Страница 163, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Разложите многочлен на множители:

37.10 а) $ab - a^2b$;

б) $-p^2q^2 - pq$;

в) $x^2y - xy^2$;

г) $m^3n^2 - n^3m^2$.

а) $ab - a^2b$

Чтобы разложить данный многочлен на множители, необходимо найти общий множитель для каждого члена многочлена и вынести его за скобки. Членами многочлена являются $ab$ и $-a^2b$.

Определим общий множитель. Оба члена содержат переменные $a$ и $b$.Наименьшая степень переменной $a$ в многочлене — это первая ($a^1$).Наименьшая степень переменной $b$ в многочлене — это также первая ($b^1$).Следовательно, наибольший общий делитель (общий множитель) для этих членов — это $ab$.

Теперь вынесем $ab$ за скобки. Для этого разделим каждый член исходного многочлена на $ab$:
$ab \div ab = 1$
$-a^2b \div ab = -a$
Запишем результат в виде произведения общего множителя на многочлен в скобках:
$ab - a^2b = ab(1 - a)$

Ответ: $ab(1 - a)$

б) $-p^2q^2 - pq$

Члены многочлена: $-p^2q^2$ и $-pq$.
Найдем общий множитель. Оба члена отрицательны, поэтому удобно вынести за скобки знак «минус».Оба члена содержат переменные $p$ и $q$.Наименьшая степень переменной $p$ — первая ($p^1$).Наименьшая степень переменной $q$ — первая ($q^1$).Таким образом, общий множитель, который мы можем вынести за скобки, — это $-pq$.

Вынесем $-pq$ за скобки, разделив каждый член многочлена на $-pq$:
$-p^2q^2 \div (-pq) = pq$
$-pq \div (-pq) = 1$
Запишем итоговое выражение:
$-p^2q^2 - pq = -pq(pq + 1)$

Ответ: $-pq(pq + 1)$

в) $x^2y - xy^2$

Члены многочлена: $x^2y$ и $-xy^2$.
Найдем общий множитель. Оба члена содержат переменные $x$ и $y$.Наименьшая степень переменной $x$ — первая ($x^1$).Наименьшая степень переменной $y$ — первая ($y^1$).Общий множитель — это $xy$.

Вынесем $xy$ за скобки, разделив каждый член на $xy$:
$x^2y \div xy = x$
$-xy^2 \div xy = -y$
Запишем итоговое выражение:
$x^2y - xy^2 = xy(x - y)$

Ответ: $xy(x - y)$

г) $m^3n^2 - n^3m^2$

Для удобства упорядочим переменные в каждом члене по алфавиту: $m^3n^2 - m^2n^3$.
Члены многочлена: $m^3n^2$ и $-m^2n^3$.
Найдем общий множитель. Оба члена содержат переменные $m$ и $n$.Наименьшая степень переменной $m$ — вторая ($m^2$).Наименьшая степень переменной $n$ — вторая ($n^2$).Следовательно, общий множитель — это $m^2n^2$.

Вынесем $m^2n^2$ за скобки, разделив каждый член на $m^2n^2$:
$m^3n^2 \div (m^2n^2) = m$
$-m^2n^3 \div (m^2n^2) = -n$
Запишем итоговое выражение:
$m^3n^2 - n^3m^2 = m^2n^2(m - n)$

