Номер 37.12, страница 163, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

37.12 a) $15x^3y^2 + 10x^2y - 20x^2y^3;$

б) $12a^2b^4 - 36a^2b + 44abc;$

в) $195c^6p^5 - 91c^5p^6 + 221c^3p^{10};$

г) $42a^4b - 48a^3b^2 - 78a^2b^3.$

а) $15x^3y^2 + 10x^2y - 20x^2y^3$
Для разложения многочлена на множители необходимо вынести за скобки общий множитель. Этот процесс состоит из нескольких шагов:
1. Находим наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 15, 10 и 20. НОД(15, 10, 20) = 5.
2. Находим общий множитель для переменных. Для этого для каждой переменной, входящей во все члены многочлена, выбираем наименьшую степень. Для переменной $x$ наименьшая степень равна 2 ($x^2$). Для переменной $y$ наименьшая степень равна 1 ($y^1$ или просто $y$). Таким образом, общий множитель для переменных — $x^2y$.
3. Общий множитель для всего выражения является произведением НОД коэффициентов и общего множителя переменных: $5x^2y$.
4. Выносим $5x^2y$ за скобки. Для этого каждый член исходного многочлена делим на $5x^2y$:
$15x^3y^2 + 10x^2y - 20x^2y^3 = 5x^2y \cdot (\frac{15x^3y^2}{5x^2y} + \frac{10x^2y}{5x^2y} - \frac{20x^2y^3}{5x^2y}) = 5x^2y(3xy + 2 - 4y^2)$.
Ответ: $5x^2y(3xy + 2 - 4y^2)$.

б) $12a^2b^4 - 36a^2b + 44abc$
1. Находим НОД для коэффициентов 12, 36 и 44. НОД(12, 36, 44) = 4.
2. Находим общий множитель для переменных. Для переменной $a$ минимальная степень равна 1 ($a$). Для переменной $b$ минимальная степень равна 1 ($b$). Переменная $c$ входит только в третий член, поэтому она не является общим множителем. Общий множитель для переменных — $ab$.
3. Общий множитель для всего выражения: $4ab$.
4. Выносим $4ab$ за скобки, разделив каждый член многочлена на него:
$12a^2b^4 - 36a^2b + 44abc = 4ab \cdot (\frac{12a^2b^4}{4ab} - \frac{36a^2b}{4ab} + \frac{44abc}{4ab}) = 4ab(3ab^3 - 9a + 11c)$.
Ответ: $4ab(3ab^3 - 9a + 11c)$.

в) $195c^6p^5 - 91c^5p^6 + 221c^3p^{10}$
1. Находим НОД для коэффициентов 195, 91 и 221. Для этого разложим их на простые множители: $195 = 3 \cdot 5 \cdot 13$;
$91 = 7 \cdot 13$;
$221 = 13 \cdot 17$.
Общим простым множителем является 13, следовательно, НОД(195, 91, 221) = 13.
2. Находим общий множитель для переменных. Для переменной $c$ минимальная степень равна 3 ($c^3$). Для переменной $p$ минимальная степень равна 5 ($p^5$). Общий множитель для переменных — $c^3p^5$.
3. Общий множитель для всего выражения: $13c^3p^5$.
4. Выносим $13c^3p^5$ за скобки:
$195c^6p^5 - 91c^5p^6 + 221c^3p^{10} = 13c^3p^5 \cdot (\frac{195c^6p^5}{13c^3p^5} - \frac{91c^5p^6}{13c^3p^5} + \frac{221c^3p^{10}}{13c^3p^5}) = 13c^3p^5(15c^3 - 7c^2p + 17p^5)$.
Ответ: $13c^3p^5(15c^3 - 7c^2p + 17p^5)$.

г) $42a^4b - 48a^3b^2 - 78a^2b^3$
1. Находим НОД для коэффициентов 42, 48 и 78. Разложим их на простые множители:
$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$;
$48 = 2^4 \cdot 3$;
$78 = 2 \cdot 3 \cdot 13$.
Общие простые множители — 2 и 3. Значит, НОД(42, 48, 78) = $2 \cdot 3 = 6$.
2. Находим общий множитель для переменных. Для переменной $a$ минимальная степень равна 2 ($a^2$). Для переменной $b$ минимальная степень равна 1 ($b$). Общий множитель для переменных — $a^2b$.
3. Общий множитель для всего выражения: $6a^2b$.
4. Выносим $6a^2b$ за скобки:
$42a^4b - 48a^3b^2 - 78a^2b^3 = 6a^2b \cdot (\frac{42a^4b}{6a^2b} - \frac{48a^3b^2}{6a^2b} - \frac{78a^2b^3}{6a^2b}) = 6a^2b(7a^2 - 8ab - 13b^2)$.
Ответ: $6a^2b(7a^2 - 8ab - 13b^2)$.