Номер 41.5, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

41.5 a) $ \frac{15a(p-q)}{20b(p-q)} $

б) $ \frac{8a^2b^3(a+b)}{20ab^2(a+b)} $

В) $ \frac{2b(m+n)}{6bc(m+n)} $

Г) $ \frac{44c^3d^8(c-d)}{100c^5d^4(c-d)} $

а) Чтобы сократить дробь $ \frac{15a(p-q)}{20b(p-q)} $, необходимо найти и сократить общие множители в числителе и знаменателе.
1. Разложим на множители числовые коэффициенты: $15 = 3 \cdot 5$ и $20 = 4 \cdot 5$. Общий множитель - 5.
2. В числителе и знаменателе есть общий множитель $(p-q)$.
3. Выполним сокращение, разделив числитель и знаменатель на общие множители $5$ и $(p-q)$, при условии, что $p \neq q$ и $b \neq 0$:
$ \frac{15a(p-q)}{20b(p-q)} = \frac{3 \cdot 5 \cdot a \cdot (p-q)}{4 \cdot 5 \cdot b \cdot (p-q)} = \frac{3a}{4b} $
Ответ: $ \frac{3a}{4b} $

б) Сократим дробь $ \frac{8a^2b^3(a+b)}{20ab^2(a+b)} $.
1. Найдём наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 8 и 20. $НОД(8, 20) = 4$.
2. Сократим степени переменных: общий множитель для $a^2$ и $a$ - это $a$; общий множитель для $b^3$ и $b^2$ - это $b^2$.
3. В числителе и знаменателе есть общий множитель $(a+b)$.
4. Выполним сокращение на общие множители $4$, $a$, $b^2$ и $(a+b)$, при условии, что $a \neq 0, b \neq 0, a \neq -b$:
$ \frac{8a^2b^3(a+b)}{20ab^2(a+b)} = \frac{4 \cdot 2 \cdot a^2 \cdot b^3 \cdot (a+b)}{4 \cdot 5 \cdot a \cdot b^2 \cdot (a+b)} = \frac{2a^{2-1}b^{3-2}}{5} = \frac{2ab}{5} $
Ответ: $ \frac{2ab}{5} $

в) Сократим дробь $ \frac{2b(m+n)}{6bc(m+n)} $.
1. Сократим числовые коэффициенты 2 и 6 на их общий делитель 2.
2. Сократим общую переменную $b$.
3. Сократим общий множитель $(m+n)$.
4. Выполним сокращение, при условии, что $b \neq 0, c \neq 0, m \neq -n$:
$ \frac{2b(m+n)}{6bc(m+n)} = \frac{2 \cdot b \cdot (m+n)}{2 \cdot 3 \cdot b \cdot c \cdot (m+n)} = \frac{1}{3c} $
Ответ: $ \frac{1}{3c} $

г) Сократим дробь $ \frac{44c^3d^8(c-d)}{100c^5d^4(c-d)} $.
1. Найдём НОД для коэффициентов 44 и 100. $44 = 4 \cdot 11$, $100 = 4 \cdot 25$. $НОД(44, 100) = 4$.
2. Сократим степени переменных. Для $c^3$ и $c^5$ общий множитель $c^3$ (в знаменателе останется $c^{5-3}=c^2$). Для $d^8$ и $d^4$ общий множитель $d^4$ (в числителе останется $d^{8-4}=d^4$).
3. Сократим общий множитель $(c-d)$.
4. Выполним сокращение, при условии, что $c \neq 0, d \neq 0, c \neq d$:
$ \frac{44c^3d^8(c-d)}{100c^5d^4(c-d)} = \frac{4 \cdot 11 \cdot c^3 \cdot d^8 \cdot (c-d)}{4 \cdot 25 \cdot c^5 \cdot d^4 \cdot (c-d)} = \frac{11d^{8-4}}{25c^{5-3}} = \frac{11d^4}{25c^2} $
Ответ: $ \frac{11d^4}{25c^2} $