Ответ: $m^2n^2(m - n)$

37.11 a) $2z^5q^2 - 4z^3q + 6z^2q^3;$

Б) $xy^3 + 5x^2y^2 - 3x^2y;$

В) $7a^4b^3 - 14a^3b^4 + 21a^2b^5;$

Г) $8x^3y^3 + 88x^2y^3 - 16x^3y^4.$

а) $2z^5q^2 - 4z^3q + 6z^2q^3$

Чтобы разложить многочлен на множители, нужно вынести за скобки общий множитель всех его членов. Этот общий множитель является произведением наибольшего общего делителя (НОД) коэффициентов и общих переменных в наименьшей степени.
1. Находим НОД коэффициентов 2, -4, 6. НОД(2, 4, 6) = 2.
2. Находим общие переменные с наименьшей степенью. Для переменной $z$ это $z^2$ (так как степени $z^5, z^3, z^2$). Для переменной $q$ это $q$ (так как степени $q^2, q^1, q^3$).
3. Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, равен $2z^2q$.
4. Делим каждый член исходного многочлена на общий множитель, чтобы найти выражение, которое останется в скобках:
$\frac{2z^5q^2}{2z^2q} = z^{5-2}q^{2-1} = z^3q$
$\frac{-4z^3q}{2z^2q} = -2z^{3-2}q^{1-1} = -2z$
$\frac{6z^2q^3}{2z^2q} = 3z^{2-2}q^{3-1} = 3q^2$
5. Записываем результат в виде произведения общего множителя и выражения в скобках.

Ответ: $2z^2q(z^3q - 2z + 3q^2)$

б) $xy^3 + 5x^2y^2 - 3x^2y$

1. НОД коэффициентов 1, 5, -3 равен 1.
2. Общие переменные с наименьшей степенью: $x$ (степени $x^1, x^2, x^2$) и $y$ (степени $y^3, y^2, y^1$).
3. Общий множитель: $xy$.
4. Делим каждый член на $xy$:
$\frac{xy^3}{xy} = y^{3-1} = y^2$
$\frac{5x^2y^2}{xy} = 5x^{2-1}y^{2-1} = 5xy$
$\frac{-3x^2y}{xy} = -3x^{2-1}y^{1-1} = -3x$
5. Записываем итоговое разложение.

Ответ: $xy(y^2 + 5xy - 3x)$

в) $7a^4b^3 - 14a^3b^4 + 21a^2b^5$

1. НОД коэффициентов 7, -14, 21. НОД(7, 14, 21) = 7.
2. Общие переменные с наименьшей степенью: $a^2$ (степени $a^4, a^3, a^2$) и $b^3$ (степени $b^3, b^4, b^5$).
3. Общий множитель: $7a^2b^3$.
4. Делим каждый член на $7a^2b^3$:
$\frac{7a^4b^3}{7a^2b^3} = a^{4-2}b^{3-3} = a^2$
$\frac{-14a^3b^4}{7a^2b^3} = -2a^{3-2}b^{4-3} = -2ab$
$\frac{21a^2b^5}{7a^2b^3} = 3a^{2-2}b^{5-3} = 3b^2$
5. Записываем итоговое разложение.

Ответ: $7a^2b^3(a^2 - 2ab + 3b^2)$

г) $8x^3y^3 + 88x^2y^3 - 16x^3y^4$

1. НОД коэффициентов 8, 88, -16. НОД(8, 88, 16) = 8.
2. Общие переменные с наименьшей степенью: $x^2$ (степени $x^3, x^2, x^3$) и $y^3$ (степени $y^3, y^3, y^4$).
3. Общий множитель: $8x^2y^3$.
4. Делим каждый член на $8x^2y^3$:
$\frac{8x^3y^3}{8x^2y^3} = x^{3-2}y^{3-3} = x$
$\frac{88x^2y^3}{8x^2y^3} = 11x^{2-2}y^{3-3} = 11$
$\frac{-16x^3y^4}{8x^2y^3} = -2x^{3-2}y^{4-3} = -2xy$
5. Записываем итоговое разложение.

