Номер 39.24, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 39. Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращённого умножения. Глава 7. Разложение многочленов на множители. Часть 2 - номер 39.24, страница 170.

Условие.

39.24 Представьте выражение в виде квадрата двучлена и определите его знак:

a) $a^2 - 10a + 25$;

б) $-a^2 - 4a - 4$;

в) $49 + 14a + a^2$;

г) $-a^2 + 12a - 36$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а) Для того чтобы представить выражение $a^2 - 10a + 25$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В данном выражении мы можем отождествить:
$x^2 = a^2$, что означает $x=a$.
$y^2 = 25$, что означает $y=5$.
Проверим удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot a \cdot 5 = 10a$.
Таким образом, выражение полностью соответствует формуле: $a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = (a-5)^2$.
Теперь определим знак выражения. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Следовательно, $(a-5)^2 \ge 0$ при любом значении $a$.
Ответ: $(a-5)^2$; выражение неотрицательное (больше или равно 0).

б) Рассмотрим выражение $-a^2 - 4a - 4$. Сначала вынесем знак минус за скобки:
$-(a^2 + 4a + 4)$.
Теперь проанализируем выражение в скобках $a^2 + 4a + 4$. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В этом выражении:
$x^2 = a^2$, значит $x=a$.
$y^2 = 4$, значит $y=2$.
Удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot a \cdot 2 = 4a$.
Выражение в скобках соответствует формуле: $a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a+2)^2$.
Следовательно, исходное выражение равно $-(a+2)^2$.
Определим знак. Выражение $(a+2)^2$ всегда неотрицательно ($\ge 0$). Так как перед скобкой стоит знак минус, все выражение $-(a+2)^2$ будет неположительным, то есть меньше или равно нулю при любом значении $a$.
Ответ: $-(a+2)^2$; выражение неположительное (меньше или равно 0).

в) Рассмотрим выражение $49 + 14a + a^2$. Переставим члены для удобства: $a^2 + 14a + 49$.
Используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В данном выражении:
$x^2 = a^2$, значит $x=a$.
$y^2 = 49$, значит $y=7$.
Проверим удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot a \cdot 7 = 14a$.
Выражение соответствует формуле: $a^2 + 2 \cdot a \cdot 7 + 7^2 = (a+7)^2$.
Знак выражения. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому $(a+7)^2 \ge 0$ при любом значении $a$.
Ответ: $(a+7)^2$; выражение неотрицательное (больше или равно 0).

г) Рассмотрим выражение $-a^2 + 12a - 36$. Вынесем знак минус за скобки:
$-(a^2 - 12a + 36)$.
Теперь проанализируем выражение в скобках $a^2 - 12a + 36$. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В этом выражении:
$x^2 = a^2$, значит $x=a$.
$y^2 = 36$, значит $y=6$.
Удвоенное произведение со знаком минус: $-2xy = -2 \cdot a \cdot 6 = -12a$.
Выражение в скобках соответствует формуле: $a^2 - 2 \cdot a \cdot 6 + 6^2 = (a-6)^2$.
Следовательно, исходное выражение равно $-(a-6)^2$.
Определим знак. Выражение $(a-6)^2$ всегда неотрицательно ($\ge 0$). Из-за знака минус перед скобкой все выражение $-(a-6)^2$ будет неположительным, то есть меньше или равно нулю при любом значении $a$.
Ответ: $-(a-6)^2$; выражение неположительное (меньше или равно 0).