2y$), поэтому она не является общим делителем и не входит в результат.

3. Для переменной $y$ сравниваем степени: $y^{1}$ и $y^{5}$. Наименьшая степень равна 1, поэтому берем $y$.

Общий делитель равен $3 \cdot y = 3y$.

Ответ: $3y$

г) Найдем общий делитель для одночленов $p^{5}q^{2}$ и $12p^{2}q^{5}$.

1. Коэффициенты одночленов — 1 (у $p^{5}q^{2}$) и 12. НОД(1, 12) = 1.

2. Для переменной $p$ сравниваем степени: $p^{5}$ и $p^{2}$. Наименьшая степень равна 2, поэтому берем $p^{2}$.

3. Для переменной $q$ сравниваем степени: $q^{2}$ и $q^{5}$. Наименьшая степень равна 2, поэтому берем $q^{2}$.

Общий делитель равен $1 \cdot p^{2} \cdot q^{2} = p^{2}q^{2}$.

Ответ: $p^{2}q^{2}$

Сократите дробь:

41.2

a) $\frac{y^4}{y^3}$;

б) $\frac{-z^5}{z^8}$;

в) $\frac{m^{10}}{-m^{24}};

г) $\frac{-n^{19}}{-n^4}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{y^4}{y^3}$, воспользуемся свойством степени: при делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются, а основание остается прежним. Формула выглядит так: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

В данном случае основание равно $y$, показатель степени числителя $m=4$, а показатель степени знаменателя $n=3$.

Применяем формулу:

$\frac{y^4}{y^3} = y^{4-3} = y^1 = y$.

Также можно представить степени как произведение одинаковых множителей и сократить их:

$\frac{y^4}{y^3} = \frac{y \cdot y \cdot y \cdot y}{y \cdot y \cdot y} = \frac{\cancel{y \cdot y \cdot y} \cdot y}{\cancel{y \cdot y \cdot y}} = y$.

Ответ: $y$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{-z^5}{z^8}$.

Сначала определим знак выражения. Так как в числителе стоит отрицательное число, а в знаменателе — положительное, результат деления будет отрицательным.

$\frac{-z^5}{z^8} = -(\frac{z^5}{z^8})$.

Теперь сократим дробь $\frac{z^5}{z^8}$ по свойству степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{z^5}{z^8} = z^{5-8} = z^{-3}$.

По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$z^{-3} = \frac{1}{z^3}$.

Соединяем со знаком минус:

$\frac{-z^5}{z^8} = -\frac{1}{z^3}$.

Ответ: $-\frac{1}{z^3}$.

в) Рассмотрим дробь $\frac{m^{10}}{-m^{24}}$.

Определяем знак. В числителе положительное число, в знаменателе — отрицательное. Результат будет отрицательным.

$\frac{m^{10}}{-m^{24}} = -(\frac{m^{10}}{m^{24}})$.

Сокращаем дробную часть, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{m^{10}}{m^{24}} = m^{10-24} = m^{-14}$.

Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, преобразуем выражение:

$m^{-14} = \frac{1}{m^{14}}$.

Добавляем знак минус:

$\frac{m^{10}}{-m^{24}} = -\frac{1}{m^{14}}$.

Ответ: $-\frac{1}{m^{14}}$.

г) Рассмотрим дробь $\frac{-n^{19}}{-n^4}$.

Определяем знак. В числителе и знаменателе стоят отрицательные числа. Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное число.

$\frac{-n^{19}}{-n^4} = \frac{n^{19}}{n^4}$.

Применяем свойство деления степеней с одинаковыми основаниями $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{n^{19}}{n^4} = n^{19-4} = n^{15}$.

Ответ: $n^{15}$.

41.3 a) $ \frac{z^8 t^4 w^{20}}{z t^3 w} $;

б) $ \frac{-m^{15} n^4 r^8}{m^{19} n^{21} r^6} $;

В) $ \frac{a^{12} x^{19} z^5}{-a^{40} x^{31} z^6} $;

Г) $ \frac{-b^{100} y^5 z}{-b^{101} y^3 z^4} $.

а)

Для упрощения данного выражения используется свойство частного степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Это правило применяется к каждой переменной в выражении.
Исходное выражение: $\frac{z^8 t^4 w^{20}}{2 z t^3 w}$.
Упростим выражение пошагово:
1. Разделим числовые коэффициенты: $\frac{1}{2}$.
2. Разделим степени переменной $z$: $\frac{z^8}{z} = \frac{z^8}{z^1} = z^{8-1} = z^7$.
3. Разделим степени переменной $t$: $\frac{t^4}{t^3} = t^{4-3} = t^1 = t$.
4. Разделим степени переменной $w$: $\frac{w^{20}}{w} = \frac{w^{20}}{w^1} = w^{20-1} = w^{19}$.
Объединяя все части, получаем: $\frac{1}{2} z^7 t w^{19}$.
Ответ: $\frac{z^7 t w^{19}}{2}$