Ответ: $8x^2y^3(x + 11 - 2xy)$

37.12 a) $15x^3y^2 + 10x^2y - 20x^2y^3;$

б) $12a^2b^4 - 36a^2b + 44abc;$

в) $195c^6p^5 - 91c^5p^6 + 221c^3p^{10};$

г) $42a^4b - 48a^3b^2 - 78a^2b^3.$

а) $15x^3y^2 + 10x^2y - 20x^2y^3$
Для разложения многочлена на множители необходимо вынести за скобки общий множитель. Этот процесс состоит из нескольких шагов:
1. Находим наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 15, 10 и 20. НОД(15, 10, 20) = 5.
2. Находим общий множитель для переменных. Для этого для каждой переменной, входящей во все члены многочлена, выбираем наименьшую степень. Для переменной $x$ наименьшая степень равна 2 ($x^2$). Для переменной $y$ наименьшая степень равна 1 ($y^1$ или просто $y$). Таким образом, общий множитель для переменных — $x^2y$.
3. Общий множитель для всего выражения является произведением НОД коэффициентов и общего множителя переменных: $5x^2y$.
4. Выносим $5x^2y$ за скобки. Для этого каждый член исходного многочлена делим на $5x^2y$:
$15x^3y^2 + 10x^2y - 20x^2y^3 = 5x^2y \cdot (\frac{15x^3y^2}{5x^2y} + \frac{10x^2y}{5x^2y} - \frac{20x^2y^3}{5x^2y}) = 5x^2y(3xy + 2 - 4y^2)$.
Ответ: $5x^2y(3xy + 2 - 4y^2)$.

б) $12a^2b^4 - 36a^2b + 44abc$
1. Находим НОД для коэффициентов 12, 36 и 44. НОД(12, 36, 44) = 4.
2. Находим общий множитель для переменных. Для переменной $a$ минимальная степень равна 1 ($a$). Для переменной $b$ минимальная степень равна 1 ($b$). Переменная $c$ входит только в третий член, поэтому она не является общим множителем. Общий множитель для переменных — $ab$.
3. Общий множитель для всего выражения: $4ab$.
4. Выносим $4ab$ за скобки, разделив каждый член многочлена на него:
$12a^2b^4 - 36a^2b + 44abc = 4ab \cdot (\frac{12a^2b^4}{4ab} - \frac{36a^2b}{4ab} + \frac{44abc}{4ab}) = 4ab(3ab^3 - 9a + 11c)$.
Ответ: $4ab(3ab^3 - 9a + 11c)$.

в) $195c^6p^5 - 91c^5p^6 + 221c^3p^{10}$
1. Находим НОД для коэффициентов 195, 91 и 221. Для этого разложим их на простые множители: $195 = 3 \cdot 5 \cdot 13$;
$91 = 7 \cdot 13$;
$221 = 13 \cdot 17$.
Общим простым множителем является 13, следовательно, НОД(195, 91, 221) = 13.
2. Находим общий множитель для переменных. Для переменной $c$ минимальная степень равна 3 ($c^3$). Для переменной $p$ минимальная степень равна 5 ($p^5$). Общий множитель для переменных — $c^3p^5$.
3. Общий множитель для всего выражения: $13c^3p^5$.
4. Выносим $13c^3p^5$ за скобки:
$195c^6p^5 - 91c^5p^6 + 221c^3p^{10} = 13c^3p^5 \cdot (\frac{195c^6p^5}{13c^3p^5} - \frac{91c^5p^6}{13c^3p^5} + \frac{221c^3p^{10}}{13c^3p^5}) = 13c^3p^5(15c^3 - 7c^2p + 17p^5)$.
Ответ: $13c^3p^5(15c^3 - 7c^2p + 17p^5)$.

г) $42a^4b - 48a^3b^2 - 78a^2b^3$
1. Находим НОД для коэффициентов 42, 48 и 78. Разложим их на простые множители:
$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$;
$48 = 2^4 \cdot 3$;
$78 = 2 \cdot 3 \cdot 13$.
Общие простые множители — 2 и 3. Значит, НОД(42, 48, 78) = $2 \cdot 3 = 6$.
2. Находим общий множитель для переменных. Для переменной $a$ минимальная степень равна 2 ($a^2$). Для переменной $b$ минимальная степень равна 1 ($b$). Общий множитель для переменных — $a^2b$.
3. Общий множитель для всего выражения: $6a^2b$.
4. Выносим $6a^2b$ за скобки:
$42a^4b - 48a^3b^2 - 78a^2b^3 = 6a^2b \cdot (\frac{42a^4b}{6a^2b} - \frac{48a^3b^2}{6a^2b} - \frac{78a^2b^3}{6a^2b}) = 6a^2b(7a^2 - 8ab - 13b^2)$.
Ответ: $6a^2b(7a^2 - 8ab - 13b^2)$.

