Номер 37.8, страница 162, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 7. Разложение многочленов на множители. Параграф 37. Вынесение общего множителя за скобки - номер 37.8, страница 162.

Условие.

37.8 а) $3b^2 - 3b;$

б) $a^4 + 2a^2;$

в) $4c^2 - 12c^5;$

г) $8d^4 - 32d^2.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Чтобы разложить на множители выражение $3b^2 - 3b$, необходимо вынести за скобки общий множитель. Общим множителем для числовых коэффициентов 3 и -3 является 3. Общим множителем для переменных $b^2$ и $b$ является $b$ в наименьшей степени, то есть $b$. Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, это $3b$.
Выполним деление каждого члена многочлена на общий множитель:
$3b^2 \div (3b) = b$
$-3b \div (3b) = -1$
Запишем исходное выражение в виде произведения общего множителя и многочлена в скобках:
$3b^2 - 3b = 3b(b - 1)$.
Ответ: $3b(b-1)$

б) В выражении $a^4 + 2a^2$ общий числовой множитель равен 1. Общий множитель для переменных $a^4$ и $a^2$ — это переменная в наименьшей степени, то есть $a^2$. Вынесем $a^2$ за скобки.
Разделим каждый член на $a^2$:
$a^4 \div a^2 = a^{4-2} = a^2$
$2a^2 \div a^2 = 2$
Следовательно, разложение на множители будет выглядеть так:
$a^4 + 2a^2 = a^2(a^2 + 2)$.
Ответ: $a^2(a^2+2)$

в) Рассмотрим выражение $4c^2 - 12c^5$. Найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 4 и 12. НОД(4, 12) = 4. Общий множитель для переменных $c^2$ и $c^5$ — это $c^2$. Значит, общий множитель для всего выражения — $4c^2$.
Вынесем $4c^2$ за скобки, разделив на него каждый член многочлена:
$4c^2 \div (4c^2) = 1$
$-12c^5 \div (4c^2) = -3c^{5-2} = -3c^3$
В результате получаем:
$4c^2 - 12c^5 = 4c^2(1 - 3c^3)$.
Ответ: $4c^2(1-3c^3)$

г) В выражении $8d^4 - 32d^2$ найдем общий множитель. НОД для коэффициентов 8 и 32 равен 8. Общий множитель для переменных $d^4$ и $d^2$ — это $d^2$. Таким образом, за скобки выносим $8d^2$.
Выполним деление:
$8d^4 \div (8d^2) = d^{4-2} = d^2$
$-32d^2 \div (8d^2) = -4$
Получаем $8d^2(d^2 - 4)$.
Обратим внимание, что выражение в скобках, $d^2 - 4$, является разностью квадратов, так как $d^2=(d)^2$ и $4=2^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$d^2 - 4 = (d-2)(d+2)$.
Окончательное разложение на множители:
$8d^4 - 32d^2 = 8d^2(d-2)(d+2)$.
Ответ: $8d^2(d-2)(d+2)$