б)

Используем свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ и правило для отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Исходное выражение: $\frac{-m^{15} n^4 r^8}{m^{19} n^{21} r^6}$.
Упростим выражение пошагово:
1. Определим знак выражения. В числителе стоит знак минус, в знаменателе - плюс. Результат будет отрицательным.
2. Разделим степени переменной $m$: $\frac{m^{15}}{m^{19}} = m^{15-19} = m^{-4} = \frac{1}{m^4}$.
3. Разделим степени переменной $n$: $\frac{n^4}{n^{21}} = n^{4-21} = n^{-17} = \frac{1}{n^{17}}$.
4. Разделим степени переменной $r$: $\frac{r^8}{r^6} = r^{8-6} = r^2$.
Объединяя все части, получаем: $-\frac{r^2}{m^4 n^{17}}$.
Ответ: $-\frac{r^2}{m^4 n^{17}}$

в)

Используем свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ и правило для отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Исходное выражение: $\frac{a^{12} x^{19} z^5}{-a^{40} x^{31} z^6}$.
Упростим выражение пошагово:
1. Определим знак выражения. В числителе знак плюс, в знаменателе - минус. Результат будет отрицательным.
2. Разделим степени переменной $a$: $\frac{a^{12}}{a^{40}} = a^{12-40} = a^{-28} = \frac{1}{a^{28}}$.
3. Разделим степени переменной $x$: $\frac{x^{19}}{x^{31}} = x^{19-31} = x^{-12} = \frac{1}{x^{12}}$.
4. Разделим степени переменной $z$: $\frac{z^5}{z^6} = z^{5-6} = z^{-1} = \frac{1}{z}$.
Объединяя все части, получаем: $-\frac{1}{a^{28} x^{12} z}$.
Ответ: $-\frac{1}{a^{28} x^{12} z}$

г)

Используем свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ и правило для отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Исходное выражение: $\frac{-b^{100} y^5 z}{-b^{101} y^3 z^4}$.
Упростим выражение пошагово:
1. Определим знак выражения. Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное число, поэтому знак минус сокращается: $\frac{-1}{-1} = 1$.
2. Разделим степени переменной $b$: $\frac{b^{100}}{b^{101}} = b^{100-101} = b^{-1} = \frac{1}{b}$.
3. Разделим степени переменной $y$: $\frac{y^5}{y^3} = y^{5-3} = y^2$.
4. Разделим степени переменной $z$: $\frac{z}{z^4} = \frac{z^1}{z^4} = z^{1-4} = z^{-3} = \frac{1}{z^3}$.
Объединяя все части, получаем: $\frac{y^2}{b z^3}$.
Ответ: $\frac{y^2}{b z^3}$

41.4 a) $\frac{-3a^2b}{-9a^3}$;

б) $\frac{7x^4y}{-49xy^3}$;

В) $\frac{-21cd^4}{14cd^3}$;

Г) $\frac{30p^2q^3}{48p^3q^3}$.

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{-3a^2b}{-9a^3}$, мы разделим числитель и знаменатель на их общие множители.
1. Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{-3}{-9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
2. Сокращаем переменные. Используем свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.
Для переменной $a$: $\frac{a^2}{a^3} = a^{2-3} = a^{-1} = \frac{1}{a}$.
Переменная $b$ находится только в числителе, поэтому она там и остается.
3. Собираем все вместе: $\frac{-3a^2b}{-9a^3} = \frac{1 \cdot b}{3 \cdot a} = \frac{b}{3a}$.
Ответ: $\frac{b}{3a}$

б)

Чтобы сократить дробь $\frac{7x^4y}{-49xy^3}$, мы разделим числитель и знаменатель на их общие множители.
1. Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{7}{-49} = -\frac{7}{49} = -\frac{1}{7}$.
2. Сокращаем переменные.
Для переменной $x$: $\frac{x^4}{x} = x^{4-1} = x^3$.
Для переменной $y$: $\frac{y}{y^3} = y^{1-3} = y^{-2} = \frac{1}{y^2}$.
3. Собираем все вместе: $\frac{7x^4y}{-49xy^3} = -\frac{1 \cdot x^3}{7 \cdot y^2} = -\frac{x^3}{7y^2}$.
Ответ: $-\frac{x^3}{7y^2}$

в)

Чтобы сократить дробь $\frac{-21cd^4}{14cd^3}$, мы разделим числитель и знаменатель на их общие множители.
1. Сокращаем числовые коэффициенты. Наибольший общий делитель для -21 и 14 это 7: $\frac{-21}{14} = \frac{-3 \cdot 7}{2 \cdot 7} = -\frac{3}{2}$.
2. Сокращаем переменные.
Для переменной $c$: $\frac{c}{c} = 1$.
Для переменной $d$: $\frac{d^4}{d^3} = d^{4-3} = d^1 = d$.
3. Собираем все вместе: $\frac{-21cd^4}{14cd^3} = -\frac{3 \cdot 1 \cdot d}{2 \cdot 1} = -\frac{3d}{2}$.
Ответ: $-\frac{3d}{2}$