Разложите на множители:

37.13 a) $3x(a + b) + y(a + b);$

б) $m(x - y) - (x - y);$

в) $5p(r - s) + 6q(r - s);$

г) $(c + 2) - d(c + 2).$

а) В выражении $3x(a + b) + y(a + b)$ мы видим два слагаемых: $3x(a + b)$ и $y(a + b)$. Оба слагаемых содержат общий множитель, которым является выражение в скобках $(a + b)$.

Чтобы разложить выражение на множители, мы выносим этот общий множитель $(a + b)$ за скобки. От первого слагаемого в скобках останется $3x$, а от второго — $y$.

Таким образом, получаем: $3x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(3x + y)$.

Ответ: $(a + b)(3x + y)$

б) Рассмотрим выражение $m(x - y) - (x - y)$. Здесь также есть общий множитель $(x - y)$. Выражение можно представить в виде $m(x - y) - 1 \cdot (x - y)$.

Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки. От первого члена $m(x - y)$ останется $m$, а от второго члена $-1 \cdot (x - y)$ останется $-1$.

В результате разложения на множители получаем: $m(x - y) - (x - y) = (x - y)(m - 1)$.

Ответ: $(x - y)(m - 1)$

в) В выражении $5p(r - s) + 6q(r - s)$ есть два слагаемых: $5p(r - s)$ и $6q(r - s)$. Общим множителем для этих слагаемых является выражение $(r - s)$.

Вынесем этот общий множитель за скобки. Внутри скобок останется сумма множителей, которые стояли перед $(r - s)$, то есть $5p$ и $6q$.

Следовательно, разложение на множители выглядит так: $5p(r - s) + 6q(r - s) = (r - s)(5p + 6q)$.

Ответ: $(r - s)(5p + 6q)$

г) Дано выражение $(c + 2) - d(c + 2)$. Это выражение можно переписать, представив первый член как $1 \cdot (c + 2)$: $1 \cdot (c + 2) - d(c + 2)$.

Теперь очевидно, что общий множитель — это $(c + 2)$. Вынесем его за скобки.

От первого члена $1 \cdot (c + 2)$ останется $1$, а от второго $-d(c + 2)$ останется $-d$.

Получаем следующее разложение на множители: $(c + 2) - d(c + 2) = (c + 2)(1 - d)$.

Ответ: $(c + 2)(1 - d)$

37.14 а) $15c(a + b) + 8(b + a)$;

б) $4a(x + y) - 9b(y + x)$;

В) $n(2a + 1) + m(1 + 2a)$;

Г) $11p(c + 8d) - 9(8d + c)$.

а) $15c(a + b) + 8(b + a)$

В этом выражении мы видим два слагаемых: $15c(a + b)$ и $8(b + a)$. Заметим, что выражения в скобках $(a + b)$ и $(b + a)$ равны друг другу благодаря коммутативному (переместительному) свойству сложения. То есть, $a + b = b + a$.

Поэтому мы можем переписать исходное выражение, приведя его к общему множителю:

$15c(a + b) + 8(a + b)$

Теперь мы можем вынести общий множитель $(a + b)$ за скобки, применяя распределительное свойство:

$(15c + 8)(a + b)$

Ответ: $(15c + 8)(a + b)$

б) $4a(x + y) - 9b(y + x)$

В данном выражении уменьшаемое $4a(x + y)$ и вычитаемое $9b(y + x)$. Множители в скобках $(x + y)$ и $(y + x)$ равны, так как сложение коммутативно: $x + y = y + x$.

