Номер 41.7, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

41.7 а) $ \frac{2a(x + y)}{8a(x + y)(x - y)} $;

б) $ \frac{(a - 1)(a^2 + a + 1)}{a^2 + a + 1} $;

В) $ \frac{3(a - b)(a + b)}{6(a + b)(a - b)} $;

Г) $ \frac{3(n^2 + n + 1)}{(n - 1)(n^2 + n + 1)} $.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{2a(x+y)}{8a(x+y)(x-y)}$, необходимо найти общие множители в числителе и знаменателе и разделить их друг на друга.

1. Сравним числовые коэффициенты: $2$ в числителе и $8$ в знаменателе. Сокращаем их на $2$. В числителе остается $1$, в знаменателе $4$.

2. Сравним переменные: множитель $a$ есть и в числителе, и в знаменателе. Сокращаем его.

3. Сравним выражения в скобках: множитель $(x+y)$ также является общим. Сокращаем его.

После сокращения всех общих множителей получаем:

$\frac{\cancel{2}\cancel{a}(\cancel{x+y})}{\cancel{8}_4\cancel{a}(\cancel{x+y})(x-y)} = \frac{1}{4(x-y)}$

Ответ: $\frac{1}{4(x-y)}$

б) Рассмотрим дробь $\frac{(a-1)(a^2+a+1)}{a^2+a+1}$.

Здесь мы видим, что выражение $(a^2+a+1)$ является общим множителем для числителя и знаменателя. Сократим дробь на этот множитель.

$\frac{(a-1)(\cancel{a^2+a+1})}{\cancel{a^2+a+1}} = a-1$

Также можно заметить, что выражение в числителе $(a-1)(a^2+a+1)$ является формулой разности кубов $a^3 - 1^3$.

Ответ: $a-1$

в) Чтобы сократить дробь $\frac{3(a-b)(a+b)}{6(a+b)(a-b)}$, найдем и сократим общие множители.

1. Сократим числовые коэффициенты $3$ и $6$ на $3$. В числителе останется $1$, в знаменателе $2$.

2. Сократим общий множитель $(a-b)$.

3. Сократим общий множитель $(a+b)$.

В результате в числителе остается только $1$, а в знаменателе $2$.

$\frac{\cancel{3}(\cancel{a-b})(\cancel{a+b})}{\cancel{6}_2(\cancel{a+b})(\cancel{a-b})} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

г) Рассмотрим дробь $\frac{3(n^2+n+1)}{(n-1)(n^2+n+1)}$.

Общим множителем для числителя и знаменателя является выражение $(n^2+n+1)$. Сократим дробь на этот множитель.

$\frac{3(\cancel{n^2+n+1})}{(n-1)(\cancel{n^2+n+1})} = \frac{3}{n-1}$

Выражение в знаменателе $(n-1)(n^2+n+1)$ представляет собой формулу разности кубов $n^3 - 1^3$.

Ответ: $\frac{3}{n-1}$