г)

Чтобы сократить дробь $\frac{30p^2q^3}{48p^3q^3}$, мы разделим числитель и знаменатель на их общие множители.
1. Сокращаем числовые коэффициенты. Наибольший общий делитель для 30 и 48 это 6: $\frac{30}{48} = \frac{5 \cdot 6}{8 \cdot 6} = \frac{5}{8}$.
2. Сокращаем переменные.
Для переменной $p$: $\frac{p^2}{p^3} = p^{2-3} = p^{-1} = \frac{1}{p}$.
Для переменной $q$: $\frac{q^3}{q^3} = q^{3-3} = q^0 = 1$.
3. Собираем все вместе: $\frac{30p^2q^3}{48p^3q^3} = \frac{5 \cdot 1}{8 \cdot p \cdot 1} = \frac{5}{8p}$.
Ответ: $\frac{5}{8p}$

41.5 a) $ \frac{15a(p-q)}{20b(p-q)} $

б) $ \frac{8a^2b^3(a+b)}{20ab^2(a+b)} $

В) $ \frac{2b(m+n)}{6bc(m+n)} $

Г) $ \frac{44c^3d^8(c-d)}{100c^5d^4(c-d)} $

а) Чтобы сократить дробь $ \frac{15a(p-q)}{20b(p-q)} $, необходимо найти и сократить общие множители в числителе и знаменателе.
1. Разложим на множители числовые коэффициенты: $15 = 3 \cdot 5$ и $20 = 4 \cdot 5$. Общий множитель - 5.
2. В числителе и знаменателе есть общий множитель $(p-q)$.
3. Выполним сокращение, разделив числитель и знаменатель на общие множители $5$ и $(p-q)$, при условии, что $p \neq q$ и $b \neq 0$:
$ \frac{15a(p-q)}{20b(p-q)} = \frac{3 \cdot 5 \cdot a \cdot (p-q)}{4 \cdot 5 \cdot b \cdot (p-q)} = \frac{3a}{4b} $
Ответ: $ \frac{3a}{4b} $

б) Сократим дробь $ \frac{8a^2b^3(a+b)}{20ab^2(a+b)} $.
1. Найдём наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 8 и 20. $НОД(8, 20) = 4$.
2. Сократим степени переменных: общий множитель для $a^2$ и $a$ - это $a$; общий множитель для $b^3$ и $b^2$ - это $b^2$.
3. В числителе и знаменателе есть общий множитель $(a+b)$.
4. Выполним сокращение на общие множители $4$, $a$, $b^2$ и $(a+b)$, при условии, что $a \neq 0, b \neq 0, a \neq -b$:
$ \frac{8a^2b^3(a+b)}{20ab^2(a+b)} = \frac{4 \cdot 2 \cdot a^2 \cdot b^3 \cdot (a+b)}{4 \cdot 5 \cdot a \cdot b^2 \cdot (a+b)} = \frac{2a^{2-1}b^{3-2}}{5} = \frac{2ab}{5} $
Ответ: $ \frac{2ab}{5} $

в) Сократим дробь $ \frac{2b(m+n)}{6bc(m+n)} $.
1. Сократим числовые коэффициенты 2 и 6 на их общий делитель 2.
2. Сократим общую переменную $b$.
3. Сократим общий множитель $(m+n)$.
4. Выполним сокращение, при условии, что $b \neq 0, c \neq 0, m \neq -n$:
$ \frac{2b(m+n)}{6bc(m+n)} = \frac{2 \cdot b \cdot (m+n)}{2 \cdot 3 \cdot b \cdot c \cdot (m+n)} = \frac{1}{3c} $
Ответ: $ \frac{1}{3c} $

г) Сократим дробь $ \frac{44c^3d^8(c-d)}{100c^5d^4(c-d)} $.
1. Найдём НОД для коэффициентов 44 и 100. $44 = 4 \cdot 11$, $100 = 4 \cdot 25$. $НОД(44, 100) = 4$.
2. Сократим степени переменных. Для $c^3$ и $c^5$ общий множитель $c^3$ (в знаменателе останется $c^{5-3}=c^2$). Для $d^8$ и $d^4$ общий множитель $d^4$ (в числителе останется $d^{8-4}=d^4$).
3. Сократим общий множитель $(c-d)$.
4. Выполним сокращение, при условии, что $c \neq 0, d \neq 0, c \neq d$:
$ \frac{44c^3d^8(c-d)}{100c^5d^4(c-d)} = \frac{4 \cdot 11 \cdot c^3 \cdot d^8 \cdot (c-d)}{4 \cdot 25 \cdot c^5 \cdot d^4 \cdot (c-d)} = \frac{11d^{8-4}}{25c^{5-3}} = \frac{11d^4}{25c^2} $
Ответ: $ \frac{11d^4}{25c^2} $