Заменим $(y + x)$ на $(x + y)$ в выражении:

$4a(x + y) - 9b(x + y)$

Вынесем общий множитель $(x + y)$ за скобки:

$(4a - 9b)(x + y)$

Ответ: $(4a - 9b)(x + y)$

в) $n(2a + 1) + m(1 + 2a)$

Аналогично предыдущим примерам, используем коммутативное свойство сложения для выражений в скобках: $1 + 2a = 2a + 1$.

Подставим это в исходное выражение:

$n(2a + 1) + m(2a + 1)$

Вынесем общий множитель $(2a + 1)$ за скобки:

$(n + m)(2a + 1)$

Ответ: $(n + m)(2a + 1)$

г) $11p(c + 8d) - 9(8d + c)$

Снова применяем коммутативное свойство сложения для выражений в скобках: $8d + c = c + 8d$.

Перепишем выражение, чтобы общий множитель был записан одинаково:

$11p(c + 8d) - 9(c + 8d)$

Теперь выносим общий множитель $(c + 8d)$ за скобки:

$(11p - 9)(c + 8d)$

Ответ: $(11p - 9)(c + 8d)$

37.15 а) $a(b - c) + 3(c - b);$

Б) $4(p - q) - a(q - p);$

В) $6(m - n) + s(n - m);$

Г) $7z(x - y) - 5(y - x).$

а) $a(b - c) + 3(c - b)$

Для того чтобы вынести общий множитель за скобки, необходимо привести выражения в скобках к одному виду. Заметим, что $(c - b) = -(b - c)$.

Подставим это преобразование во второе слагаемое исходного выражения:

$a(b - c) + 3 \cdot (-(b - c)) = a(b - c) - 3(b - c)$

Теперь мы видим, что $(b - c)$ является общим множителем. Вынесем его за скобки:

$(a - 3)(b - c)$

Ответ: $(a - 3)(b - c)$

б) $4(p - q) - a(q - p)$

В этом выражении скобки $(p - q)$ и $(q - p)$ также являются противоположными. Используем свойство $(q - p) = -(p - q)$.

Подставим это в вычитаемое:

$4(p - q) - a \cdot (-(p - q))$

При умножении двух отрицательных значений ($-a$ и $-(p-q)$) результат будет положительным:

$4(p - q) + a(p - q)$

Теперь выносим общий множитель $(p - q)$ за скобки:

$(4 + a)(p - q)$

Ответ: $(4 + a)(p - q)$

в) $6(m - n) + s(n - m)$

Выражения в скобках $(m - n)$ и $(n - m)$ отличаются только знаком. Воспользуемся соотношением $(n - m) = -(m - n)$.

Подставим это во второе слагаемое:

$6(m - n) + s \cdot (-(m - n)) = 6(m - n) - s(m - n)$

Вынесем общий множитель $(m - n)$ за скобки:

$(6 - s)(m - n)$

Ответ: $(6 - s)(m - n)$

г) $7z(x - y) - 5(y - x)$

Аналогично предыдущим примерам, преобразуем выражение в скобках $(y - x)$. Мы знаем, что $(y - x) = -(x - y)$.

Подставим это в вычитаемое:

$7z(x - y) - 5 \cdot (-(x - y))$

Упростим, помня, что "минус на минус дает плюс":

$7z(x - y) + 5(x - y)$

Теперь можно вынести общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$(7z + 5)(x - y)$

Ответ: $(7z + 5)(x - y)$

37.16 а) $(x - y)^2 - a(x - y);$

б) $5(a + 3)^3 - (a + 3);$

В) $(m + n)^2 + 9d(m + n);$

Г) $(p^2 - 6) - 4(p^2 - 6)^2.$

а) Чтобы разложить на множители выражение $(x - y)^2 - a(x - y)$, необходимо найти общий множитель. В данном случае это выражение в скобках $(x - y)$.

Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки. Для этого представим $(x - y)^2$ как $(x - y) \cdot (x - y)$:

$(x - y) \cdot (x - y) - a \cdot (x - y)$

Теперь выносим $(x - y)$:

$(x - y) \cdot ((x - y) - a)$

Уберем внутренние скобки во втором множителе, чтобы получить окончательный вид:

$(x - y)(x - y - a)$

Ответ: $(x - y)(x - y - a)$

б) В выражении $5(a + 3)^3 - (a + 3)$ общим множителем является $(a + 3)$.

Вынесем $(a + 3)$ за скобки:

$5(a + 3)^3 - (a + 3) = (a + 3)(5(a + 3)^2 - 1)$

Теперь упростим выражение во вторых скобках. Сначала возведем в квадрат $(a+3)$ по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(a + 3)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 + 6a + 9$

Подставим результат во второй множитель и раскроем скобки:

$5(a^2 + 6a + 9) - 1 = 5a^2 + 30a + 45 - 1 = 5a^2 + 30a + 44$

Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид:

$(a + 3)(5a^2 + 30a + 44)$

Ответ: $(a + 3)(5a^2 + 30a + 44)$

в) В выражении $(m + n)^2 + 9d(m + n)$ общим множителем является $(m + n)$.

Вынесем $(m + n)$ за скобки:

$(m + n)^2 + 9d(m + n) = (m + n)((m + n) + 9d)$

Раскроем внутренние скобки во втором множителе:

$(m + n)(m + n + 9d)$

Ответ: $(m + n)(m + n + 9d)$

г) В выражении $(p^2 - 6) - 4(p^2 - 6)^2$ общим множителем является $(p^2 - 6)$.

Вынесем $(p^2 - 6)$ за скобки:

$(p^2 - 6) - 4(p^2 - 6)^2 = (p^2 - 6)(1 - 4(p^2 - 6))$

Упростим выражение во вторых скобках:

$1 - 4(p^2 - 6) = 1 - 4p^2 + 24 = 25 - 4p^2$

Теперь выражение имеет вид $(p^2 - 6)(25 - 4p^2)$. Второй множитель, $25 - 4p^2$, можно разложить дальше, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим $25 - 4p^2$ как $5^2 - (2p)^2$:

$25 - 4p^2 = (5 - 2p)(5 + 2p)$

Подставим это разложение в наше выражение:

$(p^2 - 6)(5 - 2p)(5 + 2p)$

Ответ: $(p^2 - 6)(5 - 2p)(5 + 2p)$

Решите уравнение:

37.17 a) $x^2 - 3x = 0;$

б) $a^2 + 10a = 0;$

в) $y^2 - 5y = 0;$

г) $b^2 + 20b = 0.$

а) $x^2 - 3x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы получаем два возможных случая:

1) $x = 0$

2) $x - 3 = 0$

Решая второе уравнение, находим второй корень:

$x = 3$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$.

б) $a^2 + 10a = 0$

Это также неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$a(a + 10) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни:

1) $a = 0$

2) $a + 10 = 0$

Из второго уравнения получаем:

$a = -10$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $a_1 = 0$, $a_2 = -10$.

в) $y^2 - 5y = 0$

Решаем это неполное квадратное уравнение, вынося общий множитель $y$ за скобки:

$y(y - 5) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда следует:

1) $y = 0$

2) $y - 5 = 0$

Решая второе уравнение, получаем:

$y = 5$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $y_1 = 0$, $y_2 = 5$.

г) $b^2 + 20b = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $b$ за скобки:

$b(b + 20) = 0$

Приравниваем каждый из множителей к нулю:

1) $b = 0$

2) $b + 20 = 0$

Из второго уравнения находим второй корень:

$b = -20$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $b_1 = 0$, $b_2 = -20$.

37.18 a) $0.45p^2 + 18p = 0$;

б) $-4q^2 + 3q = 0$;

в) $9m^2 + 0.27m = 0$;

г) $-7x^2 + 2x = 0$.

а) Дано неполное квадратное уравнение $0,45p^2 + 18p = 0$.
Для решения такого типа уравнений, где свободный член равен нулю, выносим общий множитель $p$ за скобки:
$p(0,45p + 18) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, у нас есть два возможных случая:
1) $p_1 = 0$
2) $0,45p + 18 = 0$
Решим второе линейное уравнение относительно $p$:
$0,45p = -18$
$p_2 = \frac{-18}{0,45} = \frac{-1800}{45} = -40$
Таким образом, уравнение имеет два корня: 0 и -40.
Ответ: 0; -40

б) Дано уравнение $-4q^2 + 3q = 0$.
Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $q$ за скобки:
$q(-4q + 3) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни уравнения:
1) $q_1 = 0$
2) $-4q + 3 = 0$
Решаем второе уравнение:
$-4q = -3$
$4q = 3$
$q_2 = \frac{3}{4}$
Корни уравнения: 0 и 3/4.
Ответ: 0; $\frac{3}{4}$

в) Дано уравнение $9m^2 + 0,27m = 0$.
Вынесем общий множитель $m$ за скобки:
$m(9m + 0,27) = 0$
Это равенство выполняется, если один из сомножителей равен нулю:
1) $m_1 = 0$
2) $9m + 0,27 = 0$
Решим второе уравнение, чтобы найти второй корень:
$9m = -0,27$
$m_2 = \frac{-0,27}{9} = -0,03$
Корни уравнения: 0 и -0,03.
Ответ: 0; -0,03

г) Дано уравнение $-7x^2 + 2x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(-7x + 2) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1) $x_1 = 0$
2) $-7x + 2 = 0$
Найдем второй корень из линейного уравнения:
$-7x = -2$
$7x = 2$
$x_2 = \frac{2}{7}$
Корни уравнения: 0 и 2/7.
Ответ: 0; $\frac{2}{7}$

37.19 a) $x^3 + 2x^2 = 0;$

Б) $(x - 6)^2 + 2x(x - 6) = 0;$

В) $x^3 - 3x^2 = 0;$

Г) $(x + 4)^2 - 3x(x + 4) = 0.$

а) $x^3 + 2x^2 = 0$

Чтобы решить это уравнение, вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы получаем два уравнения:

1) $x^2 = 0$

Отсюда следует, что $x_1 = 0$.

2) $x + 2 = 0$

Отсюда следует, что $x_2 = -2$.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: -2; 0.

б) $(x - 6)^2 + 2x(x - 6) = 0$

В этом уравнении есть общий множитель $(x - 6)$, который можно вынести за скобки:

$(x - 6)((x - 6) + 2x) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:

$(x - 6)(x - 6 + 2x) = 0$

$(x - 6)(3x - 6) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни:

1) $x - 6 = 0$

$x_1 = 6$

2) $3x - 6 = 0$

$3x = 6$

$x_2 = \frac{6}{3} = 2$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: 2; 6.

в) $x^3 - 3x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $x^2 = 0$

Отсюда $x_1 = 0$.

2) $x - 3 = 0$

Отсюда $x_2 = 3$.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: 0; 3.

г) $(x + 4)^2 - 3x(x + 4) = 0$

Вынесем общий множитель $(x + 4)$ за скобки:

$(x + 4)((x + 4) - 3x) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:

$(x + 4)(x + 4 - 3x) = 0$

$(x + 4)(-2x + 4) = 0$

Теперь приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни:

1) $x + 4 = 0$

$x_1 = -4$

2) $-2x + 4 = 0$

$4 = 2x$

$x_2 = \frac{4}{2} = 2$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: -4; 2.